Matrices gamma — Wikipédia

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Les matrices gamma forment des ensembles de matrices conventionnelles respectant des relations de commutations spécifiques.

Matrices de Pauli[modifier | modifier le code]

Matrices de Pauli au sens strict[modifier | modifier le code]

En deux dimensions et avec la métrique euclidienne, cet ensemble de matrices s'identifie aux matrices de Pauli. Elles sont définies comme l'ensemble des matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes :

\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}

\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

(où $i$ est l’unité imaginaire des nombres complexes). Les matrices de Pauli sont les génératrices du groupe SU(2).

Extension à la matrice sigma 0[modifier | modifier le code]

Au sens large, il existe une 4^e matrice gamma si on leur adjoint la matrice identité :

\sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.

Matrices de Dirac[modifier | modifier le code]

L'origine de ces matrices remonte aux tentatives de linéarisation par Dirac de l'équation de Klein-Gordon. Les matrices gamma sont en fait partie intégrante de l'équation de Dirac.

Matrices gamma au sens strict[modifier | modifier le code]

En notations contravariantes (voir Vecteur contravariant, covariant et covecteur), les matrices de Dirac, de dimension 4, sont constituées par l'ensemble $\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}$ . Lorsqu'on parle de matrices gamma sans autre précision, on fait référence à ces matrices de Dirac.

D'une manière condensée on écrit cet ensemble comme suit : $\{\gamma ^{\mu }\}$ avec $\mu =0,1,2,3.$

Extension à la matrice gamma 5[modifier | modifier le code]

En notations contravariantes, on définit par commodité une matrice $\gamma ^{5}$ en prenant le produit imaginaire des quatre matrices de Dirac comme suit :

\gamma ^{5}:=\mathrm {i} \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=-{\frac {\mathrm {i} }{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }

.

Bien que $\gamma ^{5}$ utilise la lettre gamma, ce n'est pas l'une des matrices gamma au sens strict. Le numéro 5 lui a été attribué du temps où l'ancienne notation de $\gamma ^{0}$ était " $\gamma ^{4}$ ".

Utilisation du symbole de Levi-Civita

En dimension 4, le symbole de Levi-Civita est défini conventionnellement comme suit:

\varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1&{\text{si }}(i,j,k,l){\text{ est une permutation ''paire'' de }}(0,1,2,3)\\-1&{\text{si }}(i,j,k,l){\text{ est une permutation ''impaire'' de }}(0,1,2,3)\\0&{\text{autrement .}}\end{cases}}

Donc en particulier : $\varepsilon _{0123}=1\,.$

On peut maintenant se poser la question de savoir ce que vaut ce même symbole en notations contravariantes :

\varepsilon ^{\mu \nu \gamma \delta }=g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }g^{\rho \gamma }g^{\sigma \delta }\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }

Le seul produit utile des quatre composantes métriques étant nécessairement égal à -1 [= (+1)(-1)(-1)(-1)] il vient :

\varepsilon ^{0123}=-1\,.

Notons aussi que dans ce contexte :

\varepsilon ^{ijkl}={\begin{cases}+1&{\text{si }}(i,j,k,l){\text{ est une permutation ''impaire'' de }}(0,1,2,3)\\-1&{\text{si }}(i,j,k,l){\text{ est une permutation ''paire'' de }}(0,1,2,3)\\0&{\text{autrement .}}\end{cases}}

En dimension n, lorsque tous les i₁,...,i_n, j₁,...,j_n prennent des valeurs 1, 2,..., n:

on a $\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=n!\delta _{[i_{1}}{}^{j_{1}}\dots \delta _{i_{n}]}{}^{j_{n}}=\delta _{i_{1}\dots i_{n}}^{j_{1}\dots j_{n}}$
où $\delta _{i_{1}\dots i_{n}}^{j_{1}\dots j_{n}}$ est un delta généralisé de Kronecker de type (n,n).

Remarque 1 : Les crochets qui encadrent et figent une combinaison des n indices inférieurs signifient qu'il y a anticommutation complète entre ces n indices de sorte qu'on dénombre n! combinaisons de pareilles permutations. Au cas où certains indices seraient exclus de la commutation ces indices exclus seraient eux-mêmes encadrés par des barres verticales

Exemple :

T_{\alpha [\beta |\gamma |\delta ]}

est un tenseur covariant d'ordre 4 antisymétrique sur ces deuxième et quatrième indices seulement.

