Fougère de Barnsley — Wikipédia

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La fougère de Barnsley est une fractale nommée d'après le mathématicien Michael Barnsley qui l'a décrite pour la première fois dans son livre Fractals Everywhere^[1].

Construction[modifier | modifier le code]

La fougère de Barnsley est l'attracteur d'une famille de quatre applications affines^[2]. La formule pour une application affine est la suivante :

${\displaystyle f(x,y)={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}}}$

Dans le tableau, les colonnes "a" à "f" sont les coefficients de l'équation et "p" représente le facteur de probabilité.

Celles-ci correspondent aux transformations suivantes :

${\displaystyle f_{1}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.00&\ 0.00\ \\0.00&\ 0.16\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.85&\ 0.04\ \\-0.04&\ 0.85\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\1.60\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f_{3}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.20&\ -0.26\ \\0.23&\ 0.22\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\1.60\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f_{4}(x,y)={\begin{bmatrix}\ -0.15&\ 0.28\ \\0.26&\ 0.24\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\0.44\end{bmatrix}}}$

Programmation de la fonction[modifier | modifier le code]

Le premier point tracé est à l'origine (x₀ = 0, y₀ = 0) puis les nouveaux points sont calculés de manière itérative en appliquant de manière aléatoire l'une des quatre transformations de coordonnées suivantes :

ƒ₁

x_{n + 1} = 0

y_{n + 1} = 0.16 y_n.

Cette transformation de coordonnées est choisie 1% du temps et correspond à un point du premier segment de ligne situé à la base de la tige. Cette partie de la figure est la première à être complétée au cours des itérations

ƒ₂

x_{n + 1} = 0.85 x_n + 0.04 y_n

y_{n + 1} = −0.04 x_n + 0.85 y_n + 1.6.

Cette transformation de coordonnées est choisie 85% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon.

ƒ₃

x_{n + 1} = 0.2 x_n − 0.26 y_n

y_{n + 1} = 0.23 x_n + 0.22 y_n + 1.6.

Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon (avec inversion).

ƒ₄

x_{n + 1} = −0.15 x_n + 0.28 y_n

y_{n + 1} = 0.26 x_n + 0.24 y_n + 0.44.

Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à point à l'intérieur d'un pavillon (sans inversion).

Variétés mutantes[modifier | modifier le code]

En variant les coefficients, on peut créer des variétés mutantes de fougère, que Barnsley qualifie de superfractales^[3].

Un générateur de fougères de Barnsley a pu reproduire les fougères de type Cyclosorus (dans la famille des Thelypteridaceae) ainsi que Polypodiidae^[4],[5].

Les coefficients pour reproduire la fougère Cyclosorus sont dans le tableau suivant.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

• Système de fonctions itérées
• Théorème du collage
• Compression fractale

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