مفهوم مشتق تا اوائل قرن ۱۷ میلادی، یعنی تا قبل از آنکه ریاضیدان فرانسوی، پییر دو فرما به تعیین اکسترممهای چند تابع خاص دست بزند، تنظیم نشده بود. فرما دریافت که خطوط مماس، در نقاطی که منحنی بیشینه یا کمینه دارد، باید افقی باشد. از اینرو به نظرش رسید که مسئلهٔ تعیین نقاط اکسترمم تابع، به حل مسئلهٔ دیگر، یعنی یافتن مماسهای افقی مربوط میشود، تلاش برای حل این مسئلهٔ کلیتر بود که فرما را به کشف برخی از ایدههای مقدماتی مفهوم مشتق هدایت کرد.
در نگاه نخست اینطور به نظر میرسید که بین مسئلهٔ یافتن مساحت سطح زیر یک نمودار و موضوع تعیین خط مماس بر منحنی در یک نقطه رابطهای وجود ندارد، اما اولین کسی که دریافت این دو مفهومِ به ظاهر دور از هم، در واقع ارتباط نسبتاً نزدیکی با هم دارند آیزاک بارو معلم آیزاک نیوتون بودهاست.
اما مفهوم مشتق به شکل امروزی آن، نخستین بار در سال ۱۶۶۶ میلادی توسط نیوتون و به فاصلهٔ چند سال بعد از او، توسط گوتفرید لایبنیتس، مستقل از یکدیگر پدید آمد. این دو دانشمند در ادامهٔ کار خود، باز هم بهطور مستقل، بخش دوم آنالیز ریاضی یعنی حساب انتگرال را عرضه کردند که اساس آن بر عمل انتگرالگیری قرار دارد.
نیوتون از شیوهٔ استدلال سینماتیک و با دیدگاه فیزیکی به بررسی مشتق پرداخته و از آن برای بدست آوردن سرعت لحظهای استفاده میکرد. اما لایبنیتس با دیدگاهی هندسی، از مشتق برای بدست آوردن ضریب زاویهٔ مماس در منحنیها استفاده میکرد. هر یک از این دو دانشمند نمادهای جداگانهای را برای نشان دادن مشتق به کار میبردند.[۱][۲]
پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در دوران بعد به آگوستَن لویی کوشی، برنهارد ریمان و برادران برنولی، یعنی یاکوب و یوهان، مربوط میشود. گیوم لوپیتال (به فرانسوی: Guillaume de l'Hôpital)، دانشمند فرانسوی، در سال ۱۶۹۶ نخستین کتاب درسی مربوط به آنالیز ریاضی را با نام «آنالیز بینهایت کوچکها برای بررسی منحنیها» منتشر کرد که در واقع خلاصهای از درسهایی بود که یوهان برنولی به عنوان معلم برای او نوشته بود. در این کتاب، قاعدهٔ رفع ابهام در حد، با استفاده از مشتق نیز آمده که به قاعدهٔ هوپیتال مشهور است ولی در واقع متعلق به یوهان برنولی بودهاست.
خط قاطع نمودار تابع که شیب آن برابر مقدار خارج قسمت تفاضلی در است.
با میل کردن به سمت صفر، شیب خط قاطع به مقدار شیب خط مماس در نقطهٔ میل میکند.
خط مماس نمودار تابع در که شیب آن برابر مقدار مشتق تابع در است.
اگر نقطهای از نمودار تابع و نقطهٔ دیگری از این نمودار باشد، آنگاه و شیب خط قاطع عبارت است از:
کسر فوق، خارج قسمت تفاضلی در نامیده میشود. اگر ثابت نگه داشته شود و به سمت صفر میل کند، آنگاه خارج قسمت تفاضلی در اگر فقط به بستگی داشته باشد به مقداری میل میکند که به آن شیب خط مماس گفته میشود. به عبارت دیگر، حاصل حد زیر در صورت وجود ضریب زاویهٔ خط مماس نمودار تابع در را بدست میدهد:
برای تابع که در همسایگی نقطهٔ تعریف شدهاست، اگر وجود داشته باشد، در مشتقپذیر است. این حد (ریاضی) یکتا را با نمایش داده و آن را مشتق تابع در نقطهٔ مینامند.
بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات مربوط به متغیر مستقل به سمت صفر میل میکند.[۳]
با تبدیل به تعریف دوم مشتق به صورت زیر حاصل میشود:
لایبنیتس، نیوتون، لاگرانژ، آربوگاست و اویلر هر یک نماد جداگانهای را برای نمایش مشتق بکار میبردند؛ اما در میان پیشگامان اولیهٔ آنالیز ریاضی، لایبنیتس بیش از هر کس دیگری به اهمیت علامات مناسب پی برده بود. او علامات را با حوصلهٔ زیادی آزمایش میکرد و با سایر ریاضیدانان مکاتبات بسیاری داشت و از این طریق معایب و محاسن نمادهای مختلف را برای آنها مطرح میساخت. پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال و گسترش ریاضیات نوین تا حدود زیادی بواسطهٔ علامتهای پیشرفتهای است که بسیاری از آنها توسط لایبنیتس ابداع شدهاند.
لایبنیتس در سال ۱۶۷۵ میلادی با استفاده از عملگر تفاضلی خارج قسمت تفاضلی را به شکل نوشت و برای مشتق تابع در نماد را معرفی کرد که به صورت نیز نوشته میشود. این نماد که نمایش دیفرانسیلی مشتق نامیده میشود، برای نمایش مشتق مراتب بالاتر به شکل نوشته میشود. با استفاده از این نماد تعریف مشتق به صورت در میآید.
نیوتون برای نشان دادن مشتق اول از و برای مشتق دوم از استفاده میکرد. نمادهای نقطهدار نیوتون در برخی مسائل فیزیکی مانند سرعت و شتاب بکار میروند.
مشتق تابع را با نیز میتوان نشان داد. این نماد بر آن تأکید دارد که تابع جدیدی است که با مشتقگیری از تابع بدست آمدهاست و مقدارش در با نموده میشود. مختصات و واقع بر نمودار با معادلهٔ به هم مربوط میشوند، و علامت نیز برای نمایش بکار میرود که مقدارش در به صورت نوشته میشود. این نماد در سال ۱۷۷۰ میلادی توسط ژوزف لویی لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفت و مشتق مراتب بالاتر را به صورت (مشتق اول)، (مشتق دوم)، (مشتق سوم)، (مشتق چهارم) … (مشتق ام) نشان میدهد.
در سال ۱۸۰۰ میلادی نماد دیگری توسط لوییس آربوگاست معرفی شد و توسط لئونارد اویلر مورد استفاده قرار گرفت. این نماد مشتق را به شکل نشان میدهد. علامت یک عملگر دیفرانسیلی است و این فکر را القا میکند که تابع جدیدی است که با مشتقگیری از بدست آمدهاست. مشتق مراتب بالاتر به صورت و مقدار آن در به صورت نوشته میشود.[۴]
تابع در مشتقپذیر است هرگاه در این نقطه پیوسته باشد و مشتق چپ و راست تابع با هم برابر و مساوی یک عدد حقیقی معین باشد.
تعبیر هندسی مشتقپذیری: تابع در مشتقپذیر است هرگاه بتوان در این نقطه یک خط کامل مماس و غیر موازی با محور yها بر منحنی رسم کرد.
اگر تابع در نقطهٔ مشتقپذیر باشد، آنگاه در آن نقطه پیوسته نیز هست.
ولی عکس قضیهٔ فوق صحیح نمیباشد یعنی ممکن است تابع پیوسته باشد اما مشتقپذیر نباشد؛ به عبارت دیگر، پیوستگی تابع در شرط لازم برای مشتقپذیری تابع است، نه شرط کافی. پس اگر تابع در ناپیوسته باشد، آنگاه در مشتقپذیر نیست.[۶]
نقاط ناپیوسته: تابع در نقاط ناپیوسته مشتقناپذیر است و از دید هندسی نمیتوان در این نقاط مماس بر منحنی رسم کرد.
نقاط زاویهدار: تابع در نقاط پیوستهای که مشتق چپ و راست در آنها دو عدد حقیقی نابرابر، یا یکی عدد و دیگری بینهایت باشد، مشتقپذیر نیست. از دید هندسی، در این نقاط دو نیممماس بر منحنی رسم میشود که با هم زاویه میسازند.
نقاط عطف قائم: تابع در نقاط پیوستهای که مشتق چپ و راست در آنها بینهایتهای همعلامت باشد مشتقناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط میتوان یک خط کامل مماس به موازات محور yها رسم کرد. نقطهٔ عطف قائم تنها نقطهای است که تابع در آن مشتقپذیر نیست ولی مماس کامل دارد.