Remarque 2 :

\varepsilon _{ab\dots e}\varepsilon ^{fb\dots e}=(n-1)!\delta _{a}^{f}

En dimension 4 il en découle que :

\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }={\frac {\mathrm {i} }{4!}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }

.

En exploitant le fait que les quatre matrices gamma anticommutent, on obtient :

\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3]}={\frac {1}{4!}}\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{0123}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }.

Et finalement il vient :

\gamma ^{5}=\mathrm {i} \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {\mathrm {i} }{4!}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\frac {\mathrm {i} }{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }.

Ceci est vrai dans l'hypothèse où la convention de sommation d'Einstein joue (ce qui justifie la division par 4!).

Dans l'hypothèse explicitement rappelée dans le texte où la convention de sommation ne jouerait pas, le dénominateur vaudrait 1 au lieu de 4!.

Intérêt de travailler avec des matrices gamma[modifier | modifier le code]

En principe, une matrice complexe 4x4 contient 16 éléments ayant chacun une partie réelle et une partie imaginaire, donc 32 paramètres au total. On pourrait donc penser que toute matrice complexe 4x4 est une combinaison linéaire de 32 matrices indépendantes. Toutefois la propriété d'herméticité exigée de ces matrices réduisent ces 32 paramètres à 16 combinaisons bilinéaires $\Gamma$ indépendantes permettant de former des scalaires de Lorentz de la forme $\langle {\overline {\psi }}\Gamma \psi \rangle$ et de construire des lagrangiens mettant en jeu des fermions. Voici deux manières équivalentes de présenter ces 16 éléments :

première schématisation (dite de Pauli)

{\begin{matrix}&&&&&I&&&&&\\&&\gamma ^{1}&&\gamma ^{2}&&\gamma ^{3}&&\gamma ^{0}&&\\\mathrm {i} \gamma ^{2}\gamma ^{3}&&\mathrm {i} \gamma ^{3}\gamma ^{1}&&\mathrm {i} \gamma ^{1}\gamma ^{2}&&\mathrm {i} \gamma ^{1}\gamma ^{0}&&\mathrm {i} \gamma ^{2}\gamma ^{0}&&\mathrm {i} \gamma ^{3}\gamma ^{0}\\&&\mathrm {i} \gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}&&\mathrm {i} \gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{0}&&\mathrm {i} \gamma ^{3}\gamma ^{1}\gamma ^{0}&&\mathrm {i} \gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{0}\\&&&&&\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{0}&&&&&\\\end{matrix}}

Les différentes lignes de ce tableau peuvent être désignées comme suit : I,

\gamma ^{\mu },\gamma ^{[\mu \nu ]},\gamma ^{[\mu \nu \rho ]}\quad et\quad \gamma ^{5}.

(voir le point "utilisation du symbole de Levi-Civita" pour plus de détails sur les crochets d'antisymétrisation)

Identité remarquable liée à ce schéma (Lemme 1 de Pauli)

Le schéma ci-dessus comporte 16 éléments. Si l'on utilise comme indice une lettre capitale latine A, B,... pour chacun de ces éléments, le lemme 1 de Pauli (voir référence [10]) stipule que le produit de deux éléments $\gamma ^{A}$ et $\gamma ^{B}$ est toujours égal à un troisième élément $\gamma ^{C}$ , à un facteur numérique près $\varepsilon _{AB}\,$ qui peut avoir les valeurs +/- 1, +/- i. En d'autres termes :

\gamma ^{A}\gamma ^{B}=\varepsilon _{AB}\gamma ^{C}.

Deuxième schématisation

{\begin{matrix}&&&&&I&&&&&\\&&\gamma ^{1}&&\gamma ^{2}&&\gamma ^{3}&&\gamma ^{0}&&\\S^{01}&&S^{02}&&S^{03}&&S^{12}&&S^{13}&&S^{23}\\&&\gamma ^{0}\gamma ^{5}&&\gamma ^{1}\gamma ^{5}&&\gamma ^{2}\gamma ^{5}&&\gamma ^{3}\gamma ^{5}\\&&&&&\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}&&&&&\\\end{matrix}}

On peut démontrer l'indépendance des éléments I,

\gamma ^{\mu },S^{\mu \nu },\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}et\gamma ^{5}

^[1].

