Integral impropia , a enciclopedia libre

A definición orixinal da integral de Riemann non se aplica a unha función como ${\displaystyle 1/{x^{2}}}$  no intervalo ${\displaystyle {\textbf {[}}1,\infty )}$ , porque neste caso o dominio de integración é non limitado. No entanto, a integral de Riemann pódese estender a miúdo mediante continuidade, definindo a integral impropia no seu lugar como un límite

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right)=1.}$ 

A definición estreita da integral de Riemann tampouco cobre a función ${\textstyle 1/{\sqrt {x}}}$  no intervalo ${\displaystyle {\textbf {[}}0,1{\textbf {]}}}$ . O problema aquí é que o integrando non ten límite no dominio da integración. Noutras palabras, a definición da integral de Riemann require que tanto o dominio de integración como o integrando estean limitados. No entanto, a integral impropia existe se se entende como o límite

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\left(2-2{\sqrt {a}}\right)=2.}$ 

Ás veces as integrais poden ter dúas singularidades onde son impropias. Considere, por exemplo, a función 1/((x + 1)√x) integrada de 0 a ∞ (mostrada á dereita). No límite inferior do dominio de integración, cando x tende a 0, a función tende a ∞, e o límite superior é en si mesmo ∞, aínda que a función tende a 0. Así, esta é unha integral dobremente impropia. Integrada, por exemplo, de 1 a 3, unha suma de Riemann ordinaria abonda para producir un resultado de π/6. Para integrar de 1 a ∞, non é posíbel unha suma de Riemann. No entanto, calquera límite superior finito, digamos t (con t > 1), dá un resultado ben definido, 2 arctan(√t) − π/2. Este ten un límite finito xa que t vai cara a infinito, é dicir, π/2. Do mesmo xeito, a integral de 1/3 a 1 tamén permite unha suma de Riemann, que casualmente volve producir π/6. Substituír 1/3 por un valor positivo arbitrario s (con s < 1) é igualmente seguro, dando π/2 − 2 arctan(√s). Isto tamén ten un límite finito xa que s vai cara a cero, é dicir, π/2. Combinando os límites dos dous fragmentos, o resultado desta integral impropia é

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\int _{s}^{1}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}+\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\left({\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}\right)+\lim _{t\to \infty }\left(2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}+\left(\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}=\pi .\end{aligned}}}$ 

Este proceso non garante o éxito; un límite pode non existir, ou pode ser infinito. Por exemplo, sobre o intervalo limitado de 0 a 1 a integral de 1/x non converxe; e sobre o intervalo ilimitado de 1 a ∞ a integral de 1/√x non converxe.

Tamén pode ocorrer que un integrando estea ilimitado preto dun punto interior, nese caso a integral debe dividirse nese punto. Para que a integral converxa, as integrais límite de ambos os dous lados deben existir e deben estar limitadas. Por exemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{-}}\int _{-1}^{s}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}+\lim _{t\to 0^{+}}\int _{t}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{-}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{s}}\right)+\lim _{t\to 0^{+}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{t}}\right)\\&{}=3+3\\&{}=6.\end{aligned}}}$ 

Mais para a integral semellante

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}}$ 

non se pode asignar un valor deste xeito, xa que as integrais superiores e inferiores a cero no dominio integral non converxen de forma independente. (Con todo, consulte Valor principal de Cauchy.)

Unha integral impropia converxe se existe o límite que a define. Así por exemplo dise que a integral impropia

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\ dx}$ 

existe e é igual a L se as integrais baixo o límite existen para todas as t suficientemente grandes e o valor do límite é igual a L.

Tamén é posíbel que unha integral impropia diverxa ata o infinito. Nese caso, pódese asignar á integral o valor de ${\displaystyle \infty }$  (ou ${\displaystyle -\infty }$ ). Por exemplo

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\infty .}$ 

No entanto, outras integrais impropias poden simplemente diverxer sen unha dirección en particular, como

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}x\sin(x)\,dx,}$ 

que non existe, mesmo como número real estendido. Isto chámase diverxencia por oscilación.

Unha limitación da técnica de integración impropia é que o límite debe tomarse en relación a un punto final de cada vez. Así, por exemplo, unha integral impropia da forma

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$ 

pódese definir tomando dous límites separados; dando

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ 

sempre que o dobre límite sexa finito. Tamén se pode definir como un par de integrais impropias distintas do primeiro tipo:

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx}$ 

onde c é calquera punto conveniente no que comezar a integración. Esta definición tamén se aplica cando unha destas integrais é infinita, ou ambas as dúas se teñen o mesmo signo.

Un exemplo de integral impropia onde os dous extremos son infinitos é a integral de Gauss ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$ .

Un exemplo que se avalía ata o infinito é ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{x}\,dx}$ .

Mais non sempre se poden definir sen ambigüidades outras integrais deste tipo, como por exemplo ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx}$ , posto que o duplo límte é infinito e o método de dúas integrais

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}x\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}x\,dx}$ 

produce unha forma indeterminada, ${\displaystyle \infty -\infty }$ . Neste caso, pódese definir unha integral impropia no sentido do valor principal de Cauchy:

${\displaystyle \operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{-b}^{b}x\,dx=0.}$ 

As preguntas que se deben abordar para determinar unha integral impropia son:

• Existe o límite?
• Pódese calcular o límite?

