Notations actuarielles internationales — Wikipédia

Les notations actuarielles^[1] fournissent un standard de représentation des contrats d'assurance-vie. Ce standard facilite l'expression des résultats de la tarification ^[2] et du provisionnement basé sur les mathématiques financières et sur les tables de mortalité^[3]. Ces notations intègrent le core syllabus de l'institut des actuaires (Actuaire) et sont à la base des enseignements en assurance-vie. Leur écriture sous LaTeX peut se faire grâce aux paquetages actuarialsymbol^[4] et actuarialangle ^[5].

Notations utilisées pour la partie 'mathématiques financières'[modifier | modifier le code]

${\displaystyle \textstyle i}$ représente le taux d'intérêt effectif annuel.

${\displaystyle \textstyle i^{(m)}}$ est le taux nominal annuel par période de capitalisation de ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{m}}}$ année. Par exemple, ${\displaystyle \textstyle \,i^{(2)}}$ est le taux d'intérêt nominal convertibles semestriellement. Le taux périodique est alors de ${\displaystyle \textstyle {\frac {i^{(m)}}{m}}}$.

${\displaystyle 1+i=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}}$

Le taux annuel effectif est de 12, quel est le taux nominal ?

Si ${\displaystyle \textstyle d}$ est le taux d'escompte, et ${\displaystyle \textstyle \delta }$ le taux d'intérêt continu :

${\displaystyle \,(1+i)=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}=e^{\delta }=\left(1-{\frac {d^{(m)}}{m}}\right)^{-m}=(1-d)^{-1}}$

La lettre ${\displaystyle \textstyle v}$ est utilisée pour représenter la valeur présente de 1 dans un an (voir Actualisation) :

${\displaystyle \,v={(1+i)}^{-1}\approx 1-i+i^{2}}$

Option VBASupport 1 ' Needed for Calc (libreoffice/openoffice) Function annuity( i as double, n as double, Optional m as double = 0, _                   Optional  k as Integer =1, Optional Terme as String= "immediate" ) 'i      Effective interest rate expressed in decimal form. E.g. 0,03 means 3%.   'n      Years for payments. 'm      Deferring Years, whose default value is zero. 'k      Yearly payments frequency. A payment of k − 1 is supposed to be performed at '         the end of each year. 'Terme  A string, either "immediate", "continuous" or "due".    i_k=(1+i)^(1/k)-1 'effective rate for one period  n_k=n*k 'number of periods for payements  m_k=m*k 'deferring periods     v_k = 1 / (1 + i_k) 'present value rate     d = i_k / (1 + i_k) 'discount rate for one period      if Terme = "immediate" then annuity = (1-v_k ^ n_k)/i_k/k if Terme = "due" then       annuity = (1-_kv ^ n_k)/d/k                             annuity = v_k^m_k*annuity  'k is not used in continous case     delta= log(1+i)     ' continuous rate     v = 1 / (1 + i) if Terme = "continuous" then annuity = v^m *  (1-v ^ n)/delta  'MsgBox "Valeur présente d'un paiement annuel de 1, fractionné en " & k & _ '  " versements par an (à terme de type : " & Terme & "), d'une durée " & n & _ '   " ans, différée de " & m & "années, au taux " & format(i,"0.00%") & " = " & annuity End Function 

Les tables de mortalité[modifier | modifier le code]

Entre (x) et (x+1)[modifier | modifier le code]

Une table de mortalité indique le nombre de personnes vivantes à un âge donné, sur la base d'hypothèse sur la population initiale et des lois de survie.

${\displaystyle \textstyle l_{x}}$ est le nombre de personnes vivantes, par rapport à une cohorte initiale, à l'âge ${\displaystyle \textstyle x}$. Comme l'âge augmente le nombre de personnes vivantes diminue.

${\displaystyle \textstyle l_{0}}$ est le point de départ de ${\displaystyle \textstyle l_{x}}$ : Le nombre de personnes vivant à l'âge 0. Ceci est connu comme la racine de la table (certaines tables de mortalité commencent à un âge supérieur à 0).

${\displaystyle \textstyle w}$ est l'âge limite des tables de mortalité. ${\displaystyle \textstyle l_{n}}$ est égal à zéro pour tous ${\displaystyle \textstyle n\geq w}$.

${\displaystyle \textstyle d_{x}}$ est le nombre de personnes qui meurent entre l'âge ${\displaystyle \textstyle x}$ et l'âge ${\displaystyle \textstyle x+1}$. ${\displaystyle \textstyle d_{x}}$ peut être calculée en utilisant la formule ${\displaystyle \textstyle d_{x}=l_{x}-l_{x+1}}$.

