Función suave , a enciclopedia libre

A clase de diferenciabilidade é unha clasificación de funcións segundo as propiedades das súas derivadas. É unha medida da orde máis alta de derivada que existe e é continua para unha función.

Consideremos un conxunto aberto ${\displaystyle U}$  na recta real e unha función ${\displaystyle f}$  definida en ${\displaystyle U}$  con valores reais. Sexa k un enteiro non negativo. A función ${\displaystyle f}$  dise que é de clase de diferenciabilidade ${\displaystyle C^{k}}$  se as derivadas ${\displaystyle f',f'',\dots ,f^{(k)}}$  existen e son continuas en ${\displaystyle U.}$  Se ${\displaystyle f}$  é ${\displaystyle k}$ -diferenciábel en ${\displaystyle U,}$  entón está polo menos na clase ${\displaystyle C^{k-1}}$  xa que ${\displaystyle f',f'',\dots ,f^{(k-1)}}$  son continuas en ${\displaystyle U.}$  A función ${\displaystyle f}$  dise que é infinitamente diferenciábel, suave, ou de clase ${\displaystyle C^{\infty },}$  se ten derivadas de todas as ordes en ${\displaystyle U.}$  (Así, todas estas derivadas son funcións continuas sobre ${\displaystyle U.}$ )^[2] A función ${\displaystyle f}$  dise que é de clase ${\displaystyle C^{\omega },}$  ou analítica, se ${\displaystyle f}$  é suave (é dicir, ${\displaystyle f}$  está na clase ${\displaystyle C^{\infty }}$ ) e a súa expansión en serie de Taylor arredor de calquera punto do seu dominio converxe á función nalgunha veciñanza do punto. Existen funcións que son suaves pero non analíticas; ${\displaystyle C^{\omega }}$  está estritamente contido en ${\displaystyle C^{\infty }.}$  As funcións croque son exemplos de funcións con esta propiedade.

A función $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{se }}x\geq 0,\\0&{\text{se }}x<0\end{cases}}}$$  é continua, pero non diferenciábel en x = 0, polo que é de clase C⁰, pero non de clase C¹.

Para cada enteiro par k, a función $${\displaystyle f(x)=|x|^{k+1}}$$  é continua e k veces diferenciábel en todos os x. En x = 0, non obstante, ${\displaystyle f}$  non é (k + 1) veces diferenciábel, polo que ${\displaystyle f}$  é de clase C^k, mais non de clase C^j onde j > k.

A función $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{se }}x\neq 0,\\0&{\text{se }}x=0\end{cases}}}$$  é diferenciábel, con derivada $${\displaystyle g'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)}}+2x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&{\text{se }}x\neq 0,\\0&{\text{se }}x=0.\end{cases}}}$$ 

Como ${\displaystyle \cos(1/x)}$  oscila cando x → 0, ${\displaystyle g'(x)}$  non é continua en cero. Polo tanto, ${\displaystyle g(x)}$  é diferenciábel mais non de clase C¹.

A función $${\displaystyle h(x)={\begin{cases}x^{4/3}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{se }}x\neq 0,\\0&{\text{se }}x=0\end{cases}}}$$  é diferenciábel pero a súa derivada non está limitada nun conxunto compacto. Polo tanto, ${\displaystyle h}$  é un exemplo dunha función que é diferenciábel mais non localmente Lipschitz continua.

A función exponencial ${\displaystyle e^{x}}$  é analítica, e polo tanto cae na clase C^ω (onde ω é o menor ordinal transfinito). As funcións trigonométricas tamén son analíticas onde estean definidas, xa que son combinacións lineares de funcións exponenciais complexas ${\displaystyle e^{ix}}$  e ${\displaystyle e^{-ix}}$ .

A función croque $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ se }}|x|<1,\\0&{\text{ en caso contrario }}\end{cases}}}$$  é suave, polo que é de clase C^∞, pero non é analítica en x = ±1, e polo tanto non é de clase C^ω. A función f é un exemplo dunha función suave con soporte compacto.

Unha función ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$  definida nun conxunto aberto ${\displaystyle U}$  de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  dise^[3] que é de clase ${\displaystyle C^{k}}$  en ${\displaystyle U}$ , para un enteiro positivo ${\displaystyle k}$ , se todas as derivadas parciais $${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$$  existen e son continuas, para cada ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$  enteiros non negativos, tal que ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k}$ , e cada ${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in U}$ . Equivalentemente, ${\displaystyle f}$  é de clase ${\displaystyle C^{k}}$  en ${\displaystyle U}$  se a derivada de Fréchet de orde ${\displaystyle k}$  de ${\displaystyle f}$  existe e é continua en cada punto de ${\displaystyle U}$ . A función ${\displaystyle f}$  dise que é de clase ${\displaystyle C}$  ou ${\displaystyle C^{0}}$  se é continua en ${\displaystyle U}$ . As funcións de clase ${\displaystyle C^{1}}$  tamén se din continuamente diferenciábeis.

Unha función ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ , definida nun conxunto aberto ${\displaystyle U}$  de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , dise que é de clase ${\displaystyle C^{k}}$  en ${\displaystyle U}$ , para un enteiro positivo ${\displaystyle k}$ , se todas as súas compoñentes $${\displaystyle f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(\pi _{i}\circ f)(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\pi _{i}(f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})){\text{ para }}i=1,2,3,\ldots ,m}$$  son de clase ${\displaystyle C^{k}}$ , onde ${\displaystyle \pi _{i}}$  son as proxeccións naturais ${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$  definidas por ${\displaystyle \pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}}$ . Dise que é de clase ${\displaystyle C}$  ou ${\displaystyle C^{0}}$  se é continua, ou equivalentemente, se todas as compoñentes ${\displaystyle f_{i}}$  son continuas, en ${\displaystyle U}$ .

Sexa ${\displaystyle D}$  un subconxunto aberto da recta real. O conxunto de todas as funcións reais de clase ${\displaystyle C^{k}}$  definidas en ${\displaystyle D}$  é un espazo vectorial de Fréchet, coa familia contábel de seminormas $${\displaystyle p_{K,m}=\sup _{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|}$$  onde ${\displaystyle K}$  varía sobre unha secuencia crecente de conxuntos compactos cuxa unión é ${\displaystyle D}$ , e ${\displaystyle m=0,1,\dots ,k}$ .

O conxunto das funcións ${\displaystyle C^{\infty }}$  sobre ${\displaystyle D}$  tamén forma un espazo de Fréchet. Úsanse as mesmas seminormas que antes, excepto que ${\displaystyle m}$  pode variar sobre todos os valores enteiros non negativos.

Os espazos anteriores ocorren naturalmente en aplicacións onde se requiren funcións con derivadas de certas ordes; no entanto, especialmente no estudo de ecuacións diferenciais parciais, ás veces pode ser máis produtivo traballar con espazos de Sobolev.

• Descontinuidade
• Lemma de Hadamard}
• Function cuasi analítica
• Singularidade matemática
• Número suave – número do que os seus factores primos están por debaixo dun primo p dado
• Mapa de Sobolev