Problème du cercle — Wikipédia

Le problème du cercle de Gauss est un problème de mathématiques à l'énoncé très simple mais encore non résolu^{[réf. nécessaire]}. Il consiste à considérer un cercle tracé sur un quadrillage et à demander combien de nœuds du quadrillage sont dans le cercle.

Le problème[modifier | modifier le code]

Considérons un cercle dans R² avec le centre à l'origine et le rayon r ≥ 0. Le problème du cercle de Gauss demande combien de points il y a à l'intérieur de ce cercle de la forme (m,n), où m et n sont tous deux des nombres entiers. L'équation de ce cercle étant donnée en coordonnées cartésiennes par x² + y² = r², le problème revient à demander combien de paires de nombres entiers (relatifs) m et n vérifient :

$m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.$

Si la réponse donnée pour une valeur de r est sous la forme de N(r), alors la liste suivante montre les premières valeurs de N(r) pour r, un nombre entier compris entre 0 et 12. Elle est suivie de la liste des valeurs $\pi r^{2}$ arrondies au nombre entier le plus proche :

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (séquence A000328 dans l'OEIS )

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (séquence A075726 dans l'OEIS )

Forme exacte[modifier | modifier le code]

La valeur de N(r) peut être donnée par plusieurs séries. En ce qui concerne la somme impliquant la fonction partie entière, il peut être exprimé ainsi :

$N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).$

Une somme beaucoup plus simple apparaît si la fonction r₂(n) est définie comme étant le nombre de façons d’écrire le nombre n comme somme de deux carrés. Ainsi,

$N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).$

Généralisation[modifier | modifier le code]

Bien que le problème initial demande le nombre de points entiers du réseau dans un cercle, il n'y a aucune raison de ne pas envisager d'autres formes ; ainsi le problème des diviseurs de Dirichlet est le problème équivalent où le cercle est remplacé par l'hyperbole équilatère^[1]. De même, on pourrait prolonger la question de deux dimensions à des dimensions supérieures, et demander le nombre de points entiers à l'intérieur d'une sphère ou d'un quelconque autre objet.

Le problème primitif du cercle[modifier | modifier le code]

Une autre généralisation consiste à calculer le nombre de premiers entre eux des solutions entières m,n à l'équation,

$m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,$

Ce problème est connu comme le problème du cercle primitif, car il implique la recherche de solutions primitives au problème du cercle initial^[2]. Si le nombre de ces solutions est notée V(r), alors les valeurs de V(r) pour r sont :

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 ... (séquence A175341 dans l'OEIS).

En liant le problème du cercle Gauss et le fait que la probabilité que deux entiers soient premiers entre eux est 6/π ², il est relativement simple de démontrer que,

$V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).$

Comme le problème du cercle, la partie problématique du problème du cercle primitif réduit l'exposant dans le terme d'erreur. À l'heure actuelle l'exposant le plus connu est 221/304 + ԑ si l'on suppose l'hypothèse de Riemann^[2]. Sans supposer l'hypothèse de Riemann, la plus connue est :

$V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))$

pour une constante positive c^[2]. En particulier, aucune hypothèse n’existe sur le terme d'erreur de la forme 1 - ε pour tout ε > 0 qui est actuellement connu et ne supposant pas l'hypothèse de Riemann.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Marcel Berger, Géométrie vivante : ou l'échelle de Jacob, Cassini, coll. « Nouvelle bibliothèque mathématique », 2009 (ISBN 9782842250355), p. 662-665.

Présentation du problème et de l'état de la recherche en 2009, avec bibliographie.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

↑ R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition, Springer, (2004), p. 365–366.
↑ ^{a b et c} J. Wu, On the primitive circle problem, Monatsh. Math. 135 (2002), p. 69–81.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

[1] R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition, Springer, (2004), p. 365–366.

[:0-2] {a b et c} J. Wu, On the primitive circle problem, Monatsh. Math. 135 (2002), p. 69–81.

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