A primeira pregunta é unha cuestión de análise matemática. A segunda pódese abordar mediante técnicas de cálculo, mais tamén nalgúns casos mediante integración de contorno, transformadas de Fourier e outros métodos máis avanzados.

Hai máis dunha teoría da integración. Desde o punto de vista do cálculo, a teoría da integral de Riemann adoita asumirse como a teoría predeterminada. Ao usar integrais impropias, pode importar cal é a teoría da integración en xogo.

• Para a integral de Riemann (ou a integral de Darboux, que é equivalente a ela), é necesaria unha integración impropia en "ambos" os intervalos ilimitados.
• A integral de Lebesgue trata de forma diferente os dominios ilimitados e as funcións ilimitadas, polo que moitas veces unha integral que só existe como integral de Riemann impropia existirá como unha integral de Lebesgue (propia), como por exemplo ${\textstyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}}$ . Por outra banda, tamén hai integrais que teñen unha integral de Riemann impropia pero que non teñen unha integral de Lebesgue (propia), como ${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx}$ . A teoría de Lebesgue non ve isto como unha deficiencia: desde o punto de vista da teoría da medida, ${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\infty -\infty }$  e non se pode definir satisfactoriamente. Nalgunhas situacións, porén, pode ser conveniente empregar integrais de Lebesgue impropias como é o caso, por exemplo, cando se define o valor principal de Cauchy. A integral de Lebesgue é máis ou menos esencial no tratamento teórico da transformada de Fourier, co uso xeneralizado de integrais sobre toda a liña real.
• Para a integral de Henstock-Kurzweil, a integración impropia non é necesaria, e isto é visto como un punto forte da teoría: abrangue todas as funcións integrábeis impropias de Lebesgue e de Riemann.

Nalgúns casos, a integral

${\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\ dx}$ 

pódese definir como unha integral (unha integral de Lebesgue, por exemplo) sen referencia ao límite

${\displaystyle \lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ 

pero non se pode calcular convenientemente doutro xeito.

Isto ocorre a miúdo cando a función f que se integra de a a c ten unha asíntota vertical en c, ou se ${\displaystyle c=\infty }$  (ver Figuras 1 e 2). Nestes casos, a integral de Riemann impropia permite calcular a integral de Lebesgue da función. En concreto, o seguinte teorema ten (Apostol 1974, Teorema 10.33):

• Se unha función f é integrábel de Riemann en [a,b] para todo b ≥ a, e as integrais parciais

${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}$ 

están limitadas cando ${\displaystyle b\rightarrow \infty }$ , entón as integrais de Riemann impropias

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx,\quad {\mbox{e }}\int _{a}^{\infty }|f(x)|\,dx}$ 

as dúas existen. A maiores, f é integrábel de Lebesgue en ${\displaystyle {\textbf {[}}a,\infty )}$ , e a súa integral de Lebesgue é igual á súa integral impropia de Riemann.

Por exemplo, a integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}}$ 

pódese interpretar alternativamente como a integral impropia

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},}$ 

ou pode interpretarse como unha integral de Lebesgue sobre o conxunto ${\displaystyle (0,\infty )}$ .

Dado que ambos os dous tipos de integral coinciden, é libre de escoller o primeiro método para calcular o valor da integral, aínda que finalmente se queira considerar como unha integral de Lebesgue. Así, as integrais impropias son ferramentas claramente útiles para obter os valores reais das integrais.

Noutros casos, porén, é posíbel que nin sequera se defina unha integral de Lebesgue entre extremos finitos, porque as integrais das partes positiva e negativa de f son infinitas, pero a integral de Riemann impropia aínda pode existir. Eses casos son integrais "propiamente impropias", é dicir, os seus valores non se poden definir agás como eses límites. Por exemplo,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$ 

non se pode interpretar como unha integral de Lebesgue, xa que

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty .}$ 

Mais ${\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$  é, no entanto, integrábel entre dous extremos finitos calquera, e a súa integral entre 0 e ${\displaystyle \infty }$  adoita entenderse como o límite da integral:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$ 

Pódese falar das singularidades dunha integral impropia, é dicir, aqueles puntos da recta real estendida nos que se usan límites.

Considere a diferenza de valores de dous límites:

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0,}$ 

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\ln 2.}$ 

O primeiro é o valor principal de Cauchy da expresión que doutro xeito estaría mal definida

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}{\ }\left({\mbox{que}}\ {\mbox{dá}}\ -\infty +\infty \right).}$ 

Do mesmo xeito, temos

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0,}$ 

mais

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}$ 

O primeiro é o valor principal da expresión doutro xeito mal definida

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}{\ }\left({\mbox{que}}\ {\mbox{dá}}\ -\infty +\infty \right).}$ 

Todos os límites anteriores son casos da forma indeterminada ${\displaystyle \infty -\infty .}$ 

Estas patoloxías non afectan ás funcións "integrábeis con Lebesgue", é dicir, ás funcións cuxos valores absolutos son finitos.

