Función multivalorada , a enciclopedia libre

• Nos números reais, para cada elemento positivo x, a relación ${\displaystyle y^{2}=x}$  coincide con dous elementos ${\displaystyle |y|}$  e ${\displaystyle -|y|}$  con ${\displaystyle |y|^{2}=x}$ . Adoitamos restrinxirnos ao valor positivo ${\displaystyle |y|}$  para así termos a función raíz cadrada.

• En complexos, ao definir un elemento z do plano complexo ${\displaystyle \mathbb {C} }$  por ${\displaystyle z=|z|\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\theta }}$  con ${\displaystyle \theta }$  o argumento de z, as raíces cadradas de z son os números ${\displaystyle w_{k}}$  (${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ) dados por:

${\displaystyle w_{k}={\sqrt {|z|}}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\theta /2}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\pi k}}$ 

e temos un valor da raíz cadrada por cada valor enteiro que asignemos a k (1, 2, 3 ...).

Comprobamos de feito que ${\displaystyle w_{k}^{2}=|z|\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\theta }\mathrm {e} ^{2{\rm {i}}\pi k}=z}$  xa que ${\displaystyle \mathrm {e} ^{2{\rm {i}}\pi k}=1}$  para calquera número enteiro k.

Definindo un elemento z do plano complexo como antes, os logaritmos complexos de z son os números ${\displaystyle w_{k}}$  (${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ) dado por:

${\displaystyle w_{k}=\ln |z|+{\rm {i}}\theta +2{\rm {i}}\pi k}$ 

e igual que antes temos un valor por cada enteiro asignado a k.

Comprobamos de feito que ${\displaystyle \exp(w_{k})=|z|\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\theta }\mathrm {e} ^{2{\rm {i}}\pi k}=z}$  xa que, como antes, ${\displaystyle \mathrm {e} ^{2{\rm {i}}\pi k}=1}$  para calquera número enteiro k .

• As funcións trigonométricas inversas son multivaloradas porque as funcións trigonométricas son periódicas. Temos

${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {5\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {-3\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {(2n+1)\pi }{4}}\right)=\cdots =1.}$ 

Como consecuencia, ${\displaystyle \arctan {(1)}}$  está intuitivamente relacionado con varios valores: π/4, 5π/4, −3π/4, etc.

Podemos tratar a ${\displaystyle \arctan {(x)}}$  como unha función de valor único restrinxindo o dominio de ${\displaystyle \tan {(x)}}$  a ${\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2}$ , un dominio sobre o que ${\displaystyle \tan {(x)}}$  aumenta monótonamente. Así, o intervalo de ${\displaystyle \arctan {(x)}}$  pasa a ser ${\displaystyle -\pi /2<y<\pi /2}$ . Estes valores dun dominio restrinxido chámanse valores principais.

Sexan ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$  dous conxuntos. Unha multifunción ${\displaystyle F:X\multimap Y}$  é unha aplicación de ${\displaystyle X}$  no conxunto ${\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}$  de partes de ${\displaystyle Y}$ .

A aplicación que a unha multifunción ${\displaystyle F:X\multimap Y}$ , asocia a relación binaria " ${\displaystyle y\in F(x)}$  ", é unha bixección entre as multifuncións de ${\displaystyle X}$  en ${\displaystyle Y}$  e as relacións entre ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$ . É por iso que chamamos gráfica de ${\displaystyle F}$  á gráfica da relación binaria asociada, é dicir, o conxunto

(e non gráfica da función ${\displaystyle F}$ , que é unha parte de ${\displaystyle X\times {\mathcal {P}}(Y)}$  ).

Do mesmo xeito, imaxe dunha parte ${\displaystyle P\subset X}$  e imaxe inversa dunha parte ${\displaystyle Q\subset Y}$  mediante unha multifunción ${\displaystyle F:X\multimap Y}$  defínense como a imaxe e a imaxe inversa pola relación binaria asociada:

En particular, chamamos dominio, ou conxunto de definición^[2],e imaxe, ou conxunto de valores (ou conxunto de imaxes) ^[2], de ${\displaystyle F}$  o dominio e a imaxe da relación binaria asociada:

Unha selección de ${\displaystyle F}$  é unha función de escolla, é dicir, unha aplicación ${\displaystyle f:{\mathcal {D}}(F)\to Y}$  tal que ${\displaystyle \forall x\in {\mathcal {D}}(F)\quad f(x)\in F(x)}$ .

