Ortogonalidade (matemáticas) , a enciclopedia libre

• En xeometría, dous vectores euclidianos son ​​ortogonais se son perpendiculares, é dicir forman un ángulo recto.
• Dous vectores u' e v nun espazo de produto interno ${\displaystyle V}$  son ortogonais se o seu produto interno ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$  é cero^[2]. Esta relación denomínase ${\displaystyle \mathbf {u} \perp \mathbf {v} }$ .
• Un conxunto de vectores no espazo de produto interno chámanse ortogonais por pares se cada parella deles é ortogonal entre si. Tal conxunto chámase conxunto ortogonal (ou sistema ortogonal). Se os vectores están normalizados, forman un sistema ortonormal.
• Unha matriz ortogonal é unha matriz cuxos vectores columna son ortonormais entre si.
• Unha base ortonormal é unha base cuxos vectores son á vez ortogonais e normalizados (son vectores unitarios).
• Unha transformación linear conforme conserva ángulos e relacións de distancia, o que significa que transformar vectores ortogonais pola mesma transformación linear conforme manterá eses vectores ortogonais.
• Dous subespazos vectoriais ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$  dun espazo produto interno ${\displaystyle V}$  chámanse subespazos ortogonais se cada vector de ${\displaystyle A}$  é ortogonal a cada vector de ${\displaystyle B}$ . O subespazo máis grande de ${\displaystyle V}$  que é ortogonal a un subespazo dado é o seu complemento ortogonal.
• Dado un módulo ${\displaystyle M}$  e o seu dual ${\displaystyle M^{*}}$ , un elemento ${\displaystyle m'}$  de ${\displaystyle M^{*}}$  e un elemento ${\displaystyle m}$  de ${\displaystyle M}$  son cero se o seu emparellamento natural é cero. ${\displaystyle \langle m',m\rangle =0}$ . Dous conxuntos ${\displaystyle S'\subseteq M^{*}}$  e ${\displaystyle S\subseteq M}$  son ortogonais se cada elemento de ${\displaystyle S'}$  é ortogonal a cada elemento de ${\displaystyle S}$ .^[3].

Nalgúns casos, a palabra normal úsase para significar ortogonal, particularmente no sentido xeométrico como normal a unha superficie. Por exemplo, o eixo y é normal á curva ${\displaystyle y=x^{2}}$  na orixe.

No entanto, normal tamén pode referirse á magnitude dun vector. En particular, un conxunto chámase ortonormal (ortogonal e tamén normal) se é un conxunto ortogonal de vectores unitarios. Como resultado, adoita evitarse o uso do termo normal para significar "ortogonal". A palabra "normal" tamén ten un significado diferente en probabilidade e estatística.

Un espazo vectorial cunha forma bilinear xeneraliza o caso dun produto escalar. Cando a forma bilinear aplicada a dous vectores resulta en cero, entón son ortogonais. O caso dun plano pseudo-euclidiano usa o termo ortogonalidade hiperbólica. Na figura, os eixos x′ e t′ son hiperbólico-ortogonais para calquera ${\displaystyle \phi }$  dado.

No espazo euclidiano, dous vectores son ortogonais se e só se o seu produto escalar é cero, é dicir, forman un ángulo de 90° (${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$  radiáns ), ou un dos vectores é cero.^[4] Polo tanto, a ortogonalidade dos vectores é unha extensión do concepto de vectores perpendiculares a espazos de calquera dimensión.

O complemento ortogonal dun subespazo é o espazo de todos os vectores que son ortogonais a todos os vectores do subespazo. Nun espazo vectorial euclidiano tridimensional, o complemento ortogonal dunha recta que pasa pola orixe é o plano que pasa pola orixe perpendicular a ela, e viceversa.^[5]

Usando o cálculo integral, é común usar o seguinte para definir o produto interno de dúas funcións ${\displaystyle f}$  e ${\displaystyle g}$  en relación a unha función peso non negativa ${\displaystyle w}$  nun intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ :

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.}$ 

En casos simples, ${\displaystyle w(x)=1}$ .

Dicimos que as funcións ${\displaystyle f}$  e ${\displaystyle g}$  son ortogonais se o seu produto interno (equivalentemente, o valor desta integral) é cero:

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=0.}$ 

A ortogonalidade de dúas funcións en relación a un produto interno non implica a ortogonalidade en relación a outro produto interno.