Les matrices $\quad S^{ij}$ sont définies supra.

Technologie des matrices gamma[modifier | modifier le code]

Représentations des matrices gamma[modifier | modifier le code]

Les matrices gamma font l'objet de plusieurs représentations. La plus immédiate est la représentation de Paul Dirac (appelée aussi la « représentation standard »). Par la suite d'autres représentations ont été élaborées à partir de celle de Dirac.

Ainsi celle de Hermann Weyl s'obtient en effectuant une transformation unitaire à partir de celle de Dirac.

\gamma _{\text{Weyl}}^{\mu }=U\,\gamma _{\text{Dirac}}^{\mu }U^{-1}{\text{ avec }}U={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}},\ U^{-1}=U^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}\,

, où

1{\text{ et }}-1

sont des matrices identité (2x2).

Quant à la représentation de Ettore Majorana, elle est obtenue à partir de la « représentation standard » à l'aide de la matrice unitaire $U$ suivante :

U={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\gamma _{D}^{0}\gamma _{D}^{2}+\gamma _{D}^{0})\,.

Construire la représentation de Majorana à partir de celle de Dirac

On souhaite déterminer la matrice $\gamma _{M}^{0}\,.$ La construction de la représentation de Majorana passe par la définition d'une matrice de passage unitaire $U$ . La transformation s'effectue comme suit : $\gamma _{M}^{\mu }=U\gamma _{D}^{\mu }U^{\dagger }\,.$

Définition de U

On a

U={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\gamma _{D}^{0}\gamma _{D}^{2}+\gamma _{D}^{0})={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&-\mathrm {i} \\0&0&\mathrm {i} &0\\0&\mathrm {i} &0&0\\-\mathrm {i} &0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&-\mathrm {i} \\0&1&\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} &-1&0\\\mathrm {i} &0&0&-1\end{pmatrix}}.

Détermination de $U^{\dagger }$

On se rappelle que pour former la matrice $U^{\dagger }$ , il convient de prendre la conjuguée transposée de la matrice $U$ :

U^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&-\mathrm {i} \\0&1&\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} &-1&0\\\mathrm {i} &0&0&-1\end{pmatrix}}\,.

Vérification que $U$ est unitaire

Cela revient à montrer que $UU^{\dagger }=I_{4}.$

En effet on a :

UU^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&-\mathrm {i} \\0&1&\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} &-1&0\\\mathrm {i} &0&0&-1\end{pmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&-\mathrm {i} \\0&1&\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} &-1&0\\\mathrm {i} &0&0&-1\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.

On peut déterminer

\gamma _{M}^{0}=U\gamma _{D}^{0}U_{D}^{\dagger }\,.

Cette représentation de Majorana a la propriété intéressante que toutes les matrices $\gamma ^{\mu }$ sont imaginaires pures, ce qui rend les calculs commodes quand on considère les opérateurs de conjugaison de charge et de parité.

Représentation de
Dirac (D)	Weyl (W)	Majorana (M)
$\gamma _{D}^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$	$\gamma _{W}^{0}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$	$\gamma _{M}^{0}={\begin{pmatrix}0&0&0&-\mathrm {i} \\0&0&\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} &0&0\\\mathrm {i} &0&0&0\end{pmatrix}}$
$\gamma _{D}^{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\gamma _{W}^{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\gamma _{M}^{1}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0&0&0\\0&-\mathrm {i} &0&0\\0&0&\mathrm {i} &0\\0&0&0&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}$
$\gamma _{D}^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&-\mathrm {i} \\0&0&\mathrm {i} &0\\0&\mathrm {i} &0&0\\-\mathrm {i} &0&0&0\end{pmatrix}}$	$\gamma _{W}^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&-\mathrm {i} \\0&0&\mathrm {i} &0\\0&\mathrm {i} &0&0\\-\mathrm {i} &0&0&0\end{pmatrix}}$	$\gamma _{M}^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&\mathrm {i} \\0&0&-\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} &0&0\\\mathrm {i} &0&0&0\end{pmatrix}}$
$\gamma _{D}^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$	$\gamma _{W}^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$	$\gamma _{M}^{3}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} &0&0\\-\mathrm {i} &0&0&0\\0&0&0&-\mathrm {i} \\0&0&-\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}$
$\gamma _{D}^{5}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$	$\gamma _{W}^{5}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$	$\gamma _{M}^{5}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} &0&0\\\mathrm {i} &0&0&0\\0&0&0&\mathrm {i} \\0&0&-\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}$

