Gaz parfait relativiste — Wikipédia

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Le gaz parfait relativiste est un modèle de théorie cinétique des gaz qui considère un gaz composé de particules relativistes n'interagissant pas entre elles. Contrairement au gaz parfait « classique » qu'il généralise, il prend en compte les particules animées de vitesses proches de celle de la lumière.

Gaz non quantique[modifier | modifier le code]

La fonction de partition du gaz parfait relativiste monoatomique (particules sans degrés de liberté internes comme la rotation ou vibration des particules) est :

Z={\frac {1}{N!}}\left\{4\pi V\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}\exp(u){\frac {K_{2}(u)}{u}}\right\}^{N}

,

où :

u={\frac {\,mc^{2}}{kT}}

,

K_{n}(x)={\frac {2^{n}x^{n}\Gamma (n+1/2)}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\cos \zeta \,{\text{d}}\zeta }{(\zeta ^{2}+x^{2})^{n+1/2}}}

avec

Démonstration^[2]

La fonction de partition dans l'ensemble canonique d'un gaz parfait relativiste à 1 particule est :

Z(T,V,1)={\frac {1}{h^{3}}}\int _{V}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\exp -{\frac {E}{kT}}\,{\text{d}}^{3}q\,{\text{d}}^{3}p

où

E=mc^{2}\left\{{\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}-1\right\}

est l'énergie cinétique de la particule. En séparant les variables, on obtient

Z(T,V,1)={\frac {4\pi V}{h^{3}}}\exp u\int _{0}^{+\infty }\exp \left[-u{\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}\right]p^{2}\,{\text{d}}p

,

en posant $u=mc^{2}/kT$ . Le changement de variable

\zeta ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}

donne

Z(T,V,1)=4\pi V\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}\underbrace {\int _{1}^{+\infty }\zeta {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\exp(-u\zeta )} _{=I}\,{\text{d}}\zeta

.

Par parties^[3]

I=\underbrace {{\frac {2}{3}}{\Big [}(\zeta ^{2}-1)^{3/2}\exp(-u\zeta ){\Big ]}_{1}^{+\infty }} _{=0}+{\frac {2}{3}}\underbrace {\int _{1}^{+\infty }\left(\zeta ^{2}-1\right)^{3/2}\exp(-u\zeta )\,{\text{d}}\zeta } _{={\frac {3}{2}}K_{2}(u)}

.

Le résultat se trouve en utilisant l'absence d'interaction entre particules :

Z(T,V,N)={\frac {Z(T,V,1)^{N}}{N!}}

*Variables thermodynamiques, dans l'approximation d'un grand nombre de particules.*
Variable	Expression générale	Limite classique	Limite ultra-relativiste
énergie interne U^[4]	$Nmc^{2}\left[{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}+{\frac {3}{u}}-1\right]$	${\frac {3}{2}}NkT$	$3NkT\,$
énergie libre F^[4]	$-NkT\left\{\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]+1\right\}-Nmc^{2}$
enthalpie H	$Nmc^{2}\left[{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}+{\frac {4}{u}}-1\right]$	${\frac {5}{2}}NkT$	$4NkT\,$
enthalpie libre G	$-NkT\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]-Nmc^{2}$
capacité calorifique C_V^[4]	$Nku\left\{u+{\frac {3}{u}}-{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\left[3+u{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right]\right\}$	${\frac {3}{2}}Nk$	$3Nk\,$
capacité calorifique C_P	$Nku\left\{u+{\frac {4}{u}}-{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\left[3+u{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right]\right\}$	${\frac {5}{2}}Nk$	$4Nk\,$
potentiel chimique μ^[4]	$-kT\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]-mc^{2}$
entropie S^[4]	$Nk\left\{\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]+u{\frac {K_{3}(u)}{K_{2}(u)}}\right\}$
pression P^[4]	${\frac {NkT}{V}}$	${\frac {NkT}{V}}$	${\frac {NkT}{V}}$

Walter Greiner, Ludwig Neise, Horst Stöcker, Hubert Curien, H. Aksas (trad. de l'allemand), Thermodynamique et mécanique statistique, Berlin/Heidelberg/Paris etc., Springer, 1999, 532 p. (ISBN 3-540-66166-2)

↑ Greiner et al. (1999), p. 269-271
↑ Les grandes lignes suivent Greiner et al. (1999), p. 269-271. L'intégration finale utilise un autre changement de variables.
↑ (en) Le lien entre l'intégrale et la fonction de Bessel K_n est donné par « Modified Bessel Function of the Second Kind », sur MathWorld, Equation 7
↑ ^{a b c d e et f} Expressions générales données par Greiner et al. (1999), p. 271-273