Sigma-álxebra , a enciclopedia libre

Dado un conxunto non baleiro ${\displaystyle X}$ , e ${\displaystyle P(X)}$  o seu conxunto de partes, dicimos que ${\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)}$  é unha ${\displaystyle \sigma }$ -álxebra en ${\displaystyle X}$  se se satisfán as seguintes condicións:^[1]

• O conxunto baleiro ${\displaystyle \emptyset }$  e o conxunto total ${\displaystyle X}$  son elementos de ${\displaystyle \Sigma }$ .
• Dado un elemento ${\displaystyle E\in \Sigma }$ , o seu conxunto complementario ${\displaystyle E^{c}=X\setminus E}$  tamén pertence a ${\displaystyle \Sigma }$ .
• (${\displaystyle \sigma }$ -aditividade) Dado un conxunto numerable ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \Sigma }$ , o conxunto unión ${\displaystyle E=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$  tamén pertence a ${\displaystyle \Sigma }$ .

Dado ${\displaystyle X}$  un conxunto e ${\displaystyle \Sigma }$  unha ${\displaystyle \sigma }$ -álxebra en ${\displaystyle X}$ , chamamos espazo medible ao par formado por ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ .

Sexa ${\displaystyle (X,\Sigma )}$  un espazo medible. Pódese demostrar que

• (Aditividade finita) Dado un conxunto finito ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{n}}$  de elementos de ${\displaystyle \Sigma }$ , o conxunto unión (finita) ${\displaystyle E=\bigcup _{k=1}^{n}E_{k}}$  tamén é un elemento de ${\displaystyle \Sigma }$ .
• Dado un conxunto numerable ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$  de elementos de ${\displaystyle \Sigma }$ , o conxunto intersección (numerable) ${\displaystyle E=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$  tamén pertence a ${\displaystyle \Sigma }$ . Desta propiedade dedúcese que tamén ocorre o mesmo para a intersección finita de elementos de ${\displaystyle \Sigma }$ .
• Dados dous elementos ${\displaystyle E,F}$  de ${\displaystyle \Sigma }$ , o conxunto ${\displaystyle E\setminus F}$  tamén pertence a ${\displaystyle \Sigma }$ .

• Chamamos ${\displaystyle \sigma }$ -álxebra trivial á ${\displaystyle \sigma }$ -álxebra formada polo conxunto baleiro e o total: ${\displaystyle \Sigma =\{\emptyset ,X\}}$ . Trátase da ${\displaystyle \sigma }$ -álxebra máis pequena sobre ${\displaystyle X}$ .

• A maior ${\displaystyle \sigma }$ -álxebra posible sobre ${\displaystyle X}$  é o conxunto ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ . Calquera ${\displaystyle \sigma }$ -álxebra ${\displaystyle \Sigma }$  sobre ${\displaystyle X}$  satisfai que ${\displaystyle \{\emptyset ,X\}\subset \Sigma \subset {\mathcal {P}}(X)}$ .

• Dadas dúas ${\displaystyle \sigma }$ -álxebras ${\displaystyle \Sigma _{1}}$  e ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ , a súa intersección ${\displaystyle \Sigma _{1}\cup \Sigma _{2}}$  é tamén unha ${\displaystyle \sigma }$ -álxebra en ${\displaystyle X}$ .

• Dado un subconxunto ${\displaystyle A\subset X}$ , a menor ${\displaystyle \sigma }$ -álxebra sobre ${\displaystyle X}$  que contén a ${\displaystyle A}$  é ${\displaystyle \Sigma =\{\emptyset ,A,A^{c},X\}}$ .

• Dado ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {P}}(X)}$ , a menor ${\displaystyle \sigma }$ -álxebra sobre ${\displaystyle X}$  que contén a ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$  é a intersección de todas as ${\displaystyle \sigma }$ -álxebras que conteñen a ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ . Denominámola ${\displaystyle \sigma }$ -álxebra xerada por ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ .

• Dado un conxunto ${\displaystyle A\subset X}$ , denominamos ${\displaystyle \sigma }$ -álxebra inducida a ${\displaystyle \Sigma _{A}=\{A\cap E\colon \ E\in \Sigma \}}$ . Esta é unha ${\displaystyle \sigma }$ -álxebra sobre o conxunto ${\displaystyle A}$ .

Dicimos que unha función ${\displaystyle f:(X_{1},\Sigma _{1})\to (X_{2},\Sigma _{2})}$  é medible se a preimaxe dun conxunto medible en ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$  é medible en ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ , isto é, se para cada ${\displaystyle X\in \Sigma _{2}}$  tense que ${\displaystyle f^{-1}(X)\in \Sigma _{1}}$ .

A noción de función medible motiva a definición das seguintes ${\displaystyle \sigma }$ -álxebras:

Por construción, esta é a mínima ${\displaystyle \sigma }$ -álxebra (no sentido da inclusión) sobre ${\displaystyle \Sigma _{1}}$  tal que a función ${\displaystyle f:(X_{1},\Sigma _{1})\to (X_{2},\Sigma _{2})}$  é medíbel.

Trátase da máxima ${\displaystyle \sigma }$ -álxebra (no sentido da inclusión) sobre ${\displaystyle \Sigma _{2}}$  tal que a función ${\displaystyle f:(X_{1},\Sigma _{1})\to (X_{2},\Sigma _{2})}$  é medíbel.

Un exemplo importante é a álxebra de Borel sobre calquera espazo topolóxico: a σ-álxebra xerada polos conxuntos abertos (ou, equivalentemente, polos conxuntos pechados). Esta σ-álxebra non é, en xeral, o conxunto de partes completo. Para un exemplo non trivial que non é un conxunto de Borel, véxase o conxunto de Vitali ou o Conxuntos non borelianos.

No espazo euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , outra σ-álxebra é importante: a de todos os conxuntos medíbeis de Lebesgue. Esta σ-álxebra contén máis conxuntos que a σ-álxebra de Borel en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  e é a preferida na teoría de integración, xa que dá un espazo de medida completo.

• Robert G. Bartle (1995). The Elements of Integration and Measure Theory. Wiley. ISBN 0471042226. 
• Castillo, F. del Florencio (1987). Análisis matemático II. Madrid: Alhambra. ISBN 8420515795. 

• Función medible
• Medida (matemáticas)

• "Algebra of sets". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Sigma Algebra from PlanetMath.