On peut facilement voir à l'examen du tableau comparatif ci-dessus que la représentation de Weyl n'est autre que celle de Dirac où l'on a permuté (anticommuté) les matrices $\gamma ^{0}$ et $\gamma ^{5}$ .

Antisymétrie du produit de deux matrices gamma[modifier | modifier le code]

On constate aisément que quand $\mu$ et $\nu$ sont distincts on a

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }

Exemple (en représentation de Dirac)

Montrons que

\gamma ^{1}\gamma ^{2}=-\gamma ^{2}\gamma ^{1}

Ainsi
$\gamma ^{1}\gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&-\mathrm {i} \\0&0&\mathrm {i} &0\\0&\mathrm {i} &0&0\\-\mathrm {i} &0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mathrm {i} &0&0&0\\0&\mathrm {i} &0&0\\0&0&-\mathrm {i} &0\\0&0&0&\mathrm {i} \end{pmatrix}}$

Alors que
$\gamma ^{2}\gamma ^{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&-\mathrm {i} \\0&0&\mathrm {i} &0\\0&\mathrm {i} &0&0\\-\mathrm {i} &0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0&0&0\\0&-\mathrm {i} &0&0\\0&0&\mathrm {i} &0\\0&0&0&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}$

Relations d'anticommutation[modifier | modifier le code]

On va maintenant généraliser l'exemple ci-dessus et le couler dans la relation d'anticommutation standard, relation vraiment fondamentale car c'est sur elle que l'algèbre de Clifford a été développée.

$\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I_{4}$

où

\{,\}

est le symbole de l'anticommutateur

g^{\mu \nu }\,=g_{\mu \nu }\,

est le tenseur fondamental ici défini au moyen de la métrique de Minkowski par

g^{00}=1\,

g^{11}=g^{22}=g^{33}=-1\,

g^{\mu \nu }=0\,

pour

\mu \,

≠

\nu \,

et

\ I_{4}\,

est la matrice identité 4x4. (le plus souvent omise)

Remarques

Par la suite quand nous parlerons de la relation standard d'anticommutation nous l'appellerons simplement relation d'anticommutation.
Comme $\nu$ est un indice muet on peut le remplacer dans l'expression ci-dessus par $\sigma$ .

Il vient :

\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }+\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \sigma }I_{4}

Si on multiplie les 2 membres de cette égalité par le tenseur $g_{\nu \sigma }$ on obtient

\displaystyle \ g_{\nu \sigma }(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }+\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu })=2g_{\nu \sigma }g^{\mu \sigma }I_{4}

Comme $g_{\nu \sigma }$ est un nombre on peut le permuter avec une matrice de sorte que l'expression peut être développée comme suit:

\displaystyle \ g_{\nu \sigma }(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }+\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu })=\gamma ^{\mu }g_{\nu \sigma }\gamma ^{\sigma }+g_{\nu \sigma }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }=2g_{\nu \sigma }g^{\mu \sigma }I_{4}

Si on observe que $g^{\mu \sigma }=g^{\sigma \mu }$ et qu'on modifie dans ce sens le membre de droite

\displaystyle \ g_{\nu \sigma }(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }+\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu })=\gamma ^{\mu }g_{\nu \sigma }\gamma ^{\sigma }+g_{\nu \sigma }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }=2g_{\nu \sigma }g^{\sigma \mu }I_{4}

On est alors prêts pour appliquer la règle de contraction des indices de sorte d'obtenir

\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma ^{\mu }=2g_{\nu }^{\mu }I_{4}

