Elemento enteiro , a enciclopedia libre

Sexa ${\displaystyle B}$  un anel e sexa ${\displaystyle A\subset B}$  un subanel de ${\displaystyle B.}$  Un elemento ${\displaystyle b}$  de ${\displaystyle B}$  dise que é enteiro sobre ${\displaystyle A}$  se para algúns ${\displaystyle n\geq 1,}$  existe ${\displaystyle a_{0},\ a_{1},\ \dots ,\ a_{n-1}}$  en ${\displaystyle A}$  tal que $${\displaystyle b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0.}$$ 

O conxunto de elementos de ${\displaystyle B}$  que son enteiros sobre ${\displaystyle A}$  chámase peche integral (ou pechamento integral) de ${\displaystyle A}$  en ${\displaystyle B.}$  O pechamento integral de calquera subanel ${\displaystyle A}$  en ${\displaystyle B}$  é, en si, un subanel de ${\displaystyle B}$  e contén ${\displaystyle A.}$  Se todo elemento de ${\displaystyle B}$  é enteiro sobre ${\displaystyle A,}$  entón dicimos que ${\displaystyle B}$  é enteiro sobre ${\displaystyle A}$ , ou equivalentemente ${\displaystyle B}$  é unha extensión enteira de ${\displaystyle A.}$ 

Hai moitos exemplos de peche integral que se poden atopar na teoría de números alxébricos xa que é fundamental para definir o anel de enteiros para unha extensión de corpo alxébrico ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$  (ou ${\displaystyle L/\mathbb {Q} _{p}}$ ).

Os enteiros son os únicos elementos de Q que son enteiros sobre Z. Noutras palabras, Z é o peche integral de Z en Q.

Os enteiros de Gauss son os números complexos da forma ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}},\,a,b\in \mathbf {Z} }$ , e son enteiros sobre Z. ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]}$  é entón o peche integral de Z in ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-1}})}$  . Normalmente denótase este anel ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [i]}}$  .

O peche integral de Z in ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {5}})}$  é o anel

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}=\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right].}$ 

Este exemplo e o anterior son exemplos de enteiros cadráticos. O peche integral dunha extensión cadrática ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$  pódese atopar construíndo o polinomio mínimo dun elemento arbitrario ${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$  e atopar o criterio teórico de números para que o polinomio teña coeficientes enteiros. Esta análise pódese atopar no artigo de extensións cadráticas.

Sexan A ⊂ B aneis e A' o peche integral de A en B. (Ver arriba para a definición.)

Os peches integrais compórtanse ben baixo varias construcións. En concreto, para un subconxunto S de A pechado multiplicativamente, a localización S ⁻¹ A' é o peche integral de S ⁻¹ A en S ⁻¹ B, e ${\displaystyle A'[t]}$  é o peche integral de ${\displaystyle A[t]}$  en ${\displaystyle B[t]}$ . ^[1] Se ${\displaystyle A_{i}}$  son subaneis de aneis ${\displaystyle B_{i},1\leq i\leq n}$ , entón o peche integral de ${\displaystyle \prod A_{i}}$  en ${\displaystyle \prod B_{i}}$  é ${\displaystyle \prod {A_{i}}'}$  onde ${\displaystyle {A_{i}}'}$  son os peches integrais de ${\displaystyle A_{i}}$  en ${\displaystyle B_{i}}$ . ^[2]

• Bourbaki, Nicolas (2006). Algèbre commutative. Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-33937-3. 
• Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94268-8. 

• Enteiro alxébrico
• Extensión dun corpo
• Anel (matemáticas)
• Anel polinómico