Derivada total , a enciclopedia libre

Sexa ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$  un subconxunto aberto. Entón, dise que unha función ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$  é diferenciábel (totalmente) nun punto ${\displaystyle a\in U}$  se existe unha aplicación linear ${\displaystyle df_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$  tal que

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.}$ 

A aplicación linear ${\displaystyle df_{a}}$  chámase derivada (total) ou diferencial (total) de ${\displaystyle f}$  en ${\displaystyle a}$ . Outras notacións para a derivada total inclúen ${\displaystyle D_{a}f}$  e ${\displaystyle Df(a)}$ . Unha función é diferenciábel (totalmente) se a súa derivada total existe en cada punto do seu dominio.

Conceptualmente, a definición da derivada total expresa a idea de que ${\displaystyle df_{a}}$  é a mellor aproximación linear a ${\displaystyle f}$  no punto ${\displaystyle a}$ . Isto pódese precisar cuantificando o erro na aproximación linear determinada por ${\displaystyle df_{a}}$ . Para facelo, escríbese

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),}$ 

onde ${\displaystyle \varepsilon (h)}$  é igual ao erro na aproximación. Dicir que a derivada de ${\displaystyle f}$  en ${\displaystyle a}$  é ${\displaystyle df_{a}}$  é equivalente á afirmación

${\displaystyle \varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),}$ 

onde ${\displaystyle o}$  é a notación o pequena e indica que ${\displaystyle \varepsilon (h)}$  é moito máis pequeno que ${\displaystyle \lVert h\rVert }$  cando ${\displaystyle h\to 0}$ . A derivada total ${\displaystyle df_{a}}$  é a única aplicación linear para a cal o termo de erro é tan pequeno, e este é o sentido no que é a mellor aproximación linear a ${\displaystyle f}$ .

A función ${\displaystyle f}$  é diferenciábel se e só se cada unha das súas compoñentes ${\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbb {R} }$  é diferenciábel, polo que, ao estudar derivadas totais, a miúdo é posíbel traballar unha coordenada de cada vez no codominio. Se todas as derivadas parciais de ${\displaystyle f}$  en ${\displaystyle a}$  existen e son continuas nunha veciñanza de ${\displaystyle a}$ , entón ${\displaystyle f}$  é diferenciábel en ${\displaystyle a}$ . Cando isto ocorre, ademais, a derivada total de ${\displaystyle f}$  é a aplicación linear correspondente á matriz jacobiana de derivadas parciais nese punto.^[2]

Cando a función en cuestión é de valor real, a derivada total pode reformularse usando formas diferenciais.

Por exemplo, supoña que ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$  é unha función diferenciábel de variábeis ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ . A derivada total de ${\displaystyle f}$  en ${\displaystyle a}$  pódese escribir en termos da súa matriz jacobiana, que neste caso é unha matriz fila:

${\displaystyle Df_{a}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.}$ 

A propiedade de aproximación linear da derivada total implica que se

${\displaystyle \Delta x={\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$ 

é un vector pequeno (onde o ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$  denota a transposta, de xeito que este vector é un vector columna), entón

${\displaystyle f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot \Delta x_{i}.}$ 

Heuristicamente, isto suxire que se ${\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}$  son incrementos infinitesimals nas direccións das coordenadas, entón

${\displaystyle df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot dx_{i}.}$ 

Supoña agora que ${\displaystyle f}$  é unha función vectorial, é dicir, ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ . Neste caso, as compoñentes ${\displaystyle f_{i}}$  de ${\displaystyle f}$  son funcións de valor real, polo que teñen formas diferenciais asociadas ${\displaystyle df_{i}}$ . A derivada total ${\displaystyle df}$  combina estas formas nun único obxecto e, polo tanto, é un exemplo dunha forma diferencial vectorial.

A regra da cadea ten unha formulación particularmente elegante en termos de derivadas totais. Di que, para dúas funcións ${\displaystyle f}$  e ${\displaystyle g}$ , a derivada total da composición de funcións ${\displaystyle f\circ g}$  en ${\displaystyle a}$  satisfai

${\displaystyle d(f\circ g)_{a}=df_{g(a)}\cdot dg_{a}.}$ 

Se as derivadas totais de ${\displaystyle f}$  e ${\displaystyle g}$  se identifican coas súas matrices xacobianas, entón a composición do lado dereito é simplemente a multiplicación de matrices. Isto é enormemente útil en aplicacións, xa que permite ter en conta dependencias esencialmente arbitrarias entre os argumentos dunha función composta.

