Elemento enteiro , a enciclopedia libre

Na álxebra conmutativa, un elemento b dun anel conmutativo B dise que é enteiro sobre un subanel A de B se b é unha raíz dalgún polinomio mónico sobre A.

Se A, B son corpos, entón as nocións de "enteiro sobre" e de "extensión de enteiros" son precisamente "alxébrico sobre" e "extensións alxébricas" na teoría de corpos (xa que a raíz de calquera polinomio é a raíz dun polinomio mónico).

O caso de maior interese na teoría de números é o dos números complexos enteiros sobre Z (por exemplo, ou ); neste contexto, os elementos enteiros adoitan chamarse enteiros alxébricos. Os números enteiros alxébricos nunha extensión de corpo finita k dos racionais Q forman un subanel de k, chamado anel de enteiros de k, un obxecto central de estudo na teoría alxébrica de números.

Neste artigo, o termo anel entenderase como anel conmutativo cunha identidade multiplicativa.

Definición

editar

Sexa   un anel e sexa   un subanel de   Un elemento   de   dise que é enteiro sobre   se para algúns   existe   en   tal que  

O conxunto de elementos de   que son enteiros sobre   chámase peche integral (ou pechamento integral) de   en   O pechamento integral de calquera subanel   en   é, en si, un subanel de   e contén   Se todo elemento de   é enteiro sobre   entón dicimos que   é enteiro sobre  , ou equivalentemente   é unha extensión enteira de  

Exemplos

editar

Peche integral na teoría alxébrica de números

editar

Hai moitos exemplos de peche integral que se poden atopar na teoría de números alxébricos xa que é fundamental para definir o anel de enteiros para unha extensión de corpo alxébrico   (ou  ).

Peche integral de números enteiros en racionais

editar

Os enteiros son os únicos elementos de Q que son enteiros sobre Z. Noutras palabras, Z é o peche integral de Z en Q.

Extensións cadráticas

editar

Os enteiros de Gauss son os números complexos da forma  , e son enteiros sobre Z.   é entón o peche integral de Z in   . Normalmente denótase este anel   .

O peche integral de Z in   é o anel

 

Este exemplo e o anterior son exemplos de enteiros cadráticos. O peche integral dunha extensión cadrática   pódese atopar construíndo o polinomio mínimo dun elemento arbitrario   e atopar o criterio teórico de números para que o polinomio teña coeficientes enteiros. Esta análise pódese atopar no artigo de extensións cadráticas.

Pechamento integral

editar

Sexan AB aneis e A' o peche integral de A en B. (Ver arriba para a definición.)

Os peches integrais compórtanse ben baixo varias construcións. En concreto, para un subconxunto S de A pechado multiplicativamente, a localización S −1 A' é o peche integral de S −1 A en S −1 B, e   é o peche integral de   en  . [1] Se   son subaneis de aneis  , entón o peche integral de   en   é   onde   son os peches integrais de   en  . [2]


 
 Este artigo é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar

Outros artigos

editar