تعامد (جبر خطی) - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در ریاضیات، دو بردار را متعامد^[۱] (به انگلیسی: Orthogonal) گویند هرگاه برهم قائم باشند. به عبارت دیگر دو بردار متعامدند اگر و تنها اگر ضرب داخلی آنها برابر با صفر باشد یا با هم زاویهٔ راست (۹۰ درجه) ساخته باشند.

تعریف‌ها[ویرایش]

• در هندسه، دو بردار اقلیدسی عمود بر هم هستند اگر به بکدیگر قائم باشن؛ یعنی هم زاویه قائم بسازند.

• دو بردار ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ را در یک فضای ضرب داخلی ${\displaystyle V}$ برهم عمودند اگر ضرب داخلی ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ صفر باشد. این رابطه تعامد را با ${\displaystyle x\perp y}$ نشان می‌دهند.

• دو زیرفضای برداری ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ از یک فضای ضرب داخلی ${\displaystyle V}$ را زیرفضاهای متعامد می‌گوییم اگر هر بردار از ${\displaystyle A}$ به هر بردار از ${\displaystyle B}$ عمود باشد. بزرگ‌ترین زیرفضایی که به یک زیرفضا عمود باشد، متمم عمود آن نامیده می‌شود.

• یک نگاشت خطی ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ را نگاشت خطی متعامد می‌گوییم اگر ضرب داخلی را پایسته نگه دارد. یعنی برای هر جفت بردار ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ در فضای ضرب داخلی ${\displaystyle V}$ داشته باشیم:

${\displaystyle \langle Tx,Ty\rangle =\langle x,y\rangle .}$

این یعنی ${\displaystyle T}$ زاویهٔ بین ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ را ثابت نگه می‌دارد و طول ${\displaystyle Tx}$ و ${\displaystyle x}$ برابر است.

دسته‌ای از بردارهای دوبه‌دو عمود برهم را که طول واحد داشته باشند (بردار یکّه باشند) بردارهای یکّه راست‌هنجار (متعامد یکه) می‌نامیم.

توابع متعامد[ویرایش]

مرسوم است که برای توابع ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ ضرب داخلی زیر را تعریف کنیم:

که در آن ${\displaystyle w(x)}$ تابع وزن نامنفی برای ضرب داخلی است. در ساده ترین حالت w(x) = 1. در این صورت، اگر حاصل ضرب داخلی‌شان صفر باشد می‌گوییم دو تابع برهم عمودند:

با استفاده از ضرب داخلی، ما نُرم به صورت زیر تعریف میکنیم که عبارت است از ضرب داخلی بردار در خودش. نُرم، طول بردارها (تابع‌ها) را به دست می‌د:

اعضای یک دنباله از توابع {f_i : i = 1, 2, 3, ...} متعامد هستند اگر

و راست‌هنجار (متعامد یکه) هستند اگر:

در رابطهٔ بالا

دلتای کرونکر نام دارد. به زبان دیگر هر دو عضوی از این دنباله برهم عمودند و طول‌شان (برای توابع راست‌هنجار) ۱ است. چندجمله‌ای‌های متعامد را ببینید.

مثال‌ها[ویرایش]

• بردارهای (۱, ۳, ۲)، (۳, −۱, ۰) و (۱/۳, ۱, −۵/۳) برهم عمودند، زیرا

‎(۱)(۳) + (۳)(−۱) + (۲)(۰) = ۰

(۳)(۱/۳) + (−۱)(۱) + (۰)(−۵/۳) = ۰

(۱)(۱/۳) + (۳)(۱) − (۲)(۵/۳) = ۰

• دو تابع 2t + ۳ و 5t² + t − ۱۷/۹ را در نظر بگیرید. این تابع‌ها در بازهٔ ${\displaystyle [-1,1]}$ و با تابع وزن ${\displaystyle w(x)=1}$ برهم عمودند. ضرب این دو تابع برابر است با 10t³ + 17t² − 7/9 t − ۱۷/۳ و ضرب داخلی‌شان می‌شود:

• چندجمله‌ای‌های متعامد بسیاری هستند که در ریاضیات، علوم و مهندسی کاربردهای بی‌شماری دارند. مانند:
  • چندجمله‌ای‌های هرمیت
  • چندجمله‌ای‌های لژاندر
  • چندجمله‌ای‌های لاگر
  • چندجمله‌ای‌های چبیشف
• در مکانیک کوانتومی، دو ویژه‌حالت یک تابع موج ${\displaystyle \psi _{m}}$ و ${\displaystyle \psi _{n}}$ متعامد هستند اگر مربوط به ویژه‌مقدارهای متفاوتی باشند. به زبان نمادگذاری دیراک، ${\displaystyle \langle \psi _{m}|\psi _{n}\rangle =0}$ مگر این که ${\displaystyle \psi _{m}}$ و ${\displaystyle \psi _{n}}$ متعلق به یک ویژه‌مقدار باشند.

در آرایه‌شناسی[ویرایش]

در آرایه‌شناسی یک طبقه‌بندی متعامد است که در آن در هیچ موردی، هیچ عضوی در بیش از یک گروه عضو نباشد، این به معنی منحصر به فرد بودن متقابل طبقه‌بندی‌ها و عضوها است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

• عدد موهومی
• ماتریس متعامد
• چندجمله‌ای‌های متعامد
• مکمل متعامد
• الگوریتم گرام اشمیت

منابع[ویرایش]

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Orthogonality». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲ مه ۲۰۱۵.

کتاب‌های رایگان برخط[ویرایش]

• محمد خرمی (تابستان ۲۰۰۳). «جبر خطی» (PDF). بایگانی‌شده از اصلی (PDF) در ۳۱ ژانویه ۲۰۱۲. دریافت‌شده در ۲۹ مارس ۲۰۰۹.