Unha integral impropia pode diverxer no sentido de que o límite que a define pode non existir. Neste caso, hai definicións máis sofisticadas do límite que poden producir un valor converxente para a integral impropia. Estes chámanse métodos de sumabilidade.

Un método de sumabilidade, popular na análise de Fourier, é o da suma de Cesàro. A integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$ 

é Cesàro sumábel ${\displaystyle (C,\alpha )}$  se

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\ dx}$ 

existe e é finito (Titchmarsh 1948, §1.15). O valor deste límite, no caso de existir, é a suma ${\displaystyle (C,\alpha )}$  da integral.

Unha integral é ${\displaystyle (C,0)}$  sumábel precisamente cando existe como integral impropia. No entanto, hai integrais que son ${\displaystyle (C,\alpha )}$  sumábeis para ${\displaystyle \alpha >0}$  que non conseguen converxer como integrais impropias (no sentido de Riemann ou Lebesgue). Un exemplo é a integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin x\,dx}$ 

que non pode existir como integral impropia, masi é ${\displaystyle (C,\alpha )}$  sumábel para todo ${\displaystyle \alpha >0}$ . Esta é unha versión integral da serie de Grandi.

A integral impropia tamén se pode definir para funcións de varias variábeis. A definición é lixeiramente diferente, dependendo de se se precisa integrar nun dominio ilimitado, como ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , ou se está integrando unha función con singularidades, como ${\displaystyle f(x,y)=\log \left(x^{2}+y^{2}\right)}$ .

Se ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$  é unha función non negativa que é integrábel de Riemann sobre cada cubo compacto da forma ${\displaystyle [-a,a]^{n}}$ , para ${\displaystyle a>0}$ , entón a integral impropia de f sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  defínese como o límite.

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{[-a,a]^{n}}f,}$ 

sempre que exista.

Unha función nun dominio arbitrario A en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  esténdese a unha función ${\displaystyle {\tilde {f}}}$  en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  con cero fóra de A:

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\begin{cases}f(x)&x\in A\\0&x\not \in A\end{cases}}}$ 

A integral de Riemann dunha función sobre un dominio limitado A defínese entón como a integral da función estendida ${\displaystyle {\tilde {f}}}$  sobre un cubo ${\displaystyle [-a,a]^{n}}$  que contén A:

${\displaystyle \int _{A}f=\int _{[-a,a]^{n}}{\tilde {f}}.}$ 

De forma máis xeral, se A non está limitada, entón a integral de Riemann impropia sobre un dominio arbitrario en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  defínese como o límite:

${\displaystyle \int _{A}f=\lim _{a\to \infty }\int _{A\cap [-a,a]^{n}}f=\lim _{a\to \infty }\int _{[-a,a]^{n}}{\tilde {f}}.}$ 

Se f é unha función non negativa que non está limitada nun dominio A, entón a integral impropia de f defínese truncando f nalgún corte M, integrando a función resultante e tomando o límite cando M tende ao infinito. Para ${\displaystyle M>0}$ , estabelece ${\displaystyle f_{M}=\min\{f,M\}}$ . Despois define

${\displaystyle \int _{A}f=\lim _{M\to \infty }\int _{A}f_{M}}$ 

sempre que exista este límite.

Estas definicións aplícanse a funcións que non son negativas. Unha función máis xeral f pódese descompoñer como unha diferenza entre a súa parte positiva ${\displaystyle f_{+}=\max\{f,0\}}$  e a súa parte negativa ${\displaystyle f_{-}=\max\{-f,0\}}$ , polo que

${\displaystyle f=f_{+}-f_{-}}$ 

con ${\displaystyle f_{+}}$  e ${\displaystyle f_{-}}$  ambas as funcións non negativas. A función ${\displaystyle f}$  ten unha integral de Riemann impropia se cada unha de ${\displaystyle f_{+}}$  e ${\displaystyle f_{-}}$  ten unha integral impropia, nese caso o valor desa integral impropia defínese por

${\displaystyle \int _{A}f=\int _{A}f_{+}-\int _{A}f_{-}.}$ 

Para existir neste sentido, a integral impropia converxe necesariamente absolutamente, xa que

${\displaystyle \int _{A}|f|=\int _{A}f_{+}+\int _{A}f_{-}.}$ ^[3][4]

• Apostol, T (1974). Mathematical analysis. Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1. .
• Apostol, T (1967). Calculus, Vol. 1 (2nd ed.). Jon Wiley & Sons. .
• Autar Kaw, Egwu Kalu (2008). Numerical Methods with Applications (1st ed.). autarkaw.com. 
• Titchmarsh, E (1948). Introduction to the theory of Fourier integrals (2nd ed.). New York, N.Y.: Chelsea Pub. Co. (publicado o 1986). ISBN 978-0-8284-0324-5. .
• Cooper, Jeffery (2005). Working analysis. Gulf Professional. 
• Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2010). A course in multivariable calculus and analysis. Springer. 

• Integral
• Integral de Lebesgue
• Límite dunha función

• Métodos numéricos para resolver integrais impropias no Holistic Numerical Methods Institute