${\displaystyle \textstyle q_{x}}$ est la probabilité de décès entre les âges de ${\displaystyle \textstyle x}$ et l'âge ${\displaystyle \textstyle x+1}$.

${\displaystyle \,q_{x}=d_{x}/l_{x}}$

${\displaystyle \textstyle p_{x}}$ est la probabilité que l'individu âgé de ${\displaystyle \textstyle x}$ survive à l'âge ${\displaystyle \textstyle x+1}$.

Comme l'alternative entre l'âge (${\displaystyle \textstyle x}$) et (${\displaystyle \textstyle x+1}$) est de mourir ou survivre :

${\displaystyle \,p_{x}+q_{x}=1}$

${\displaystyle \textstyle {}_{k|}q_{x}}$, la probabilité que l'individu d'âge ${\displaystyle \textstyle x}$ meure dans la ${\displaystyle \textstyle {k+1}^{e}}$ année.

${\displaystyle \textstyle {}_{k|}a_{x}}$ une rente sur l'individu d'âge ${\displaystyle \textstyle x}$ différée ${\displaystyle \textstyle k}$ années. Le premier paiement intervient dans ${\displaystyle \textstyle k+1}$ ans.

Entre (x) et (x+n)[modifier | modifier le code]

Ces symboles peuvent être étendus à plusieurs années en insérant le nombre d'années en bas à gauche du symbole de base.

${\displaystyle \textstyle \,_{n}d_{x}=d_{x}+d_{x+1}+\cdots +d_{x+n-1}=l_{x}-l_{x+n}}$ montre le nombre de personnes qui meurent entre l'âge ${\displaystyle \textstyle x}$ et l'âge ${\displaystyle \textstyle x+n}$.

${\displaystyle \textstyle \,_{n}q_{x}}$ est la probabilité de décès entre les âges de ${\displaystyle \textstyle x}$ et l'âge ${\displaystyle \textstyle x+n}$.

${\displaystyle \,_{n}q_{x}={}_{n}d_{x}/l_{x}}$

${\displaystyle \textstyle \,_{n}p_{x}}$ est la probabilité d'une personne d'âge ${\displaystyle \textstyle x}$ de survivre à l'âge ${\displaystyle \textstyle x+n}$.

${\displaystyle \,_{n}p_{x}=l_{x+n}/l_{x}}$

L'espérance de vie[modifier | modifier le code]

${\displaystyle \textstyle \,e_{x}}$ est l'espérance de vie pour une personne encore en vie à l'âge ${\displaystyle \textstyle x}$. C'est le nombre espéré d'anniversaires à vivre.

${\displaystyle e_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }{}_{t}p_{x}}$

Une table de mortalité montre généralement le nombre de personnes vivant à des âges entiers. Une hypothèse courante est que d'une distribution uniforme de décès (UDD) entre ${\displaystyle \textstyle x}$ et ${\displaystyle \textstyle x+1}$.

${\displaystyle \,l_{x+t}=(1-t)l_{x}+tl_{x+1}}$

Les rentes[modifier | modifier le code]

Les rentes annuelles[modifier | modifier le code]

Le symbole de base pour la valeur actualisée d'une rente est ${\displaystyle \textstyle a}$.

1. L'indice à droite indique l'âge de la personne lors du démarrage de rente et la période pour laquelle une rente est versée ${\displaystyle (a_{x})}$.
2. L'exposant à droite indique la fréquence de paiement dans l'année ${\displaystyle (a_{x}^{(m)})}$.
3. Le symbole au-dessus indique quand les paiements sont dus. Deux points pour le terme à échoir ou anticipé, barre pour le versement continu et rien pour le terme échu ${\displaystyle ({\ddot {a}}_{x},\ {\bar {a}}_{x},\ a_{x})}$.

${\displaystyle \textstyle a_{{\overline {n}}|i}}$ représente la valeur actualisée d'une rente à terme échue.

${\displaystyle \,a_{{\overline {n}}|i}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}={\frac {1-v^{n}}{i}}}$

${\displaystyle \textstyle {\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}}$ représente la valeur actualisée d'une rente à terme à échoir ou anticipé (paiements unitaires au début de chaque année).

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}=1+v+\cdots +v^{n-1}={\frac {1-v^{n}}{d}}}$

Les rentes semestrielles, trimestrielles ou mensuelles[modifier | modifier le code]

Si le symbole ${\displaystyle \textstyle (k)}$ est ajoutée au coin supérieur droit, les paiements d'une valeur de ${\displaystyle \textstyle 1/k}$ se produisent chacune des ${\displaystyle \textstyle k}$ périodes de l'année.