نقاط بازگشت: تابع در نقاط پیوستهای که مشتق چپ و راست در آنها بینهایتهای غیر همعلامت باشد مشتقناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط میتوان یک نیممماس، به موازات محور yها رسم کرد.
تابع در نقاطی که پیوستهاند ولی مشتق در آنها به سمت عدد مشخصی میل نمیکند نیز مشتقناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط نمیتوان مماس مشخصی بر منحنی رسم کرد.
هرگاه بخواهیم مشتق یک تابع مانند را نسبت به تابع دیگری مانند بدست آوریم، کافی است مشتق این توابع را نسبت به متغیرشان محاسبه نموده و سپس برهم تقسیم کنیم.
مشتق جزئی، پارهای یا نسبی، به مشتق تابع چند متغیرهٔ نسبت به یکی از متغیرها با ثابت در نظر گرفتن سایر متغیرها گفته میشود. مشتق جزئی را به جای با نمایش میدهند که «دِل»، «دِر» یا «پارشال» خوانده میشود. برای مثال، مشتق جزئی تابع نسبت به به صورت زیر نوشته میشود:
بهطور کلی، حاصل حد زیر، در صورت وجود برابر مشتق جزئی تابع چند متغیرهٔ نسبت به در است:
در مقابل رابطهٔ صریح تابع به شکل کلی ، رابطهٔ ضمنی آن به صورت قرار میگیرد. برای محاسبهٔ مشتق توابع ضمنی دو روش کلی وجود دارد:
استفاده از قاعدهٔ زنجیری: در این روش، از طرفین رابطه نسبت به مشتق میگیریم و با فاکتورگیری، را بدست میآوریم. (اگر بخواهیم مشتق را نسبت به حساب کنیم آنگاه و خواهد بود)
استفاده از مشتق جزئی: در این روش از رابطهٔ زیر استفاده میشود:
مشتق جزئی تابع میزان تغییرات را در امتداد محورهای مختصات به دست میدهد در حالیکه مشتق جهتدار، سویی یا جهتی، میزان تغییرات را در امتداد یک بردار دلخواه در فضا حساب میکند. اگر در همسایگی نقطهٔ تعریف شده باشد و برداری شامل نقطهٔ باشد، مشتق جهتدار در به صورت زیر محاسبه میشود:
که در آن نقطهٔ باید متعلق به باشد و فاصلهٔ علامتدار تا است یعنی اگر و همجهت باشند و در غیر این صورت در نظر گرفته میشود.
مشتق تابع برداری با فرض اینکه مؤلفههای سمت راست بامعنی باشند، به صورت زیر تعریف میشود:
تابع بر بازهٔ پیوسته و مشتقپذیر است، هرگاه تک تک مؤلفههای بر بازهٔ پیوسته و مشتقپذیر باشند. با توجه به این تعریف، بسیاری از قضایای مشتق توابع حقیقی برای توابع برداری نیز صادقاند.
برای محاسبهٔ مشتق یک تابع برداری، میتوان آن را برحسب مؤلفههای قائم خود، به صورت و نوشت و از هر کدام بهطور جداگانه مشتق گرفت؛ یعنی اگر و وجود داشته باشند مشتق تابع برداری به صورت زیر نوشته میشود:
هرگاه تابعی از به باشد، آنگاه مشتق جهتدار در یک جهت بخصوص، بهترین تقریب خطی در آن نقطه و جهت است. اما هرگاه باشد، دیگر مشتق جهتدار نمیتواند به تنهایی، تصویر کاملی از رفتار تابع نشان دهد. مشتق کل، که دیفرانسیل کل نیز نامیده میشود با در نظر گرفتن رفتار تابع در تمام جهتها میتواند تصویر کاملی از رفتار تابع ارائه کند.
برخلاف مشتق جزئی، در محاسبهٔ مشتق کل تابع نسبت به متغیر ، متغیرهای دیگر ثابت در نظر گرفته نمیشوند بلکه به بستگی خواهند داشت و مشتق کل به صورت زیر تعریف میشود:
مشتق کل در حساب دیفرانسیل با مفهومی مشابه، به یک عملگر دیفرانسیلی نیز گفته میشود. این عملگر دیفرانسیلی، مشتق کل تابع را نسبت به صورت زیر محاسبه میکند:
اگر تابع روی بازهٔ مشتقپذیر باشد تابع خود ممکن است در نقطهای مثل مشتقپذیر باشد. به عبارتی اگر موجود باشد، میگوییم مشتق مرتبهٔ دوم تابع در موجود است و آن را با نمایش میدهیم.
