Transformation de Fourier — Wikipédia

Soit h une fonction complexe définie sur ℝ et deux fois continûment différentiable. On suppose que h vérifie l'estimation

${\displaystyle |h(x)|\leq {\frac {C}{1+x^{2}}}}$

et que les deux premières dérivées de h sont intégrables sur ℝ. Alors la transformée de Fourier de h vérifie une estimation analogue

${\displaystyle |{\hat {h}}(\xi )|\leq {\frac {C}{1+\xi ^{2}}}}$.

Soit y un nombre réel qui, pour le moment, est simplement un paramètre, et notons :

${\displaystyle f(x)=h(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} yx}}$.

On vérifie que f a les mêmes propriétés fonctionnelles que h. Par conséquent, on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson à f, avec la période 2π :

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f(x+2\pi n)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(k)\mathrm {e} ^{{\rm {i}}kx}}$.

Mais le calcul de ${\displaystyle {\hat {f}}(k)}$ donne :

${\displaystyle {\hat {f}}(k)=\int _{\mathbb {R} }h(x)\mathrm {e} ^{-{\rm {i}}(y+k)x}\,\mathrm {d} x={\hat {h}}(y+k)}$.

On peut donc réécrire la formule sommatoire de Poisson en termes de h, et il vient :

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }h(x+2\pi n)\mathrm {e} ^{-{\rm {i}}(x+2\pi n)y}={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {h}}(y+k)\mathrm {e} ^{{\rm {i}}kx}}$.

On multiplie les deux membres de cette identité par ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} xy}}$ :

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }h(x+2\pi n)\mathrm {e} ^{-2{\rm {i}}\pi ny}={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {h}}(y+k)\mathrm {e} ^{{\rm {i}}(k+y)x}}$.

On remarque que les séries apparaissant de part et d'autre sont normalement convergentes pour la norme du maximum. On va donc pouvoir échanger la sommation et l'intégration par rapport à y sur l'intervalle [0 ; 1].

À gauche, l'intégration par rapport à y ne laisse subsister qu'un seul terme, celui correspondant à n = 0. À droite, on intègre par rapport à y et l'on effectue dans chaque intégrale le changement de variable y + k = ξ. On obtient ainsi la formule

${\displaystyle h(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{{\rm {i}}x\xi }\,\mathrm {d} \xi }$.

On passe au cas général de la formule d'inversion de Fourier pour une fonction f intégrable ainsi que sa transformée de Fourier par une méthode de densité. On approche f par une suite de fonctions f_p vérifiant les hypothèses fonctionnelles de la présente démonstration. On doit bien sûr supposer que les f_p et leurs transformées de Fourier ${\displaystyle {\hat {f}}_{p}}$ convergent vers leurs limites respectives f et ${\displaystyle {\hat {f}}}$ en norme L¹(ℝ). On peut construire de telles approximations en tronquant f, c'est-à-dire en le remplaçant par 0 en dehors de l'intervalle [–p, p], et en le régularisant par convolution. Si ϕ est une fonction deux fois continûment différentiable, d'intégrale 1, et à support borné, on pose ϕ_p(x) = p ϕ(px) et l'on convole la fonction tronquée f_|[–p,p] par ϕ_p. C'est une idée raisonnable d'utiliser ici le même paramètre p.

Soit f une fonction de classe C^∞ à support compact. Par le principe de transfert, on peut se contenter d'étudier le cas d'une fonction standard. Dans ce cas, il existe un réel infiniment grand T tel que pour tout réel |x| > T, f(x) = 0. Introduisons une base hilbertienne de L²([–T, T]) donnée par :

${\displaystyle e_{n}:x\mapsto {\rm {e}}^{\mathrm {i} n\pi x/T}}$

(un calcul immédiat montre qu'elle est bien orthonormée, et le fait qu'elle soit totale se déduit de la densité des fonctions continues et de leur approximation uniforme par des polynômes trigonométriques). Par le lemme de Parseval, on est en mesure d'écrire :

${\displaystyle f=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}e_{n}}$ où ${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f(x){\rm {e}}^{-\mathrm {i} n\pi x/T}{\rm {d}}x={\frac {1}{2T}}{\widehat {f}}\left({\frac {n\pi }{T}}\right)}$

Plus explicitement, pour x standard :

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\widehat {f}}\left({\frac {n\pi }{T}}\right){\rm {e}}^{\mathrm {i} n\pi x/T}{\frac {\pi }{T}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(w){\rm {e}}^{{\rm {i}}wx}{\rm {d}}w}$.

