مدل بردارهای خودبرگشتی - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

بردارهای خود برگشتی یکی از مدل‌های اقتصادسنجی است که برای کنترل کردن همبستگی‌های بینابینی در میان چند سری زمانی استفاده می‌شود و در واقع تعمیمی از مدل‌های خودرگرسیونی است. تمامی متغیرها در مدل برداهای خود برگشتی به صورت نظام مند توسط متغیرهای دوران گذشته خود و دیگر عناصر مدل در یک معادله تعریف می‌شوند. بر این اساس Christopher Sims، از مدل بردارهای خودبرگشتی به عنوان روشی فارغ از تئوری دفاع می‌کنند . ^[۱].

تعریف[ویرایش]

یک مدل بردارهای خودبرگشتی به دنبال توضیح رویهٔ تکاملی یک مجموعه ${\displaystyle k}$ متغیره (که به آن‌ها متغیرهای درون زا گفته می‌شود) در دورهٔ آماری یکسان و با استفاده از تابع خطی تنها از مقادیر قبلی شان می‌باشد. متغیرها در یک بردار k × ۱ بعدی به نام y_t جمع می‌شوند که عنصر i^th آن y_i،t است، عنصر مشاهده شده در دورهٔ t از متغیر y_i. یک مدل کاهشی از مرتبهٔ ${\displaystyle p}$ بردارهای خودبرگشتی که با ${\displaystyle VAR(p)}$ نمایش داده می‌شود به شکل زیر است،

 :${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t},}$ 

جاییکه c یک بردار  × ۱ از مقادیر ثابت، A_i یک ماتریس k × k، و e_t یک بردار  × ۱ از عناصر خطا می‌باشد که در خصوصیات زیر صدق می‌کنند،

1. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t})=0\,}$
2. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\Omega \,}$
3. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{t-k}')=0\,}$

مشاهدهٔ l دوره قبل y_t−l l امین تاخیر y می‌شود. در نتیجه به مدل بردارهای خودبرگشتی مرتبهٔ p مدل بردارهای خودبرگشتی با p تاخیر نیز گفته می‌شود.

مرتبهٔ تجمیع متغیرها[ویرایش]

باید دقت کرد که تمامی متیرها باید مرتبهٔ تجمیع یکسانی داشته باشند. در این صورت ما موارد پایین را خواهیم داشت:

• همهٔ متغیرها ${\displaystyle I(0)}$ هستند(یعنی مانا هستند).
• همهٔ متغیرها ${\displaystyle I(d)}$ هستند (نامانا) با ${\displaystyle d>0}$.
  • متغیرها هم تجمیعی هستند.: عنصر تصحیح خطا باید در مدل وارد شود. مدل تبدیل به مدل تصحیح خطای برداری می‌شود (VECM) که در واقع نوعی مدل بردارهای خودبرگشتی مقید است.
  • متغیرها هم تجمیعی نیستند: ابتدا لازم است تا از متغیرها d مرحله تفاضل گیری شود تا به مدل بردارهای خودبرگشتی تفاضلی برسیم.

نمایش ماتریسی[ویرایش]

مدل بردارهای خودبرگشتی از مرتبهٔ p را می‌توان به‌طور خلاصه با ماتریس‌ها به شکل زیر نمایش داد:

${\displaystyle Y=BZ+U\,}$

مثال[ویرایش]

یک مدل بردارهای خودبرگشتی از مرتبهٔ ۱ را می‌توان به فرم ماتریسی زیر نوشت:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}&A_{2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{1,t}\\e_{2,t}\end{bmatrix}},}$

و یا معادلا به صورت دستگاه دو معادلهٔ زیر:

${\displaystyle y_{1,t}=c_{1}+A_{1,1}y_{1,t-1}+A_{1,2}y_{2,t-1}+e_{1,t}\,}$

${\displaystyle y_{2,t}=c_{2}+A_{2,1}y_{1,t-1}+A_{2,2}y_{2,t-1}+e_{2,t}.\,}$

باید دقت کرد که برای هر متغیر مدل یک معادله وجود دارد. همچنین سطح یک متغیر در دورهٔ t به تاخیرهای خود و دیگر متغیرهای مدل مرتبط است.

نوشتن ${\displaystyle VAR(p)}$ به فرم ${\displaystyle VAR(1)}$[ویرایش]

یک مدل داده‌های خودبرگشتی از مرتبهٔ p همیشه می‌تواند با دوباره جایگذاری متغیر وابسته به مرتبهٔ ۱ تبدیل شود. برای مثال، مدل ${\displaystyle VAR(2)}$

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+e_{t}}$

را می‌توان به فرم زیر از ${\displaystyle VAR(1)}$ نوشت.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{t}\\y_{t-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{t-1}\\y_{t-2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{t}\\0\end{bmatrix}},}$

جایی که I ماتریس واحد است. مدل${\displaystyle VAR(1)}$ بدست آمده برای تحلیل راحت‌تر است.

منابع و مراجع[ویرایش]