Escribimos a norma en relación a este produto interno como

${\displaystyle \|f\|_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}}$ 

Os membros dun conxunto de funcións ${\displaystyle {f_{i}\mid i\in \mathbb {N} }}$  son ortogonais en relación a ${\displaystyle w}$  no intervalo ${\displaystyle [a,b]}$  se

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle _{w}=0\mid i\neq j.}$ 

Os membros de tal conxunto de funcións son ortonormais en relación a ${\displaystyle w}$  no intervalo ${\displaystyle [a,b]}$  se

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle _{w}=\delta _{ij},}$ 

onde

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&&i=j\\0,&&i\neq j\end{matrix}}\right.}$ 

é o delta de Kronecker.

Noutras palabras, cada par deles (excluíndo o emparellamento dunha función consigo mesma) é ortogonal e a norma de cada un é 1. Véxase en particular os polinomios ortogonais.

• Os vectores ${\displaystyle (1,3,2)^{\text{T}},(3,-1,0)^{\text{T}},(1,3,-5)^{\text{T}}}$  son ortogonais entre si, posto que ${\displaystyle (1)(3)+(3)(-1)+(2)(0)=0\ ,}$  ${\displaystyle \ (3)(1)+(-1)(3)+(0)(-5)=0\ ,}$  and ${\displaystyle (1)(1)+(3)(3)+(2)(-5)=0}$ .
• Os vectores ${\displaystyle (1,0,1,0,\ldots )^{\text{T}}}$  e ${\displaystyle (0,1,0,1,\ldots )^{\text{T}}}$  son ortogonais. O produto escalar deles é cero.
• As funcións ${\displaystyle 2t+3}$  e ${\displaystyle 45t^{2}+9t-17}$  son ortogonais en relación a un peso unidade no intervalo de −1 a 1:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left(2t+3\right)\left(45t^{2}+9t-17\right)\,dt=0}$ 

• As funcións ${\displaystyle 1,\sin {(nx)},\cos {(nx)}\mid n\in \mathbb {N} }$  son ortogonais en relación a integración de Riemann nos intervalos ${\displaystyle [0,2\pi ],[-\pi ,\pi ]}$ , ou calquera outro intervalo pechado de lonxitude ${\displaystyle 2\pi }$ . Este feito é central nas series de Fourier.

Varias secuencias polinómicas nomeadas con nomes de matemáticos do pasado son secuencias de polinomios ortogonais. En particular:

• Os polinomios de Hermite son ortogonais en relación á distribución gaussiana cun valor medio cero.
• Os polinomios de Legendre son ortogonais en relación á distribución uniforme no intervalo ${\displaystyle [-1,1]}$  .
• Os polinomios de Laguerre son ortogonaisen relación á distribución exponencial . As secuencias polinómicas de Laguerre algo máis xerais son ortogonais en relación ás distribucións gamma.
• Os polinomios de Chebyshev do primeiro tipo son ortogonais en relación á medida ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$ 
• Os polinomios de Chebyshev do segundo tipo son ortogonais en relación á distribución semicírculo de Wigner.

En combinatoria, dous cadrados latinos ${\displaystyle n\times n}$  son ortogonais se a súa superposición dá todas posíbeis combinacións de entradas ${\displaystyle n^{2}}$ .^[6]

Dous planos planos (non curvos) ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$  dun espazo euclidiano de catro dimensións chámanse completamente ortogonais se e só se cada recta que está en ${\displaystyle A}$  é ortogonal a cada recta en ${\displaystyle B}$ .^[7] Nese caso os planos ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$  cortaránse nun único punto ${\displaystyle O}$ , de xeito que se unha recta en ${\displaystyle A}$  corta cunha recta en ${\displaystyle B}$ , crúzanse en ${\displaystyle O}$ . ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$  son perpendiculares e paralelas de Clifford.

• Número imaxinario
• Complemento ortogonal
• Grupo ortogonal
• Matriz ortogonal
• Polinomios ortogonais
• Poliedro ortogonal
• Traxectoria ortogonal
• Ortogonalización
  • Proceso de Gram-Schmidt
• Base ortonormal
• Ortonormal