Supoña que f é unha función de dúas variábeis, x e y. Se estas dúas variábeis son independentes, de xeito que o dominio de f é ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , entón o comportamento de f pódese entender en termos das súas derivadas parciais nas direccións x e y.

No entanto, nalgúns casos, x e y poden ser dependentes. Por exemplo, pode ocorrer que f estea restrinxida a unha curva ${\displaystyle y=y(x)}$ . Neste caso, estamos realmente interesados no comportamento da función composta ${\displaystyle f(x,y(x))}$ . A derivada parcial de f en relación a x non dá a verdadeira taxa de cambio de f en relación ao cambio de x, porque mudar x necesariamente muda y. Porén, a regra da cadea para a derivada total ten en conta estas dependencias.

Se temos ${\displaystyle \gamma (x)=(x,y(x))}$ . Entón, a regra da cadea di

${\displaystyle d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\cdot d\gamma _{x_{0}}.}$ 

Expresando a derivada total usando matrices xacobianas, isto convértese en:

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dx}{dx}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dy}{dx}}(x_{0}).}$ 

Suprimindo a avaliación en ${\displaystyle x_{0}}$  para maior claridade, tamén podemos escribir isto como

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}.}$ 

Isto dá unha fórmula directa para a derivada de ${\displaystyle f(x,y(x))}$  en termos das derivadas parciais de ${\displaystyle f}$  e da derivada de ${\displaystyle y(x)}$ .

Por exemplo, supoña

${\displaystyle f(x,y)=xy.}$ 

A taxa de cambio de f en relación a x é normalmente a derivada parcial de f en relación a x; neste caso,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=y.}$ 

No entanto, se y depende de x, a derivada parcial non dá a verdadeira taxa de cambio de f a medida que x cambia, porque a derivada parcial asume que y é fixo. Supoña que estamos restrinxidos á liña

${\displaystyle y=x.}$ 

Entón

${\displaystyle f(x,y)=f(x,x)=x^{2},}$ 

e a derivada total de f respecto a ${\displaystyle x}$  é

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=2x,}$ 

que vemos que non é igual á derivada parcial ${\displaystyle \partial f/\partial x}$  que era ${\displaystyle y}$ . En vez de substituír inmediatamente ${\displaystyle y}$  en termos de ${\displaystyle x}$ , tamén podemos usar a regra da cadea como antes:

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.}$ 

Aínda que a miúdo se poden realizar substitucións para eliminar dependencias indirectas, a regra da cadea proporciona unha técnica máis eficiente e xeral.

Supoña que ${\displaystyle L(t,x_{1},\dots ,x_{n})}$  é unha función do tempo ${\displaystyle t}$  e ${\displaystyle n}$  variábeis ${\displaystyle x_{i}}$  que dependen do tempo. Entón, a derivada temporal de ${\displaystyle L}$  é

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.}$ 

A regra da cadea expresa esta derivada en termos das derivadas parciais de ${\displaystyle L}$  e as derivadas temporais das funcións ${\displaystyle x_{i}}$ :

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).}$ 

Esta expresión úsase a miúdo en física para unha transformación de escala do lagrangiano, xa que dous lagrangianos que difiren só pola derivada temporal total dunha función do tempo e as ${\displaystyle n}$  coordenadas xeneralizadas levan ás mesmas ecuacións de movemento. Un exemplo interesante refírese á resolución da causalidade na teoría simétrica no tempo de Wheeler-Feynman.

O operador entre parénteses (na expresión final anterior) tamén se chama operador de derivada total (en relación a ${\displaystyle t}$ ).

Por exemplo, a derivada total de ${\displaystyle f(x(t),y(t))}$  é

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.}$ 

Aquí non hai un termo ${\displaystyle \partial f/\partial t}$  xa que ${\displaystyle f}$  non depende directamente de ${\displaystyle t.}$ 

• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• De thesaurus.maths.org total derivative

• Derivada de Fréchet, xeneralización de derivada total
• Gradiente – xeralización multivariable dunha derivada

• Weisstein, Eric W. "Total Derivative". MathWorld. 
• Ronald D. Kriz (2007) Envisioning total derivatives of scalar functions of two dimensions using raised surfaces and tangent planes de Virginia Tech