La dernière égalité vient de ce que le membre de gauche est standard, que la somme de Riemann s'effectue sur une partition de longueur infiniment petite (π/T), et donc que le membre de droite est la partie standard du membre intermédiaire. L'égalité recherchée est donc vraie pour toutes les fonctions standard de classe C^∞ à support compact et tout x standard. Par le principe de transfert, elle est aussi vérifiée pour toutes les fonctions C^∞ à support compact et tout x, puis par densité des fonctions C^∞ à support compact dans l'espace des fonctions intégrables, pour toutes les fonctions intégrables dont la transformée est intégrable et pour presque tout x.

Par définition :

${\displaystyle {\hat {f}}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}(x_{1}t_{1}+x_{2}t_{2}+\dots +x_{n}t_{n})}~\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\dots \mathrm {d} x_{n}}$.

Si l'on se place dans le cas où f est radiale (ou à symétrie sphérique) alors f ne dépend des variables x₁, ..., x_n que par l'intermédiaire de la variable ${\displaystyle \rho ={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}}$. On montre alors que ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ne dépend des variables t₁, ..., t_n que par l'intermédiaire de la variable ${\displaystyle \tau ={\sqrt {t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+\dots +t_{n}^{2}}}}$.

Soit f(x₁, ... , x_n) = g(ρ).

En notant les vecteurs : ${\displaystyle {\vec {\rho }}=\left({\begin{array}{*{20}{c}}{x_{1}}\\{x_{2}}\\\vdots \\{x_{n}}\end{array}}\right){\text{ et }}{\vec {\tau }}=\left({\begin{array}{*{20}{c}}{t_{1}}\\{t_{2}}\\\vdots \\{t_{n}}\end{array}}\right)\Rightarrow {\vec {\rho }}\cdot {\vec {\tau }}=\rho \tau \cos \theta =x_{1}t_{1}+x_{2}t_{2}+\dots +x_{n}t_{n}}$

En passant des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires dans ℝⁿ :

${\displaystyle {\hat {f}}({\vec {\tau }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\rho )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}{\vec {\tau }}\cdot {\vec {\rho }}}~\mathrm {d} ^{n}{\vec {\rho }}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\rho )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}\tau \rho \cos \theta }~\mathrm {d} ^{n}{\vec {\rho }}}$

Considérons la rotation ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ telle que ${\displaystyle {\vec {\tau }}'={\mathcal {R}}({\vec {\tau }})\Rightarrow {\hat {f}}({\vec {\tau }}')=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\rho )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}{\vec {\tau }}'\cdot {\vec {\rho }}}~\mathrm {d} ^{n}{\vec {\rho }}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\rho )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}{\mathcal {R}}({\vec {\tau }}){\vec {\rho }}}~\mathrm {d} ^{n}{\vec {\rho }}}$

On ne change pas la valeur de l'intégrale si on remplace ${\displaystyle {\vec {\rho }}}$ par ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\vec {\rho }})}$ du fait que g est radiale.

${\displaystyle \Rightarrow {\hat {f}}({\vec {\tau }}')=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\rho )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}{\mathcal {R}}({\vec {\tau }}){\mathcal {R}}({\vec {\rho }})}~\mathrm {d} ^{n}{\mathcal {R}}({\vec {\rho }})}$

Comme ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\vec {\tau }})\cdot {\mathcal {R}}({\vec {\rho }})={\vec {\tau }}\cdot {\vec {\rho }}=\tau \rho \cos \theta }$ et ${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}{\mathcal {R}}({\vec {\rho }})=\mathrm {d} ^{n}{\vec {\rho }}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\hat {f}}({\vec {\tau }}')=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\rho )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}\tau \rho \cos \theta }~\mathrm {d} ^{n}\rho ={\hat {f}}({\vec {\tau }})}$

La transformée de Fourier d'une fonction radiale est donc aussi une fonction radiale (qui ne dépend que de ${\displaystyle \parallel {\vec {\tau }}\parallel }$).

On rappelle la correspondance entre coordonnées sphériques et coordonnées polaires dans ℝⁿ, coordonnées aussi appelées « Coordonnées hypersphériques ».

${\displaystyle x_{i}=\rho \cos(\varphi _{n-i+1})\prod _{k=1}^{n-i}\sin(\varphi _{k})}$.

On montre par ailleurs que le jacobien de la transformation des coordonnées cartésiennes en coordonnées hypersphériques est : ${\displaystyle J=\rho ^{n-1}\prod _{i=1}^{n-2}\sin ^{n-1-i}(\varphi _{i})}$

avec φ_{1 ≤ j ≤ n – 2} ∈ [0,π] et φ_{n – 1} ∈ [0,2π].

Il en résulte :

${\displaystyle {\hat {f}}({\vec {\tau }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\rho )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}\tau \rho \cos \theta }\rho ^{n-1}\mathrm {d} \rho \mathrm {d} \varphi _{n-1}\prod _{j=1}^{n-2}\sin ^{n-1-j}(\varphi _{j})\mathrm {d} \varphi _{j}}$

Du fait de la symétrie radiale, on ne change rien de l'intégrale si on considère ${\displaystyle {\vec {\tau }}}$ parallèle à l'axe x₁. Cela revient alors à avoir θ = φ₁ (et indépendant des φ_{j ≠ 1})

${\displaystyle \Rightarrow {\hat {f}}({\vec {\tau }})=\int _{0}^{+\infty }g(\rho )\rho ^{n-1}\mathrm {d} \rho \underbrace {\left(\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(\theta )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}\tau \rho \cos \theta }\mathrm {d} \theta \right)} _{<2>}\underbrace {\left(\prod _{j=2}^{n-2}\int _{\varphi _{j}=0}^{\pi }\sin ^{n-1-j}(\varphi _{j})\mathrm {d} \varphi _{j}\right)} _{<1>}\left(\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi _{n-1}\right)}$

Calcul de <1>

Posons ${\displaystyle I_{j}=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-1-j}(\varphi _{j})\mathrm {d} \varphi _{j}}$

On reconnaît ici la fonction bêta ${\displaystyle \mathrm {B} (p,q)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2p-1}(\alpha )\cos ^{2q-1}(\alpha )\mathrm {d} \alpha ={\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}}}$ avec Γ la fonction gamma et p, q réels positifs.

${\displaystyle \Rightarrow I_{j}=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-1-j}(\varphi _{j})\mathrm {d} \varphi _{j}={\frac {\Gamma ({\frac {n-j}{2}})\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n-j+1}{2}})}}\Rightarrow <1>=\prod _{j=2}^{n-2}{\frac {\Gamma ({\frac {n-j}{2}})\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n-j+1}{2}})}}={\frac {\pi ^{\frac {n-3}{2}}}{\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}}}$ avec Γ(1) = 1; Γ(1/2) = √π

${\displaystyle \Rightarrow {\hat {f}}({\vec {\tau }})=2{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}}{\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}}\int _{0}^{+\infty }g(\rho )\rho ^{n-1}\mathrm {d} \rho \underbrace {\left(\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(\theta )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}\tau \rho \cos \theta }\mathrm {d} \theta \right)} _{<2>}}$

On notera au passage

${\displaystyle 2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}\alpha \mathrm {d} \alpha ={\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}}){\sqrt {\pi }}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\Rightarrow {\hat {f}}({\vec {\tau }})=2{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int _{0}^{+\infty }g(\rho )\rho ^{n-1}\mathrm {d} \rho {\frac {\left(\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(\theta )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}\tau \rho \cos \theta }\mathrm {d} \theta \right)}{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\alpha \mathrm {d} \alpha }}}$

Calcul de <2>

Considérons la fonction

${\displaystyle L_{n}(z)={\frac {\int _{0}^{\pi }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z\cos \theta }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }}}$

On notera L_n(0) = 1

On a alors

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} L_{n}(z)}{\mathrm {d} z}}={\frac {\int _{0}^{\pi }i\cos \theta \sin ^{n-2}\theta \mathrm {e} ^{\mathrm {i} z\cos \theta }\mathrm {d} \theta }{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }}}$

En intégrant par parties l'intégrale en numérateur, on établit la relation :

${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} L_{n}(z)}{\mathrm {d} z}}={\frac {z}{n-1}}{\frac {\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}\theta \mathrm {e} ^{\mathrm {i} z\cos \theta }\mathrm {d} \theta }{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }}}$

On notera alors : ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} L_{n}(0)}{\mathrm {d} z}}=0}$.

En dérivant une seconde fois :

${\displaystyle {\frac {d^{2}L_{n}(z)}{dz^{2}}}=-{\frac {\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \mathrm {e} ^{\mathrm {i} z\cos \theta }\mathrm {d} \theta }{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }}+{\frac {\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}\theta \mathrm {e} ^{\mathrm {i} z\cos \theta }\mathrm {d} \theta }{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }}\Rightarrow {\frac {d^{2}L_{n}(z)}{dz^{2}}}+{\frac {n-1}{z}}{\frac {dL_{n}(z)}{dz}}+L_{n}(z)=0}$.

On reconnaît ici une équation qui est proche de l'équation différentielle de Bessel. Pour faire disparaître le facteur n – 1 du deuxième terme, posons :

${\displaystyle L_{n}(z)=a_{n}z^{-m}J_{m}(z)}$.

En reportant cette expression dans l'équation différentielle, on arrive à :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}J_{m}(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left({\frac {n-1-2m}{z}}\right){\frac {\mathrm {d} J_{m}(z)}{\mathrm {d} z}}+\left({\frac {m(m-n+2)}{z^{2}}}+1\right)J_{m}(z)=0}$.

Il suffit alors de poser m = n – 2/2 pour arriver à l'équation différentielle de Bessel suivante :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}J_{\frac {n-2}{2}}(z)+{\frac {1}{z}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}J_{\frac {n-2}{2}}(z)+\left(1-\left({\frac {n-2}{2z}}\right)^{2}\right)J_{\frac {n-2}{2}}(z)=0}$

Il s'agit bien d'une équation différentielle de Bessel dont la fonction de Bessel ${\displaystyle J_{\frac {n-2}{2}}(z)}$ est solution. Il en résulte alors la relation suivante, par définition de la fonction de Bessel :

${\displaystyle J_{\frac {n-2}{2}}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{\frac {n-2}{2}}\sum _{p=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{p}}{p!\Gamma (p+{\frac {n}{2}})}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2p}={\frac {z^{\frac {n-2}{2}}}{a_{n}}}L_{n}(z)\Rightarrow L_{n}(z)=a_{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {n-2}{2}}\sum _{p=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{p}}{p!\Gamma (p+{\frac {n}{2}})}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2p}}$

Avec

${\displaystyle L_{n}(0)=1\Rightarrow a_{n}=2^{\frac {n-2}{2}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)\Rightarrow L_{n}(z)=\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)\sum _{p=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{p}}{p!\Gamma (p+{\frac {n}{2}})}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2p}={\frac {\int _{0}^{\pi }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z\cos \theta }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }}}$

${\displaystyle \Rightarrow L_{n}(2\pi \rho \tau )=\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)\sum _{p=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{p}}{p!\,\Gamma (p+{\frac {n}{2}})}}\left({\frac {2\pi \rho \tau }{2}}\right)^{2p}={\frac {\int _{0}^{\pi }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi \rho \tau \cos \theta }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }}}$

${\displaystyle \Rightarrow <2>=\int _{0}^{\pi }\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi \rho \tau \cos \theta }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta =2^{\frac {n-2}{2}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)(2\pi \rho \tau )^{-{\frac {n-2}{2}}}J_{\frac {n-2}{2}}(2\pi \rho \tau )\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }$

En revenant à l'expression de la transformée de Fourier :

${\displaystyle {\hat {f}}({\vec {\tau }})=2{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int _{0}^{+\infty }g(\rho )\rho ^{n-1}\mathrm {d} \rho {\frac {\left(\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(\theta )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}\tau \rho \cos \theta }\mathrm {d} \theta \right)}{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\alpha \mathrm {d} \alpha }}=2\pi (\tau )^{\frac {2-n}{2}}\int _{0}^{+\infty }g(\rho )(\rho )^{\frac {n}{2}}J_{\frac {n-2}{2}}(2\pi \rho \tau )\mathrm {d} \rho }$.

On reprend la formule établie ci-dessus dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier :

${\displaystyle \sum _{n\in Z}h(x+2\pi n){\rm {e}}^{-2\mathrm {i} \pi ny}={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {h}}(y+k){\rm {e}}^{\mathrm {i} (k+y)x}}$.

On prend le carré du module des deux membres, et l'on intègre sur l'intervalle [0 ; 1] par rapport à y et sur l'intervalle [0 ; 2π] par rapport à x :

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }\sum _{m,n\in \mathbb {Z} }h(x+2\pi n){\bar {h}}(x+2\pi m){\rm {e}}^{2\mathrm {i} \pi (m-n)y}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }{\hat {h}}(y+j){\bar {\hat {h}}}(y+k){\rm {e}}^{\mathrm {i} (j-k)x}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y}$.

On peut échanger l'ordre de la sommation et des deux intégrations dans l'expression ci-dessus, parce que les hypothèses faites sur h impliquent que les séries convergent normalement dans l'espace des fonctions continues de x et y, périodiques de période 2π en x et de période 1 en y. L'intégration en y du premier membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels m et n sont égaux, et l'intégration en x du deuxième membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels j et k sont identiques. Il reste donc :

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{0}^{2\pi }|h(x+2\pi n)|^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\int _{0}^{1}|{\hat {h}}(y+k)|^{2}\,{\rm {d}}y}$.

Il suffit de faire dans le premier membre le changement de variable dans chaque intégrale x + 2π n = x' et dans le second le changement de variable dans chaque intégrale y + k = ξ, et l'on obtient la formule :

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }|h(x')|^{2}\,{\rm {d}}x'={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }|{\hat {h}}(\xi )|^{2}\,{\rm {d}}\xi }$.

Après changement de la variable muette x' en x, on obtient la formule annoncée.

On adopte encore les mêmes notations que dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier par la formule sommatoire de Poisson, donc ϕ est une fonction deux fois continûment différentiable, à support compact, et d'intégrale 1. On pose ϕ_p(x) =p ϕ(px).

Soit h une fonction de carré intégrable, et soit p un nombre entier quelconque. On définit

${\displaystyle h_{p}=(h1_{[-p,p]})*\phi _{p}}$

et l'on peut montrer le résultat suivant :

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\int _{\mathbb {R} }|h-h_{p}|^{2}\,{\rm {d}}x=0}$.

La démonstration utilise des techniques classiques d'approximation par régularisation.

D'autre part, les fonctions h_p ont les propriétés nécessaires pour appliquer le lemme ci-dessus, et en particulier

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }|h_{p}-h_{q}|^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }|{\hat {h}}_{p}-{\hat {h}}_{q}|^{2}\,{\rm {d}}\xi }$.

Comme la suite (h_p)_{p ≥ 1} est de Cauchy dans l'espace L²(ℝ), la suite des transformées de Fourier ${\displaystyle ({\hat {h}}_{p})_{p\geq 1}}$ est aussi de Cauchy, donc elle converge. Sa limite, que l'on note ${\displaystyle {\hat {h}}}$, ne dépend pas du choix de la suite d'approximations. En effet, si g_p était une autre suite d'approximations convergeant vers h en moyenne quadratique, et satisfaisant les conditions fonctionnelles sous lesquelles on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson, on aurait l'estimation

${\displaystyle \|g_{p}-h_{p}\|_{2}\leq \|g_{p}-h\|_{2}+\|h-h_{p}\|_{2}}$,

qui tend vers 0 pour p tendant vers l'infini. Par conséquent, ${\displaystyle \|{\hat {g}}_{p}-{\hat {h}}_{p}\|_{2}}$ tend aussi vers 0 et l'on conclut que la limite de la suite ${\displaystyle {\hat {g}}_{p}}$ est bien ${\displaystyle {\hat {h}}}$.

L'identité suivante résulte du procédé d'extension décrit ci-dessus :

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }|h(x)|^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }|{\hat {h}}(\xi )|^{2}\,{\rm {d}}\xi }$.

Considérons alors la suite de fonctions f_p = f 1_{[–p,p]} . En vertu du théorème de convergence dominée de Lebesgue pour les fonctions de carré sommable, la suite des f_p converge en moyenne quadratique vers f et par conséquent, on aura aussi

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\|{\hat {f}}-{\hat {f}}_{p}\|_{2}=0}$.

En d'autres termes, ${\displaystyle {\hat {f}}_{p}}$ converge en moyenne quadratique vers ${\displaystyle {\hat {f}}}$. La démonstration pour la formule d'inversion est analogue.