Formalisme ADM — Wikipédia

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Le formalisme ADM^[2] est une formulation hamiltonienne de la relativité générale développée en 1959 par Richard Arnowitt, Stanley Deser et Charles W. Misner. Elle joue un rôle important dans les domaines de la gravité quantique et de la relativité numérique (en)^[3].

Le formalisme est présenté en entier dans un chapitre de Gravitation: An introduction to current research (1962)^[4]. Cette présentation a été publiée à nouveau en 2008 par la revue General Relativity and Gravitation (en)^[5].

Le cinquantième anniversaire du formalisme ADM a été célébré du 7 au 9 novembre 2009 à la Texas A&M University^[6].

Formalisme[modifier | modifier le code]

Le formalisme ADM^[7] est une formulation hamiltonienne de la relativité générale^[8]. Il suppose que l'espace-temps est feuilleté en une famille d'hypersurfaces^[7] de genre espace ${\displaystyle \Sigma _{t}}$, marquées par un temps ${\displaystyle t}$, et dont les coordonnées de chaque « tranche » sont données par ${\displaystyle x^{i}}$.

La décomposition requiert que la variété M soit globalement hyperbolique^[9].

Les variables dynamiques de cette théorie sont données par le tenseur métrique des coupes en 3-D ${\displaystyle \gamma _{ij}(t,x^{k})}$ ainsi que leur moment conjugué ${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$. Le formalisme ADM est défini à l'aide de ces variables.

Le formalisme fait intervenir trois fonctions ${\displaystyle \left\{\alpha ,\beta ^{i},\gamma _{ij}\right\}}$^{[10],[N 1]} des coordonnées ${\displaystyle \left\{t,x^{i}\right\}}$^[10] :

• ${\displaystyle \alpha }$ est la fonction laps^{[7],[N 2]}. Elle mesure le temps propre entre les coupes voisines^{[10],[N 3]} ;
• ${\displaystyle \beta ^{i}}$ est le vecteur décalage^{[7],[N 4]}. Il mesure la vitesse relative entre les observateurs se déplaçant perpendiculairement aux coupes et les courbes de coordonnées spatiales constantes^{[N 5]} ;
• ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ est la métrique à trois dimensions^{[10],[N 6]}. Elle mesure les distances propres au sein de la coupe de constante ${\displaystyle t=\mathrm {d} x^{0}}$^{[10],[N 7]}.

Les trois fonctions permettent d'écrire la métrique comme suit^[7],[10] :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} s^{2}&=\left(-\alpha ^{2}+\beta _{i}\beta ^{i}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{i}c\mathrm {d} t\mathrm {d} x^{i}+\gamma _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}\\&=-\alpha ^{2}c^{2}\mathrm {d} t^{2}+\gamma _{ij}\left(\mathrm {d} x^{i}+\beta ^{i}c\mathrm {d} t\right)\left(\mathrm {d} x^{j}+\beta ^{j}c\mathrm {d} t\right)\end{aligned}}}$, où ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide.

La représentation matricielle d'une telle métrique est :

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\beta ^{2}-\alpha ^{2}&\beta _{i}\\\beta _{i}&\gamma _{ij}\end{pmatrix}}}$.

La formalisme permet de définir les grandeurs conservées d'un système isolé : l'énergie (ou la masse), le moment linéaire (c'est-à-dire la quantité de mouvement) et le moment angulaire (c'est-à-dire le moment cinétique)^[11].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

• [Hawke 2015] (en) Ian Hawke, « Numerical relativity », dans Nicholas J. Higham (éd.), The Princeton companion to applied mathematics, Princeton et Oxford, PUP, septembre 2015, 1^re éd., XVII-994 p., 26 cm (ISBN 978-0-691-15039-0, EAN 9780691150390, OCLC 923003755, DOI 10.1515/9781400874477, SUDOC 190115718, présentation en ligne, lire en ligne), part. V, chap. V.15, p. 680-687.
• [Maggiore 2018] (en) Michele Maggiore, Gravitational waves, t. II : Astrophysics and cosmology, Oxford, OUP, hors coll., mars 2018, 1^re éd., XIV-820 p., 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-857089-9, EAN 9780198570899, OCLC 1030746535, BNF 45338294, DOI 10.1093/oso/9780198570899.001.0001, Bibcode 2018gwv..book.....M, S2CID 126375843, SUDOC 225716968, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Renaux-Petel 2021] Sébastien Renaux-Petel, « Inflation cosmologique », dans Richard Taillet (dir.), L'Univers jeune : cosmologie primordiale, Londres, ISTE, coll. « Encyclopédie / sciences / univers / cosmologie et relativité générale », septembre 2021, 1^re éd., VIII-350 p., 16 × 24,3 cm (ISBN 978-1-78948-032-0, EAN 9781789480320, OCLC 1280457061, BNF 47060200, SUDOC 258148616, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 3, p. 175-265.
• [Vargas Moniz 2008] (en) Paulo Vargas Moniz, « Quantum cosmology standpoint », dans Hagen Kleinert, Robert T. Jantzen et Remo Ruffini (éd.), The eleventh Marcel Grossmann meeting on recent developments in theoretical and experimental general relativity, gravitation and relativistic field theories, t. 1^er : Part A, Singapour, Hackensack et Londres, World Scientific, septembre 2008, 1^re éd., LXV-974 p., 26 cm (ISBN 978-981-283-426-3 et 978-981-283427-0, OCLC 494248658, BNF 41318694, DOI 10.1142/6997, SUDOC 131407724, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 32, p. 708-725 (DOI 10.1142/9789812834300_0032, résumé).

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