Menor (álxebra linear) , a enciclopedia libre

Se A é unha matriz cadrada, entón o menor da fila i e a columna j (tamén chamado menor (i, j) ou un menor primeiro ) é o determinante da submatriz formada eliminando a fila i e a columna j. Este número adoita denotarse M_{i, j}.

O cofactor (i, j) obtense multiplicando o menor por (−1)^{i + j}.

Para ilustrar estas definicións, considere a seguinte matriz 3 × 3,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}}$ 

Para calcular o menor M_2,3 e o cofactor C_2,3, atopamos o determinante da matriz anterior coa fila 2 e columna 3 eliminadas.

${\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13}$ 

Polo tanto, o cofactor da entrada (2,3) é

${\displaystyle C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}$ 

Sexa A unha matriz m × n e k un número enteiro con 0 < k ≤ m, e k ≤ n. Un menor k × k de A, tamén chamado determinante menor de orde k de A, é o determinante dunha matriz k × k obtida de A eliminando m − k filas e n − k columnas. ^[1][2]

Os cofactores ocupan un lugar destacado na fórmula de Laplace para a expansión dos determinantes, que é un método para calcular determinantes maiores en termos de determinantes máis pequenos. Dada unha matriz n × n, A = (a_ij), o determinante de A, denotado como det(A), pódese escribir como a suma dos cofactores de calquera fila ou columna da matriz multiplicada polas entradas que os xeraron. Noutras palabras, definindo ${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$  entón a expansión do cofactor ao longo da j-ésima columna dá:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}$ 

A expansión do cofactor ao longo da fila i-ésima dá:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}$ 

Pódese obter a inversa dunha matriz invertíbel calculando os seus cofactores usando a regra de Cramer, como segue. A matriz formada por todos os cofactores dunha matriz cadrada A chámase matriz de cofactores:

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$ 

Entón, a inversa de A é a transposición da matriz de cofactores multiplicada polo recíproco do determinante de A:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$ 

A transposta da matriz cofactor chámase matriz adxunta de A.

Nalgúns libros, en lugar de cofactor úsase o termo adxunto. Ademais, denomínase A_ij e defínese do mesmo xeito que o cofactor: :${\displaystyle \mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}}$ 

Usando esta notación a matriz inversa escríbese deste xeito:

${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}}$ 

• Determinante (matemáticas)
• Matriz (matemáticas)

• MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors en Google Video, de MIT OpenCourseWare
• PlanetMath Cofactors Arquivado 08 de abril de 2012 en Wayback Machine.
• Springer Encyclopedia of Mathematics Minor