تابع مولد احتمال - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در نظریه احتمال، تابع مولد احتمال (به انگلیسی: Probability-generating function) یک متغیر تصادفی گسسته، یک نمایش سری‌های توانی از تابع جرمی احتمال یک متغیر تصادفی است. توابع مولد احتمال معمولاً برای ایجاز در توصیفات دنباله‌ای از احتمالات Pr(X) = i، و همچنین فراهم ساختن یک فرضیه مناسب از سری‌های توانی با ضرایب نا-منفی، به کار گرفته می‌شوند. هم چنین از این تابع برای محاسبه گشتاورهای مراتب مختلف (مانند امید ریاضی یک متغیر تصادفی) استفاده میشود.

تعریف[ویرایش]

اگر X یک متغیر تصادفی گسسته باشد که مقادیری از بعضی زیر مجموعه‌های نا-منفی اعداد صحیح {۰، ۱، ۲، ...} اتخاذ کند، آنگاه تابع مولد احتمال X اینگونه تعریف می‌گردد:

که در آن f تابع جرمی احتمالX است. دقت کنید که نشانه‌گذاری معادل GX بعضی مواقع برای متمایز ساختن توابع مولد احتمال متغیرهای تصادفی مختلفی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

خواص[ویرایش]

سری‌های توانی[ویرایش]

توابع مولد احتمال از تمام قوانین سری‌های توانی با ضرایبِ نا-منفی تبعیت می‌کنند. به طور خاص G(۱-) = ۱، تا زمانی‌که احتمالات باید ۱ واحد افزوده شوند و در جاییکه G(۱-) = limz→۱G(z)، آن‌گاه طبق قضیهٔ آبل برای سری‌های توانی با ضرایب نا-منفی، شعاع همگرایی هر تابع مولد احتمال باید حداقل ۱ باشد.

توابع برای متغیرهای تصادفی مستقل[ویرایش]

توابع مولد احتمال به‌طور خاص برای کار کردن با توابع متغیرهای تضادفی مستقل، کاربرد دارند. به عنوان مثال:

اگر X۱، X۲، ...، Xn یک دنباله از متغیرهای تصادفی مستقل (و نه لزوماً با توزیع یکنواخت) باشند و همچنین

که در آن a'iها ثابت هستند، آنگاه تابع مولد احتمال بدین شکل است:

به عنوان مثال اگر:

آنگاه تابع مولد احتمالِ (GSn(z به شکل زیر است:

همچنین تابع مولد احتمالِ اختلاف میان دو متغیر تصادفی (S = X۱X۲) برار است با:

مثال‌ها[ویرایش]

  • تابع مولد احتمال یک متغیر تصافی با توزیع دوجمله‌ای، تعداد موفقیت‌ها درn آزمایش، با احتمال موفقیت p در هر مرحله برابر است با:
  • تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی دو جمله‌ای منفی که در آن تعداد آزمایش‌های لازم برای رسیدن به rامین موفقیت با احتمال موفقیت p در هر آزمایش، برابر است با:
  • تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی پواسون با نرخ λ برابرست با:

توابع مولد احتمال برای متغیرهای تصادفی پیوسته[ویرایش]

مفهوم تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی تنها، می‌تواند به تابع مولد احتمال برای دو یاچند متغیر تصادفی پیوسته نیز تعمیم داده شود.

مفاهیم مرتبط[ویرایش]

از تابع مولد احتمال به‌ندرت با نام تبدیلِ z یک تابع جرمی احتمال نیز یاد می‌شود. این یک نمونه از تابع مولد یک دنباله نیز هست(به سری‌های توانی منظم رجوع شود).

منابع[ویرایش]