A multifunción inversa ${\displaystyle F^{-1}:Y\multimap X}$  de ${\displaystyle F:X\multimap Y}$  é a súa relación binaria inversa, definida por ${\displaystyle x\in F^{-1}(y)\Leftrightarrow y\in F(x)}$  .

O dominio e a imaxe de ${\displaystyle F^{-1}}$  son polo tanto respectivamente a imaxe e o dominio de ${\displaystyle F}$ .

• Sexan ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$  espazos topolóxicos metrizábeis e sexa ${\displaystyle F:X\multimap Y}$  unha multifunción. Dicimos que ${\displaystyle F}$  é:
  • pechada no punto ${\displaystyle x\in X}$  se ${\displaystyle y\in F(x)}$  sempre que ${\displaystyle (x_{k},y_{k})\in {\mathcal {G}}(F)}$  converxe a ${\displaystyle (x,y)}$ ;
  • pechada se a súa gráfica é un pechado do espazo produto ${\displaystyle X\times Y}$  (o que equivale a dicir que ${\displaystyle F}$  está pechada en cada punto de ${\displaystyle X}$ ).
• Se ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$  son espazos vectoriais reais, dicimos que unha multifunción ${\displaystyle F:X\multimap Y}$  é:
  • convexa se a súa gráfica é convexa ;
  • un proceso convexo se a súa gráfica é un cono convexo puntiagudo.
• Se ${\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$  é un espazo pre-Hilbert, dicimos que unha multifunción ${\displaystyle F:X\multimap X}$  é monótona se ${\displaystyle \forall (x,y)\in {\mathcal {G}}(F)\quad \forall (x',y')\in {\mathcal {G}}(F)\quad \langle y-y',x-x'\rangle \geqslant 0}$ .

Para a raíz cadrada complexa e o logaritmo complexo, chamamos rama a unha restrición no argumento ${\displaystyle \theta }$  do valor correspondente. Máis explicitamente, unha rama para a raíz cadrada vén dada por:

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {|z|}}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\theta /2},\quad (\theta \in [\theta _{0},\theta _{0}+2\pi [)}$ 

con ${\displaystyle \theta _{0}}$  calquera ángulo que caracterice a determinación. Esta sería a rama principal, que sería asignar o valor cero á fórmula xeral vista arriba ${\displaystyle w_{k}={\sqrt {|z|}}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\theta /2}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\pi k}}$ .

Do mesmo xeito, unha rama para o logaritmo complexo vén dada por:

${\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+{\rm {i}}\theta ,\quad (\theta \in ]\theta _{0},\theta _{0}+2\pi ])}$ 

A restrición do argumento ao intervalo semiaberto ]–π, π] chámase rama principal do logaritmo.

Teña en conta que, ata unha rama, a función de raíz cadrada complexa e o logaritmo complexo son funcións holomorfas en todo o plano complexo agás a semirecta que comeza desde a orixe e cun ángulo ${\displaystyle \theta _{0}}$  en relación ao eixo x. No caso da rama principal, ambas as funcións son holomorfas ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash ]-\infty ,0]}$ . A descontinuidade no eixo real negativo móstrase na figura seguinte.

• Rama principal
•  
  Figure 1: Ilustración da determinación principal do logaritmo complexo.

A teoría ineficaz de funcións multivaloradas para funcións de variábeis complexas é substituída nas matemáticas modernas polo concepto máis abstracto dunha función (univalorada) definida nunha superficie de Riemann.

Este punto de vista consiste en considerar o dominio de definición dunha función multivalorada como un obxecto máis elaborado que o plano complexo: unha variedade complexa de dimensión 1.

• Jean-Pierre Aubin; Hélène Frankowska (1990, Birkhäuser). Set-Valued Analysis. Springer. 
• Jean-Pierre Aubin; Arrigo Cellina (1984). Differential Inclusions. Berlin: Springer Grund. math. Wiss. 
• Stanisław Migórski; Anna Ochal; Mircea Sofonea (2012). Nonlinear Inclusions and Hemivariational Inequalities. Springer. 
• Murray R. Spiegel (1973). Variables complexes (PDF). New York/Montréal/Paris: MacGraw-Hill / Ediscience. ISBN 2-7042-0020-3. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 14 de febreiro de 2017. Consultado o 04 de marzo de 2025. 

• Rama (matemáticas)
• Valor principal
• Análise complexa
• Superficie de Riemann
• Teorema do residuo