A propos du tenseur métrique

Si l'on veut présenter le tenseur fondamental $g^{\mu \nu }$ avec $\quad \mu =0,1,2,3\quad$ et $\quad \,\nu =0,1,2,3\quad$ sous sa forme matricielle générale on aura :

g^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}g^{00}&g^{01}&g^{02}&g^{03}\\g^{10}&g^{11}&g^{12}&g^{13}\\g^{20}&g^{21}&g^{22}&g^{23}\\g^{30}&g^{31}&g^{32}&g^{33}\end{pmatrix}}

En le particularisant à la métrique $(+---)$ on obtient

g^{\mu \nu }=g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}

Ce tenseur est symétrique par suite de la symétrie du produit scalaire des vecteurs de base, on a : $g_{ij}=g_{ji}\,.$ Rappelons car on utilise également ce tenseur sous cette forme dans cet article que $g_{j}^{i}=g^{ik}g_{kj}\,$ où $g_{j}^{i}\,$ sont appelées les composantes mixtes du tenseur fondamental.

Bon à savoir :

g^{\mu \nu }g_{\nu \mu }=4\,.

En effet cette multiplication contractée du tenseur fondamental avec lui-même contient implicitement la convention de sommation d'Einstein ce qui donne le développement suivant:

{\begin{aligned}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }&=g^{00}g_{00}+g^{01}g_{01}+g^{02}g_{02}+g^{03}g_{03}\\&+g^{10}g_{10}+g^{11}g_{11}+g^{12}g_{12}+g^{13}g_{13}\\&+g^{20}g_{20}+g^{21}g_{21}+g^{22}g_{22}+g^{23}g_{23}\\&+g^{30}g_{30}+g^{31}g_{31}+g^{32}g_{32}+g^{33}g_{33}\\&=(+1\cdot +1)+0+0+0\\&+0+(-1\cdot -1)+0+0\\&+0+0+(-1\cdot -1)+0\\&+0+0+0+(-1\cdot -1)\\&=4\end{aligned}}

C.Q.F.D.

Cette égalité illustre bien la notion de contraction complète sur les indices covariants et contravariants identiques dans la mesure où cette multiplication débouche ici sur le scalaire 4.

On peut remarquer qu'en utilisant la métrique $(-+++)$ , soit

g^{00}=-1\,

g^{11}=g^{22}=g^{33}=1\,.

La relation d'anticommutation deviendrait :

\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=-2g^{\mu \nu }I_{4}

soit sous forme matricielle :

g^{\mu \nu }=g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

Il faudra donc à chaque fois se poser la question de savoir quelle métrique l'auteur d'un ouvrage/article a choisie. Dans tout cet article nous avons retenu la métrique

(+---).

\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{5}\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}+\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }=0

ou encore

\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }

Sur cette égalité, dont en guise de démonstration et pour reprendre les termes de W. Pauli nous ne montrerons ci-dessous qu'une spécialisation numérique, on peut voir que la propriété d'antisymétrie des produits de matrices $\gamma ^{\mu }$ est aussi de mise avec une matrice $\gamma ^{5}$ .

Spécialisation numérique

Montrons dans la représentation de Dirac que

\gamma ^{0}\gamma ^{5}+\gamma ^{5}\gamma ^{0}=0.

Ainsi

$\gamma ^{0}\gamma ^{5}=$ ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}=$ ${\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}}$

et

$\gamma ^{5}\gamma ^{0}=$ ${\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}=$ ${\begin{pmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$

La somme donne bien la matrice nulle.

Relations de commutation[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Commutateur (théorie des groupes).

En notant le commutateur par le symbole $[,]$ , on définit couramment deux matrices d'usage pratique :

\sigma ^{\mu \nu }={\frac {\mathrm {i} }{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]={\frac {\mathrm {i} }{2}}(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })

S^{\mu \nu }={\frac {\mathrm {i} }{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]={\frac {\mathrm {i} }{4}}(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })

où les matrices $S^{\mu \nu }$ sont appelées les matrices de spin.

