Espazo vectorial xerado , a enciclopedia libre

Dado un espazo vectorial V sobre un corpo K, o espazo vectorial xerado por un conxunto S de vectores (non necesariamente finito) defínese como a intersección W de todos os subespazos de V que conteñen a S. É polo tanto o subespazo máis pequeno (na inclusión de conxuntos) que contén W. Denomínase subespazo xerado por S, ou polos vectores en S. Se trocamos a orde da frase, S é o sistema xerador de W, e dicimos que S xera W.

Desta definición despréndese que o espazo vectorial xerado por S é o conxunto de tódalas combinacións lineares finitas de elementos (vectores) de S, e pódese definir como tal.^{[3] [4] [5]} É dicir, $${\displaystyle \operatorname {span} (S)={\biggl \{}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\mid n\in \mathbb {N} ,\;\mathbf {v} _{1},...\mathbf {v} _{n}\in S,\;\lambda _{1},...\lambda _{n}\in K{\biggr \}}}$$ 

O espazo vectorial real ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  ten {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} como sistema xerador. Este conxunto tamén é unha base. Se (−1, 0, 0) fose substituído por (1, 0, 0), tamén formaría unha base denominada base canónica de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .

Outro sistema xerador para o mesmo espazo vén dado por {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1,¹⁄₂, 3), (1, 1, 1)}, mais este conxunto non é unha base, porque é linearmente dependente.

O conxunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) } non é un conxunto xerador de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , porque o que xera ese conxunto é un espazo con todos os vectores en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  cuxo último compoñente é cero. Ese espazo tamén se pode xerar polo conxunto de só dous vectores {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, xa que o terceiro (1, 1, 0) é unha combinación linear de (1, 0, 0) e (0, 1, 0). Por tanto, o espazo xerado non é ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , senón un plano de dúas dimensións dentro de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .

O conxunto de monomios xⁿ, onde n é un número enteiro non negativo, xera o espazo dos polinomios.

O conxunto de todas as combinacións lineares dun subconxunto S de V, un espazo vectorial sobre K, é o subespazo linear máis pequeno de V que contén a S.

Todo sistema xerador S dun espazo vectorial xerado V debe conter polo menos tantos elementos como calquera conxunto linearmente independente de vectores de V.

Sexa V un espazo vectorial de dimensión finita. Calquera conxunto de vectores que xera V pódese reducir a unha base de V, descartando algúns vectores se é necesario (é dicir, se hai vectores linearmente dependentes no conxunto).

Se o axioma de escolla é válido, isto é certo tamén para dimensión infinita. Isto tamén indica que unha base é un sistema xerador mínimo cando V é de dimensión finita.

Na análise funcional, unha espazo vectorial pechado xerado por un conxunto de vectores é o conxunto pechado mínimo que contén o sistema xerador dese conxunto.

Supoña que X é un espazo vectorial normado e sexa E calquera subconxunto non baleiro de X. O espazo vectorial pechado xerado por E, denotado como ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$  ou ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Span} }}(E)}$ , é a intersección de todos os subespazos lineares pechados de X que conteñen E.

Unha formulación matemática disto é

${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)=\{u\in X|\forall \varepsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp} (E):\|x-u\|<\varepsilon \}.}$ 

Sexa X un espazo normado e sexa E calquera subconxunto non baleiro de X. DaquelModelo:Ordered list(Por tanto, a forma habitual de atopar o espazo vectorial pechado xerado é atopar primeiro o espazo vectorial xerado e despois o peche dese espazo vectorial).

• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (PDF) (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. 
• Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (PDF) (4th ed.). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4. 
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Algebra (3rd ed.). AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821816462. 
• Oxley, James G. (2011). Matroid Theory. Oxford Graduate Texts in Mathematics 3 (2nd ed.). Oxford University Press. ISBN 9780199202508. 
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra (PDF) (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-24766-1. 
• Rynne, Brian P.; Youngson, Martin A. (2008). Linear Functional Analysis. Springer. ISBN 978-1848000049. 
• Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.

• Espazo vectorial.
• Sistema de ecuacións lineares
• Envolvente convexa

• Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.