${\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}^{(k)}={\frac {1-v^{n}}{i^{(k)}}},{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}^{(k)}={\frac {1-v^{n}}{d^{(k)}}}}$

${\displaystyle \textstyle {\overline {a}}_{{\overline {n}}|i}}$ est la valeur limite de ${\displaystyle \textstyle \,a_{{\overline {n}}|i}^{(k)}}$ quand ${\displaystyle \textstyle k}$ tend vers l'infini. La rente sous-jacente est connue comme une rente continue.

${\displaystyle {\overline {a}}_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-v^{n}}{\delta }}}$

${\displaystyle \textstyle \,s_{{\overline {n}}|i}}$ est la valeur accumulée de la rente à la date du dernier paiement.

Capitaux décès[modifier | modifier le code]

Le symbole de base pour un capital décès est ${\displaystyle \textstyle \,A}$.

${\displaystyle \textstyle A_{x}}$ indique une prestation au décès à la fin de l'année de la mort (montant de 1).

${\displaystyle \textstyle A_{x}^{(12)}}$ indique une prestation payable à la fin du mois du décès.

${\displaystyle \textstyle {\overline {A}}_{x}}$ indique une prestation payée à la date du décès.

Autres Notations Actuarielles[modifier | modifier le code]

Garantie en cas de vie[modifier | modifier le code]

Le symbole de base pour un capital différé ${\displaystyle \textstyle \,E}$ (en cas de vie).

${\displaystyle \textstyle _{n}E_{x}}$ indique, pour une personne d'âge ${\displaystyle x}$, une prestation à l'âge ${\displaystyle n+x}$ si elle est vivante (montant de 1).

La prime[modifier | modifier le code]

Le symbole de base pour représenter la prime nette est ${\displaystyle \textstyle \,P}$ ou ${\displaystyle \pi }$. Par exemple ${\displaystyle {}_{h}P^{(m)}({}_{n|}{\ddot {a}}_{x})}$ représente la prime annuelle (payée en ${\displaystyle m}$ versements par an pendant ${\displaystyle h}$ années) pour une annuité à terme anticipé et différé de ${\displaystyle n}$ années.

La Valeur ou Provision Mathématique[modifier | modifier le code]

Le symbole ${\displaystyle \textstyle \,V}$ sert à représenter la provision mathématique ou la valeur d'une police.

Coefficients ou commutations[modifier | modifier le code]

Ces coefficients ou commutations établies par des fonctions actuarielles qui dépendent d'une table de mortalité et d'un coefficient d'actualisation n'ont pas de sens particulier. Ils servent à simplifier l'écriture des calculs.

${\displaystyle D_{x}=l_{x}.v^{x}}$ comme le nombre de survivants actualisés

${\displaystyle C_{x}=d_{x}v^{x+{\frac {1}{2}}}}$ comme le nombre de décès actualisés à l'âge ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle N_{x}=\sum _{k\geq 0}D_{x+k}=\sum _{k=0}^{\omega -x}D_{x+k}}$

${\displaystyle S_{x}=\sum _{k\geq 0}N_{x+k}=\sum _{k\geq 0}(k+1).D_{x+k}}$

L'assurance sur plusieurs individus[modifier | modifier le code]

${\displaystyle \textstyle a_{xyz}}$ est une rente annuelle, payée dès la fin de la première année et tant que vivent ${\displaystyle \textstyle (x)}$, ${\displaystyle \textstyle (y)}$ et ${\displaystyle \textstyle (z)}$.

${\displaystyle \textstyle a_{\overline {xyz}}}$ est une rente annuelle, payée dès la fin de la première année et tant que vivent ${\displaystyle \textstyle (x)}$, ${\displaystyle \textstyle (y)}$ ou ${\displaystyle \textstyle (z)}$.

${\displaystyle a_{\overline {xy}}=a_{y}+a_{x}-a_{xy}}$

${\displaystyle \textstyle A_{xyz}}$ est une assurance qui intervient à la fin de l'année du premier décès de ${\displaystyle \textstyle (x)}$, ${\displaystyle \textstyle (y)}$ et ${\displaystyle \textstyle (z)}$.

La barre verticale indique la conditionnalité :

${\displaystyle \textstyle a_{x|y}}$ est une rente de reversion qui profite à ${\displaystyle \textstyle (y)}$ après le décès de ${\displaystyle \textstyle (x)}$.

${\displaystyle \textstyle A_{x|yz}}$ est une assurance au premier décès de ${\displaystyle \textstyle (y)}$ et ${\displaystyle \textstyle (z)}$.

Notes et références[modifier | modifier le code]

• Portail des probabilités et de la statistique