À noter les quatre relations de commutation :

\left[S^{\nu \mu },S^{\lambda \rho }\right]=\mathrm {i} (g^{\lambda \mu }S^{\nu \rho }-g^{\lambda \nu }S^{\mu \rho }+g^{\rho \mu }S^{\lambda \nu }-g^{\rho \nu }S^{\lambda \mu })

Démonstration

On a :

{\begin{aligned}\left[S^{\nu \mu },S^{\lambda \rho }\right]&=-{\frac {1}{16}}\left[\left[\gamma ^{\nu },\gamma ^{\mu }\right],\left[\gamma ^{\lambda },\gamma ^{\rho }\right]\right]\\&=-{\frac {1}{16}}\left[2\left(g^{\nu \mu }I_{4}-\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right),2\left(g^{\lambda \rho }I_{4}-\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4}}\left[g^{\nu \mu }I_{4}-\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu },g^{\lambda \rho }I_{4}-\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }\right]\\&=-{\frac {1}{4}}\left(\left[g^{\nu \mu }I_{4},g^{\lambda \rho }I_{4}\right]+\left[\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu },\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }\right]-\left[\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu },g^{\lambda \rho }I_{4}\right]+\left[\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda },g^{\nu \mu }I_{4}\right]\right)\end{aligned}}

À ce stade, on observe dans le membre de droite, que dans les premier, troisième et quatrième commutateurs, la matrice 4x4 constituant l'un des termes au moins ne prend que des valeurs scalaires 1 ou -1, ce qui implique la nullité de ces commutateurs. Il vient donc :

{\begin{aligned}\left[S^{\nu \mu },S^{\lambda \rho }\right]&=-{\frac {1}{4}}\left[\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu },\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }\right]\\&=-{\frac {1}{4}}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }-\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)\end{aligned}}

On va maintenant se faire téléscoper les différents termes en utilisant la relation anti-commutation :

\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I_{4}

ce qui implique : $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=2g^{\mu \nu }I_{4}-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }$

jusqu'à faire apparaître un terme qui se compensera avec le premier terme du membre de droite.

{\begin{aligned}\left[S^{\nu \mu },S^{\lambda \rho }\right]&=-{\frac {1}{4}}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }-\gamma ^{\rho }\left(2g^{\lambda \mu }I_{4}-\gamma ^{\mu }\gamma ^{\lambda }\right)\gamma ^{\nu }\right)\\&=-{\frac {1}{4}}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }-2g^{\lambda \mu }I_{4}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\lambda }\gamma ^{\nu }\right)\\&=-{\frac {1}{4}}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }-2g^{\lambda \mu }I_{4}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\left(2g^{\lambda \nu }I_{4}-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }\right)\right)\\&=-{\frac {1}{4}}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }-2g^{\lambda \mu }I_{4}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+2g^{\lambda \nu }I_{4}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }-\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }\right)\\&=-{\frac {1}{4}}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }-2g^{\lambda \mu }I_{4}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+2g^{\lambda \nu }I_{4}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }-\left(2g^{\rho \mu }I_{4}-\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\right)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }\right)\\&=-{\frac {1}{4}}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }-2g^{\lambda \mu }I_{4}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+2g^{\lambda \nu }I_{4}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }-2g^{\rho \mu }I_{4}\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }\right)\\&=-{\frac {1}{4}}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }-2g^{\lambda \mu }I_{4}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+2g^{\lambda \nu }I_{4}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }-2g^{\rho \mu }I_{4}\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }+\gamma ^{\mu }\left(2g^{\rho \nu }I_{4}-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\gamma ^{\lambda }\right)\\&=-{\frac {1}{4}}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }-2g^{\lambda \mu }I_{4}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+2g^{\lambda \nu }I_{4}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }-2g^{\rho \mu }I_{4}\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }+2g^{\rho \nu }I_{4}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\lambda }-\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(g^{\lambda \mu }I_{4}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-g^{\lambda \nu }I_{4}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }+g^{\rho \mu }I_{4}\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }-g^{\rho \nu }I_{4}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\lambda }\right)\\&={\frac {1}{\mathrm {i} }}g^{\lambda \mu }I_{4}\left(i\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }/2\right)-{\frac {1}{\mathrm {i} }}g^{\lambda \nu }I_{4}\left(\mathrm {i} \gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }/2\right)+{\frac {1}{\mathrm {i} }}g^{\rho \mu }I_{4}\left(\mathrm {i} \gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }/2\right)-{\frac {1}{\mathrm {i} }}g^{\rho \nu }I_{4}\left(i\gamma ^{\mu }\gamma ^{\lambda }/2\right)\end{aligned}}

Pour achever la démonstration nous aurons besoin de la relation :

{\frac {\mathrm {i} }{2}}\gamma ^{\rho }\gamma {\nu }={\frac {\mathrm {i} }{2}}g^{\nu \rho }-S^{\nu \rho }

Celle-ci se démontre aisément en partant d'une part de la relation d'anticommutation :

2g^{\mu \nu }=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }

et d'autre part de la définition

S^{\mu \nu }={\frac {\mathrm {i} }{4}}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-{\frac {\mathrm {i} }{4}}\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }

car il suffit de multiplier la première par i/4 et d'en soustraire la deuxième.

On peut ainsi conclure le calcul :

{\begin{aligned}\left[S^{\nu \mu },S^{\lambda \rho }\right]&={\frac {1}{\mathrm {i} }}g^{\lambda \mu }I_{4}\left(\mathrm {i} \gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }/2\right)-{\frac {1}{\mathrm {i} }}g^{\lambda \nu }I_{4}\left(i\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }/2\right)+{\frac {1}{\mathrm {i} }}g^{\rho \mu }I_{4}\left(i\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }/2\right)-{\frac {1}{\mathrm {i} }}g^{\rho \nu }I_{4}\left(\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\gamma ^{\lambda }/2\right)\\&={\frac {1}{\mathrm {i} }}g^{\lambda \mu }I_{4}\left({\frac {\mathrm {i} }{2}}g^{\nu \rho }-S^{\nu \rho }\right)-{\frac {1}{\mathrm {i} }}g^{\lambda \nu }I_{4}\left({\frac {\mathrm {i} }{2}}g^{\mu \rho }-S^{\mu \rho }\right)+{\frac {1}{\mathrm {i} }}g^{\rho \mu }I_{4}\left({\frac {\mathrm {i} }{2}}g^{\lambda \nu }-S^{\lambda \nu }\right)-{\frac {1}{\mathrm {i} }}g^{\rho \nu }I_{4}\left({\frac {i}{2}}g^{\lambda \mu }-S^{\lambda \mu }\right)\\&=\mathrm {i} \left(g^{\lambda \mu }S^{\nu \rho }-g^{\lambda \nu }S^{\mu \rho }+g^{\rho \mu }S^{\lambda \nu }-g^{\rho \nu }S^{\lambda \mu }\right)\end{aligned}}

C.Q.F.D.

$\left[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\alpha \beta }\right]=2\mathrm {i} (g^{\mu \beta }\sigma ^{\nu \alpha }+g^{\nu \alpha }\sigma ^{\mu \beta }-g^{\mu \alpha }\sigma ^{\nu \beta }-g^{\nu \beta }\sigma ^{\mu \alpha })$

Démonstration

La démonstration est identique à celle donnée ci-dessus.

C.Q.F.D.

$\left[\gamma ^{5},\sigma ^{\mu \nu }\right]=0$

Démonstration

En effet

{\begin{aligned}\left[\gamma ^{5},\sigma ^{\mu \nu }\right]&=\gamma ^{5}{\frac {\mathrm {i} }{2}}(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })-{\frac {\mathrm {i} }{2}}(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })\gamma ^{5}\\&={\frac {\mathrm {\mathrm {i} } }{2}}(\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{5}\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }-\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{5})\\&={\frac {\mathrm {\mathrm {i} } }{2}}(\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{5}\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{5}\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })\\&=0\end{aligned}}

C.Q.F.D.

$\left[\gamma ^{5},S^{\mu \nu }\right]=0$

Démonstration

Etant donnée la proportionnalité entre $S^{\mu \nu }$ et $\sigma ^{\mu \nu }$ la démonstration est identique à celle donnée ci-dessus.

C.Q.F.D.

Identités[modifier | modifier le code]

Identités propres[modifier | modifier le code]

Les matrices gamma font l'objet de propriétés d'hermiticité telles que les relations d'anticommutation soient respectées.

Num	Identité propre
1	$\displaystyle \gamma _{0}=\gamma ^{0}$
2	$\displaystyle (\gamma ^{0})^{2}=I_{4}$
3	$\displaystyle \gamma _{i}=-\gamma ^{i}\quad \mathrm {pour} \quad i=1,2,3$
4	$\displaystyle (\gamma ^{i})^{2}=-I_{4}\quad \mathrm {pour} \quad i=1,2,3$
5	$\displaystyle \gamma _{5}=\gamma ^{5}=-\mathrm {i} \gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}$
6	$\displaystyle (\gamma ^{5})^{2}=I_{4}$
7	$\displaystyle (\gamma ^{0})^{\dagger }=\gamma ^{0}$
8	$\displaystyle (\gamma ^{i})^{\dagger }=-\gamma ^{i}\quad \mathrm {pour} \quad i=1,2,3$
9	$\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}\quad \mathrm {pour} \quad \mu =0,1,2,3$
10	$\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=-\sigma ^{\nu \mu }$

Démonstration

Preuve de l'identité n^o 5

Par définition on a

\gamma ^{5}=\mathrm {i} \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}

Or selon la première identité propre on a

\gamma _{0}=\gamma ^{0}

et selon la troisième identité propre on a respectivement

\gamma _{1}=-\gamma ^{1}\,

\gamma _{2}=-\gamma ^{2}\,

\gamma _{3}=-\gamma ^{3}\,

Ainsi :

\gamma _{5}=-\mathrm {i} \gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}=-\mathrm {i} \gamma ^{0}(-\gamma ^{1})(-\gamma ^{2})(-\gamma ^{3})=(-1)^{4}\mathrm {i} \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{5}

Preuve de l'identité n^o 7: $(\gamma ^{0})^{\dagger }=\gamma ^{0}$

Cette identité propre exprime l'idée que la matrice $\gamma ^{0}$ est égale à sa matrice hermitienne conjuguée. Pour appréhender ce que représente cette matrice hermitienne conjuguée, il faut se rappeler que par définition la conjuguée d'un opérateur h satisfait à l'équation

\langle \psi |h|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}(x)h\psi (x)dx=\langle \psi |h\psi \rangle \equiv \langle h^{\dagger }\psi |\psi \rangle

Cela signifie donc que lorsque la conjuguée de h c'est-à-dire $h^{\dagger }$ agit sur la conjuguée de $\psi$ cela doit donner le même résultat pour l'intégrale que l'action de h sur $\psi$ .

Identités utiles[modifier | modifier le code]

Les identités qui suivent découlent des relations fondamentales d'anticommutation ainsi que des identités propres, de sorte qu'elles sont valables dans n'importe quelle base ou représentation.

Identités de contractions[modifier | modifier le code]

Num	Identité de contraction
1	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}$
2	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }$
3	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4g^{\nu \rho }I_{4}$
4	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$

Démonstration

Preuve de l'identité n^o 1

Pour démontrer que

\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}

l'idée est de se servir de la relation d'anticommutation.

L'utilisation de la métrique g permet de transformer la contraction $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }$ de manière à pouvoir faire appel à cette relation d'anticommutation :

${\begin{matrix}\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }&=\gamma ^{\mu }g_{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=g_{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }&\\&={\frac {1}{2}}(g_{\mu \nu }+g_{\nu \mu })\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }&\mathrm {(symetrie\ de} \ g)\\&={\frac {1}{2}}(g_{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+g_{\nu \mu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })&\mathrm {(expansion)} \\&={\frac {1}{2}}(g_{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+g_{\mu \nu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })&\mathrm {(nouvelle\ labellisation\ du\ terme\ de\ droite)} \\&={\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}&\\&={\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\left(2g^{\mu \nu }I_{4}\right)&\mathrm {(relation\ d'anticommutation)} \\&=g_{\mu \nu }g^{\mu \nu }I_{4}=4I_{4}.&\end{matrix}}$; C.Q.F.D.
Preuve de l'identité n^o 2

On a :

{\begin{aligned}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }&=\gamma ^{\mu }\left(2g_{\mu }^{\nu }I_{4}-\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\right)\\&=2\gamma ^{\mu }g_{\mu }^{\nu }-\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\\&=2\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }=-2\gamma ^{\nu }\end{aligned}}.

[1]