مطلوبیت خطی - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در اقتصاد در نظریهٔ انتخاب مصرف‌کننده، یک تابع مطلوبیت خطی تابعی به فرم زیر است:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\dots w_{m}x_{m}}$

یا به شکل برداری:

${\displaystyle u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {w}}\cdot {\overrightarrow {x}}}$

به‌صورتی که:

• ${\displaystyle m}$ تعداد کالاهای مختلف در اقتصاد است.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$ یک بردار با اندازهٔ ${\displaystyle m}$ است که یک مجموعه کالا را نشان می‌دهد. عنصر ${\displaystyle x_{i}}$ نیز میزان کالای ${\displaystyle i}$ در مجموعه کالا را نشان می‌دهد.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {w}}}$ یک بردار با اندازهٔ ${\displaystyle m}$ و نشان‌دهندهٔ ترجیحات ذهنی مصرف‌کننده است. عنصر ${\displaystyle w_{i}}$ بیانگر ارزش نسبی‌ای است که مصرف‌کننده به کالای ${\displaystyle i}$ اختصاص می‌دهد. اگر ${\displaystyle w_{i}=0}$ باشد، این بدان معنی است که مصرف‌کننده فکر می‌کند محصول ${\displaystyle i}$ کاملاً بی‌ارزش است، ${\displaystyle w_{i}}$ بالاتر نیز به معنی ارزش بیشتر هر واحد از این محصول برای مصرف‌کننده است.

مصرف‌کننده با تابع مطلوبیت خطی دارای ویژگی‌های زیر است:

• ترجیحات کاملاً یکنواخت است؛ یعنی داشتن مقدار بیشتری حتی از یک کالا، مطلوبیت را اکیداً افزایش می‌دهد.
• ترجیحات به‌صورت ضعیف محدب هستند، اما اکیداً محدب نیستند: ترکیبی از دو بستهٔ یکسان، برابر با بسته‌های اصلی است اما بهتر از آن نیست.
• نرخ نهایی جایگزینی کلیهٔ کالاها ثابت است. برای هر دو کالای ${\displaystyle i,j}$ داریم:

${\displaystyle MRS_{i,j}=w_{i}/w_{j}}$ .

• منحنی‌های بی‌تفاوتی در صورت وجود دو کالا خطوط صاف، و در صورت وجود کالاهای بیشتر، هایپر پلین هستند.
• هر منحنی تقاضا (تقاضا به عنوان تابعی از قیمت) یک تابع پله‌ای است: مصرف‌کننده می‌خواهد از کالایی که نسبت مطلوبیت به قیمت آن زیر بیشینه است، صفر واحد و از کالایی که نسبت مطلوبیت به قیمت آن بیشینه است تا می‌تواند خریداری کند.
• کالاها برای مصرف‌کننده جایگزین کامل هستند.

اقتصاد با مطلوبیت خطی[ویرایش]

اقتصاد خطی، یک اقتصاد مبادله‌ای است که در آن همهٔ بازیگران توابع مطلوبیت خطی دارند. اقتصاد خطی دارای چندین خاصیت است.

فرض کنید که هر بازیگر ${\displaystyle A}$ یک اعطایی اولیه ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{A}}}}$ دارد. این یک بردار با اندازه ${\displaystyle m}$ است که در آن عنصرِ ${\displaystyle e_{A,i}}$ مقدار کالای i را نشان می‌دهد که ابتدائاً در مالکیت آن در ابتدا به بازیگر ${\displaystyle A}$ داده شده‌است. در این صورت، مطلوبیت اولیهٔ این بازیگر برابر با ${\displaystyle {\overrightarrow {w_{A}}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$ است.

فرض کنید که قیمت‌های بازار توسط بردار ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ نشان داده شود، برداری که اندازه‌اش برابر ${\displaystyle m}$ است و در آن عنصر ${\displaystyle p_{i}}$ قیمت کالاست. در این صورت، بودجهٔ بازیگر ${\displaystyle A}$ برابر با ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$ است. در حالتی که این بردار، بیانگر قیمت باشد، بازیگر می‌تواند همه و فقط بسته‌های${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$ای را بگیرد که شرط محدودیت بودجه‌اش را برآورده کند: ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x}}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$.

منابع[ویرایش]