معادلات تلگرافی - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

معادلات تلگرافی یا معادلات تلگراف جفت معادله‌هایی زوج‌شده از نوع دیفرانسیل پاره‌ای هستند که رفتار خطوط انتقال مانند خطوط تلگراف، تلفن، مدارهای فرکانس بالا، خطوط انتقال برق و … را توصیف می‌کنند. این معادلات را نخستین بار الیور هویساید در سال ۱۸۸۰ به‌دست‌آورد.

مدل اجزای گسترده[ویرایش]

برای به دست آوردن این معادلات، برای هر جز دیفرانسیلی از طول خط انتقال، یه مدل دوقطبی در نظر می‌گیریم. این مدل شامل اجزای زیر است:

• مقاومت سری ${\displaystyle Rdx}$ : هر محیط انتقالی در طول خود مقاومتی در مقابل جریان دارد که با این عنصر مدل می‌شود.
• اندوکتانس سری ${\displaystyle Ldx}$ : هر خط انتقال به علت داشتن میدان مغناطیسی، اندوکتانسی دارد.
• خازن موازی ${\displaystyle Cdx}$ : هر خط انتقال به علت داشتن میدان الکتریکی، ظرفیت خازنی دارد.
• رسانایی (عکس مقاومت) موازی ${\displaystyle Gdx}$ : خطوط انتقال علاوه بر مقاومت در طول خود در عرض خود نیز نوعی اتصال الکتریکی و در نتیجه مقاومت الکتریکی دارند.

معادلات[ویرایش]

معادلات تلگرافی رو می‌توان از اعمال قوانین کیرشهف در مدل دوقطبی به‌دست‌آمده استخراج کرد. به این منظور جریان‌ها و ولتاژها را دارای تابعیت زمانی و مکانی فرض می‌کنیم. جریان و ولتاژ ورودی را به صورت ${\displaystyle I(x,t)}$ و ${\displaystyle V(x,t)}$ در نظر می‌گیریم و جریان و ولتاژ خروجی را به صورت ${\displaystyle I(x+\Delta x,t)}$ و ${\displaystyle V(x+\Delta x,t)}$ فرض می‌کنیم. با به‌دست‌آوردن روابط و حدگیری از معادلات وقتی ${\displaystyle x}$ به صفر میل کند، روابط زیر را به دست می‌آوریم:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-GV(x,t)}$

از ترکیب این دو معادله، معادلات‌ی تلگرافی برای جریان و ولتاژ به دست می‌آیند:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}V=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}V+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}V+GRV}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}I=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI}$

این معادلات برای یک خط انتقال تلف‌دار است. در حالت ایده‌آل، برای یک خط انتقال بی‌اتلاف، مقدار عناصر ${\displaystyle R}$ و ${\displaystyle G}$ صفر است.

منابع[ویرایش]

مرادی، غلامرضا، عبدی‌پور، عبدالعلی، خطوط انتقال مخابراتی، نهر دانش، ۱۳۹۲، شابک: ۸-۱-۹۶۶۸۹-۹۶۴-۹۷۸.