مشتق مراتب بالاتر یک تابع، از تعریف اصلی مشتق بدست میآید. بهطوریکه با مشتق گرفتن از مشتق اول تابع به مشتق دوم آن میرسیم و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر نیز تعریف میشوند. به صورت کلی داریم:
قاعدهٔ لایبنیتس بیان میکند که اگر دو تابع و روی بازهٔ دارای مشتقهای متوالی تا مرتبهٔ باشند، آنگاه حاصلضرب نیز روی این بازه دارای مشتقهای متوالی تا مرتبهٔ است و داریم:
اگر تابع روی پیوسته، روی بازهٔ مشتقپذیر و باشد آنگاه حداقل یک نقطهٔ در بازهٔ وجود دارد که در آن است. عدد با خاصیت فوق منحصر به فرد نیست و باید یک نقطهٔ درونی بازهٔ باشد.
نقاط در قضیهٔ رول نقاطی هستند که مماس بر نمودار در آنها خطوط افقی است، یعنی قضیهٔ رول شرایط وجود مماس افقی را برآورد میکند.
نتیجهٔ قضیهٔ رول: اگر تابع روی پیوسته باشد و آنگاه حداقل یک نقطهٔ اکسترمم نسبی در بازهٔ وجود دارد.
حالت خاص قضیهٔ رول: اگر فرض کنیم با استفاده از قضیهٔ رول میتوان گفت که بین هر دو ریشهٔ تابع مشتقپذیر مشتقِ تابع یعنی حداقل یک ریشه دارد.[۷]
قضیهٔ لاگرانژ یا مقدار میانگین مشتق بیان میکند که هرگاه تابع روی پیوسته و روی بازهٔ مشتقپذیر باشد، آنگاه حداقل یک نقطهٔ در بازهٔ وجود دارد که در آن:
تعبیر هندسی: قضیه بیان میکند که در بازهٔ حداقل یک نقطه وجود دارد که مماس بر منحنی در آن نقطه به موازات خط واصل نقاط دو سر منحنی است.
تعبیر فیزیکی: اگر نمودار را مکان-زمان در نظر بگیریم و بازهٔ بازهٔ زمانی باشد، قضیهٔ فوق میگوید، حداقل یک لحظه در بازهٔ وجود دارد که سرعت لحظهای با سرعت متوسط برابر میشود.که این لحظه برابر است با لحظه وسط بازه.
قضیهٔ کوشی که صورت تعمیم یافتهٔ قضیهٔ لاگرانژ است، بیان میکند که هرگاه توابع و روی بازهٔ پیوسته و روی بازهٔ مشتقپذیر باشند، آنگاه حداقل یک نقطهٔ در بازهٔ وجود دارد که در آن:
مشتق به ازای مختصات نقطهٔ تماس برابر است با ضریب شیب خط مماس. پس برای تعیین شیب خط مماس یا قائم بر منحنی و تعیین معادلهٔ آنها میتوان از مشتق استفاده کرد.
معادلهٔ خط مماس در نقطهٔ واقع بر منحنی:
معادلهٔ خط قائم در نقطهٔ واقع بر منحنی:
معادلهٔ خط مماس بر منحنی از نقطهای خارج از منحنی: اگر بخواهیم از نقطهٔ مماسی بر منحنی رسم کنیم، نقطهٔ تماس را در نظر میگیریم، چون نقطهٔ روی منحنی قرار گرفته از منحنی مشتق میگیریم و مختصات را قرار میدهیم تا شیب معادله بدست آید.
در نهایت چون نقطهٔ روی خط مماس قرار دارد، در معادلهٔ فوق قرار داده تا یک معادلهٔ یک مجهولی بر حسب بدست آید.
در برخی موارد دو کمیت (متغیر)، علاوه بر اینکه به هم مربوطاند، هر دو به متغیر سومی که معمولاً زمان است، بستگی دارند. در این موارد آهنگ تغییر این دو کمیت، نسبت به کمیت سوم در نظر گرفته میشود. به عنوان مثال، حد تغییرات مسافت پیموده شده به تغییرات زمانی را سرعت لحظهای گویند: