Conxunto non numerábel , a enciclopedia libre

Hai moitas caracterizacións equivalentes da non numerabilidade. Un conxunto X é non numerábel se e só se cumpre algunha das seguintes condicións:

• Non hai unha función inxectiva (polo tanto, non hai bixección) desde X ata o conxunto de números naturais.
• X non está baleiro e para cada ω-sucesión de elementos de X, existe polo menos un elemento de X non incluído nela. É dicir, X non está baleiro e non hai función sobrexectiva desde os números naturais a X.
• A cardinalidade de X non é nin finita nin igual a ${\displaystyle \aleph _{0}}$  (aleph-cero).
• O conxunto X ten cardinalidade estritamente maior que ${\displaystyle \aleph _{0}}$ .

As tres primeiras destas caracterizacións pódense probar equivalentes na teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel sen o axioma de escolla, pero a equivalencia da terceira e da cuarta non se pode demostrar sen principios de escolla adicionais.

Se un conxunto non numerábel X é un subconxunto do conxunto Y, entón Y é non numerábel.

O exemplo máis coñecido dun conxunto non numerábel é o conxunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$  de todos os números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

O argumento de diagonalización de Cantor mostra que este conxunto é non numerábel.

A técnica de proba de diagonalización tamén se pode usar para demostrar que outros conxuntos son non numerábeis, como o conxunto de todas as secuencias infinitas de números naturais ${\displaystyle \mathbb {N} }$  (ver: (secuencia A102288 na OEIS), e o conxunto de todos os subconxuntos do conxunto de números naturais.

A cardinalidade ${\displaystyle \mathbb {R} }$  chámase a miúdo cardinalidade do continuo e denótase por ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ , ou ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ , ou ${\displaystyle \beth _{1}}$  (beth-un).

Outro exemplo dun conxunto non numerábel é o conxunto de todas as funcións de ${\displaystyle \mathbb {R} }$  en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Este conxunto é aínda "máis non numerábel" que ${\displaystyle \mathbb {R} }$  no sentido de que a cardinalidade deste conxunto é ${\displaystyle \beth _{2}}$  (beth-dous), que é maior que ${\displaystyle \beth _{1}}$ .

Sen o axioma da escolla, poderían existir cardinalidades incomparábeis con ${\displaystyle \aleph _{0}}$  (é dicir, as cardinalidades dos conxuntos infinitos Dedekind-finitos ).

Os conxuntos destas cardinalidades satisfán as tres primeiras caracterizacións anteriores, mais non a cuarta caracterización. Dado que estes conxuntos non son máis grandes que os números naturais no sentido de cardinalidade, algúns autores poden non querer chamalos non numerábeis.

Se se cumpre o axioma de escolla, as seguintes condicións nun cardinal ${\displaystyle \kappa }$  son equivalentes:

• ${\displaystyle \kappa \nleq \aleph _{0};}$ 
• ${\displaystyle \kappa >\aleph _{0};}$  e
• ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{1}}$ , onde ${\displaystyle \aleph _{1}=|\omega _{1}|}$  e ${\displaystyle \omega _{1}}$  é o menor ordinal inicial maior que ${\displaystyle \omega .}$ 

No entanto, todos poden ser diferentes se o axioma da escolla falta. Polo tanto, non é obvio cal é a xeralización adecuada de "non numerabilidade" cando o axioma falta. Se cadra sexa mellor evitar usar a palabra neste caso e especificar cal destes significa.

• Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
• Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.). Springer. ISBN 3-540-44085-2. 

• Número aleph
• Cardinalidade do continuo