En mathématiques , la fonction de Gudermann , appelée aussi parfois gudermannien , et notée gd , nommée en l'honneur de Christoph Gudermann , fait le lien entre la trigonométrie circulaire et la trigonométrie hyperbolique sans faire intervenir les nombres complexes .
Graphe de la fonction de Gudermann avec ses deux asymptotes horizontales : θ = ± π 2 {\displaystyle \theta =\pm {\frac {\pi }{2}}} . La fonction de Gudermann est définie sur l'ensemble des réels par :
gd ( t ) = ∫ 0 t d u cosh u = arcsin ( tanh t ) = signe ( t ) ⋅ arccos ( sech t ) = arctan ( sinh t ) = signe ( t ) ⋅ arcsec ( cosh t ) = arccot ( csch t ) = arccsc ( coth t ) = 2 arctan ( tanh t 2 ) = 2 arctan e t − π 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {gd} }(t)&=\int _{0}^{t}{\frac {\mathrm {d} u}{\cosh u}}\\&=\arcsin \left(\tanh t\right)=\operatorname {signe} (t)\cdot \arccos \left(\operatorname {sech} t\right)\ \\&=\arctan \left(\sinh t\right)=\operatorname {signe} (t)\cdot \operatorname {arcsec} \left(\cosh t\right)\\&=\operatorname {arccot} \left(\operatorname {csch} t\right)=\operatorname {arccsc} \left(\coth t\right)\\&=2\arctan \left(\tanh {\frac {t}{2}}\right)=2\arctan e^{t}-{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}} Le réel θ = gd ( t ) {\displaystyle \theta =\operatorname {gd} (t)} , appelé parfois gudermannien de t {\displaystyle t} , est relié à ce dernier par les relations :
sin θ = tanh t ; cos θ = 1 cosh t = sech t ; tan θ = sinh t ; tan θ 2 = tanh t 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\sin \theta }&=\tanh t~;\quad \cos \theta ={\frac {1}{\cosh t}}=\operatorname {sech} t~;\\\tan \theta &=\sinh t~;\quad \tan {\frac {\theta }{2}}=\tanh {\frac {t}{2}}.\end{aligned}}}
La dérivée de la fonction de Gudermann t ↦ θ {\displaystyle t\mapsto \theta } est donnée par d θ d t = 1 cosh t = cos θ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\cosh t}}=\cos \theta } .
La fonction de Gudermann est donc la solution s'annulant en 0 de l'équation différentielle y ′ = cos y {\displaystyle y'=\cos y} .
La réciproque de la fonction de Gudermann est définie sur ] − π / 2 , π / 2 [ {\displaystyle ]-\pi /2,\pi /2[} par :
arcgd ( θ ) = g d − 1 ( θ ) = ∫ 0 θ d u cos u , = argtanh sin θ = signe ( θ ) ⋅ argcosh 1 cos θ , = ln ( tan θ + 1 cos θ ) = ln ( tan ( θ 2 + π 4 ) ) , = 1 2 ln 1 + sin θ 1 − sin θ . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcgd} (\theta )&={\rm {gd}}^{-1}(\theta )=\int _{0}^{\theta }{\frac {\mathrm {d} u}{\cos u}},\\&=\operatorname {argtanh} \sin \theta =\operatorname {signe} (\theta )\cdot \operatorname {argcosh} {\frac {1}{\cos \theta }},\\&={}\ln \left(\tan \theta +{\frac {1}{\cos \theta }}\right)=\ln \left(\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right),\\&={}{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}.\end{aligned}}} La dérivée de cette fonction réciproque θ ↦ t {\displaystyle \theta \mapsto t} est donnée par d t d θ = 1 cos θ = cosh t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}=\cosh t} .
La réciproque de la fonction de Gudermann est donc la solution s'annulant en 0 de l'équation différentielle y ′ = cosh y {\displaystyle y'=\cosh y} .
Les coordonnées de Mercator d'un point de la sphère sont définies par x = l o n g i t u d e {\displaystyle x=longitude} et y = gd − 1 ( l a t i t u d e ) {\displaystyle y=\operatorname {gd} ^{-1}(latitude)} . Elles sont ainsi définies de sorte que les loxodromies de la sphère soient représentées par des droites dans le plan x , y {\displaystyle x,y} .
Le changement de variable θ = gd ( t ) {\displaystyle \theta =\operatorname {gd} (t)} permet de transformer des intégrales de fonctions circulaires en intégrales de fonctions hyperboliques ; par exemple, ∫ 0 π / 2 cos n θ . d θ = ∫ 0 + ∞ d t cosh n + 1 t {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\cos ^{n}\theta .\mathrm {d} \theta }=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\cosh ^{n+1}t}}} . Ceci explique pourquoi on peut choisir des fonctions circulaires ou hyperboliques lors de changement de variables dans le calcul d'intégrales : quand on rencontre du 1 − x 2 {\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}} , on utilise x = cos θ {\displaystyle x=\cos \theta } ou x = 1 cosh t {\displaystyle x={\frac {1}{\cosh t}}} , et on utilise aussi x = sin θ {\displaystyle x=\sin \theta } ou x = tanh t {\displaystyle x=\tanh t} ; quand on rencontre du 1 + x 2 {\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}} , on utilise x = tan θ {\displaystyle x=\tan \theta } ou x = sinh t {\displaystyle x=\sinh t} . Paramétrisation d'un cercle ou d'une droite hyperbolique. Si l'on pose { x = cos θ = 1 cosh t y = sin θ = tanh t {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x&=\cos \theta ={\frac {1}{\cosh t}}\\y&=\sin \theta =\tanh t\end{aligned}}\end{cases}}} , on a évidemment une paramétrisation du demi-cercle de rayon 1 dans le demi-plan x > 0 {\displaystyle x>0} ; θ {\displaystyle \theta } est la distance curviligne dans le demi-plan euclidien entre le point ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} et le point ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} , et t {\displaystyle t} est aussi une distance, mais mesurée entre ces deux points dans le demi-plan considéré comme demi-plan de Poincaré pour la géométrie hyperbolique . (en) CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323–5.