Ceros e polos , a enciclopedia libre

Unha función dunha variábel complexa z é holomorfa nun dominio aberto U se é diferenciábel respecto a z en cada punto de U. Equivalentemente, é holomorfa se é analítica, é dicir, se a súa serie de Taylor existe en cada punto de U e converxe á función nalgunha veciñanza do punto. Unha función é meromorfa en U se todo punto de U ten unha veciñanza na que polo menos unha das funcións f e 1/f é holomorfa.

Un cero dunha función meromorfa f é un número complexo z tal que f(z) = 0. Un polo de f é un cero de 1/f.

Se f é unha función que é meromorfa nunha veciñanza dun punto ${\displaystyle z_{0}}$  do plano complexo, entón existe un enteiro n tal que

${\displaystyle (z-z_{0})^{n}f(z)}$ 

é holomorfa e non nula nunha veciñanza de ${\displaystyle z_{0}}$  (isto é unha consecuencia da propiedade analítica). Se n > 0, entón ${\displaystyle z_{0}}$  é un polo de orde (ou multiplicidade) n de f. Se n < 0, entón ${\displaystyle z_{0}}$  é un cero de orde ${\displaystyle |n|}$  de f.

Cero simple e polo simple son termos usados para ceros e polos de orde ${\displaystyle |n|=1.}$  Ás veces úsase grao como sinónimo de orde.

Esta caracterización de ceros e polos implica que os ceros e polos están illados, é dicir, todo cero ou polo ten unha veciñanza que non contén ningún outro cero ou polo.

Un punto que non é nin un polo nin un cero considérase un polo (ou cero) de orde 0.

Unha función meromorfa pode ter infinitos ceros e polos. Este é o caso da función gamma, que é meromorfa en todo o plano complexo e ten un polo simple en cada enteiro non positivo. A función zeta de Riemann tamén é meromorfa en todo o plano complexo, cun único polo de orde 1 en z = 1. Os seus ceros no semiplano esquerdo son todos os enteiros pares negativos, e a hipótese de Riemann é a conxectura de que todos os demais ceros están sobre Re(z) = 1/2.

Nunha veciñanza dun punto ${\displaystyle z_{0},}$  unha función meromorfa non nula f é a suma dunha serie de Laurent cunha parte principal finita (os termos con valores de índice negativos):

${\displaystyle f(z)=\sum _{k\geq -n}a_{k}(z-z_{0})^{k},}$ 

onde n é un enteiro, e ${\displaystyle a_{-n}\neq 0.}$  De novo, se n > 0 (a suma comeza con ${\displaystyle a_{-|n|}(z-z_{0})^{-|n|}}$ , a parte principal ten n termos), tense un polo de orde n, e se n ≤ 0 (a suma comeza con ${\displaystyle a_{|n|}(z-z_{0})^{|n|}}$ , non hai parte principal), tense un cero de orde ${\displaystyle |n|}$ .

Unha función ${\displaystyle z\mapsto f(z)}$  é meromorfa no infinito se é meromorfa nalgunha veciñanza do infinito (é dicir, fóra dun disco), e existe un enteiro n tal que

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z^{n}}}}$ 

existe e é un número complexo non nulo.

Neste caso, o punto no infinito é un polo de orde n se n > 0, e un cero de orde ${\displaystyle |n|}$  se n < 0.

Por exemplo, un polinomio de grao n ten un polo de grao n no infinito.

O plano complexo estendido por un punto no infinito chámase esfera de Riemann.

Se f é unha función que é meromorfa en toda a esfera de Riemann, entón ten un número finito de ceros e polos, e a suma das ordes dos seus polos é igual á suma das ordes dos seus ceros.

Toda función racional é meromorfa en toda a esfera de Riemann, e, neste caso, a suma das ordes dos ceros ou dos polos é o máximo dos graos do numerador e do denominador.

• A función

${\displaystyle f(z)={\frac {3}{z}}}$ 

é meromorfa en toda a esfera de Riemann. Ten un polo de orde 1 ou polo simple en ${\displaystyle z=0,}$  e un cero simple no infinito.

• A función

${\displaystyle f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}}$ 

é meromorfa en toda a esfera de Riemann. Ten un polo de orde 2 en ${\displaystyle z=5,}$  e un polo de orde 3 en ${\displaystyle z=-7}$ . Ten un cero simple en ${\displaystyle z=-2,}$  e un cero cuádruplo no infinito.

• A función

${\displaystyle f(z)={\frac {z-4}{e^{z}-1}}}$ 

é meromorfa en todo o plano complexo, mais non no infinito. Ten polos de orde 1 en ${\displaystyle z=2\pi ni{\text{ para }}n\in \mathbb {Z} }$ . Isto pódese ver escribindo a serie de Taylor de ${\displaystyle e^{z}}$  arredor da orixe.

• A función

${\displaystyle f(z)=z}$ 

ten un único polo no infinito de orde 1, e un único cero na orixe.

Todos os exemplos anteriores, agás o terceiro, son funcións racionais.

O concepto de ceros e polos esténdese de forma natural a funcións nunha curva complexa, é dicir, unha variedade analítica complexa de dimensión un (sobre os números complexos). Os exemplos máis simples desas curvas son o plano complexo e a superficie de Riemann. Esta extensión faise transferindo estruturas e propiedades mediante cartas, que son isomorfismos analíticos.

Máis precisamente, sexa f unha función dunha curva complexa M nos números complexos. Esta función é holomorfa (resp. meromorfa) nunha veciñanza dun punto z de M se existe unha carta ${\displaystyle \phi }$  tal que ${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}}$  é holomorfa (resp. meromorfa) nunha veciñanza de ${\displaystyle \phi (z).}$  Entón, z é un polo ou un cero de orde n se o mesmo é certo para ${\displaystyle \phi (z).}$ 

Se a curva é compacta, e a función f é meromorfa en toda a curva, entón o número de ceros e polos é finito, e a suma das ordes dos polos é igual á suma das ordes dos ceros. Este é un dos feitos básicos que están implicados no teorema de Riemann-Roch.

• Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 0-387-90328-3. 
• Conway, John B. (1995). Functions of One Complex Variable II. Springer. ISBN 0-387-94460-5. 
• Henrici, Peter (1974). Applied and Computational Complex Analysis 1. John Wiley & Sons. 

• Teorema de Gauss-Lucas
• Teorema de Hurwitz (análise complexa)
• Residuo (análise complexa)

• Weisstein, Eric W. "Pole". MathWorld.