Quadrupôle électrostatique — Wikipédia

Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus.

Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (novembre 2019).

Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références ».

En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comment ajouter mes sources ?

En électrostatique, un quadrupôle est une distribution de charges telle que les barycentres des charges positives et des charges négatives soient confondus.

Analyse du quadrupôle[modifier | modifier le code]

Soit une distribution $({\mathcal {D}})$ de charges $q_{i}$ aux points $P_{i}$ . Cette distribution $({\mathcal {D}})$ à support compact crée à une grande distance des charges (pour $r\gg a$ , avec $a$ longueur caractéristique de la distribution) un potentiel $V_{1}(r)$ .

On définit :

${\vec {r_{i}}}={\vec {OP_{i}}}$
$q=\sum _{i}q_{i}$ la somme des charges
${\vec {p}}(O)=\sum _{i}q_{i}{\vec {r_{i}}}$ , indépendant de $O$ si $q=0$ , nul si $O$ est choisi barycentre des charges
$J_{O}=\sum _{i}q_{i}r_{i}^{2}$ , le moment d'inertie par rapport à $O$
${\hat {J}}({\vec {X}})=\sum _{i}q_{i}{\vec {r_{i}}}\wedge ({\vec {X}}\wedge {\vec {r_{i}}})$ , l'opérateur linéaire d'inertie par rapport à $O$
${\hat {Q}}=2J_{o}X-3{\hat {J}}X$ , l'opérateur linéaire quadrupolaire en $O$

On peut vérifier que ${\hat {Q}}$ est de trace nulle : ${\textrm {Tr}}\ {\hat {Q}}=0$ .

Dans le cas d'une distribution continue de charge, l'expression de la composante $Q_{ij}$ du tenseur quadrupolaire est

$Q_{ij}=\int \rho \left(3r_{i}r_{j}-\|r\|^{2}\delta _{ij}\right){\textrm {d}}^{3}{\vec {r}}$ , où $\delta _{ij}$ est le symbole de Kronecker.

Développement quadrupolaire[modifier | modifier le code]

Théorème :

$V_{1}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{r}}+{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {u}}}{r^{2}}}+{\frac {{\vec {u}}\cdot \left({\hat {Q}}{\vec {u}}\right)}{2r^{3}}}\right)+o\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)$ , avec ${\vec {u}}={\frac {\vec {r}}{r}}$

En gravimétrie, ce théorème s'appelle formule de MacCullagh.

Cas particulier : axe de symétrie[modifier | modifier le code]

Lorsque $({\mathcal {D}})$ possède une symétrie de révolution, les expressions du moment quadrupolaire se simplifient et ${\hat {Q}}$ est diagonale.

Si on suppose la symétrie autour de l'axe $(Oz)$ , alors la matrice des moments est $Q_{x,x}=Q_{y,y}=-Q_{o}/2$ et $Q_{z,z}=Q_{o}$ .

Si $q$ n'est pas nul, on choisit $O$ en $G$ , et alors :

$V_{1}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{r}}+{\frac {Q_{o}}{2r^{3}}}\cdot P_{2}(\cos \theta )\right)+o\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)$ , avec $P_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}}$ (3^e polynôme de Legendre).

Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas, $Q_{o}=2(A-C)<0$ ; l'usage est de poser $J_{2}={\frac {C-A}{Ma^{2}}}=1,08263\times 10^{-3}$ .

Le potentiel terrestre est ainsi $V(M)=-{\frac {GM}{r}}+{\frac {GMaJ_{2}P_{2}(\cos \theta )}{r^{3}}}$ .

Ce développement peut être poussé plus loin (développement en harmoniques sphériques; termes en $J_{4}$ (octupolaire), $J_{6}$ , etc.).

Quadrupôle électrostatique — Wikipédia

Analyse du quadrupôle[modifier | modifier le code]

Développement quadrupolaire[modifier | modifier le code]

Cas particulier : axe de symétrie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]