Le funzioni trigonometriche complesse sono la generalizzazione al campo dei numeri complessi delle normali funzioni trigonometriche definite nel campo dei numeri reali e vengono generalmente costruite introducendo in esse la variabile complessa
z := x + i y {\displaystyle z:=x+iy} Dalle formule di Eulero , valide per ogni x:
{ e i x = cos x + i sin x e − i x = cos x − i sin x {\displaystyle {\begin{cases}e^{ix}=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}=\cos x-i\sin x\end{cases}}} si ricavano le definizioni di seno e coseno che sono funzioni intere del piano complesso :
{ sin z = e i z − e − i z 2 i cos z = e i z + e − i z 2 {\displaystyle {\begin{cases}\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\end{cases}}} Diamo alcune proprietà (altre sono come le rispettive proprietà reali) delle funzioni seno e coseno:
sin 2 z + cos 2 z = 1 {\displaystyle \sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1} { sin 2 z = 2 sin z cos z cos 2 z = cos 2 z − sin 2 z {\displaystyle {\begin{cases}\sin 2z=2\sin z\cos z\\\cos 2z=\cos ^{2}z-\sin ^{2}z\end{cases}}} { sin ( z 1 + z 2 ) = sin z 1 cos z 2 + cos z 1 sin z 2 cos ( z 1 + z 2 ) = cos z 1 cos z 2 − sin z 1 sin z 2 {\displaystyle {\begin{cases}\sin(z_{1}+z_{2})=\sin z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\sin z_{2}\\\cos(z_{1}+z_{2})=\cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2}\end{cases}}} 2 sin z 1 cos z 2 = sin ( z 1 + z 2 ) + sin ( z 1 − z 2 ) {\displaystyle 2\sin z_{1}\cos z_{2}=\sin(z_{1}+z_{2})+\sin(z_{1}-z_{2})} La tangente e la cotangente complessa sono definite sempre a partire da seno e coseno:
{ tan z = sin z cos z , cot z = cos z sin z sec z = 1 cos z , csc z = 1 sin z {\displaystyle {\begin{cases}\tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}&\,,\,\cot z={\frac {\cos z}{\sin z}}\\\sec z={\frac {1}{\cos z}}&\,,\,\csc z={\frac {1}{\sin z}}\end{cases}}} Osserviamo che sia la tangente che la secante sono analitiche ovunque eccetto nelle singolarità: z = π 2 + n π {\displaystyle z={\tfrac {\pi }{2}}+n\pi } cotangente e la cosecante hanno singolarità in z = n π {\displaystyle z=n\pi }
{ sinh z = e z − e − z 2 cosh z = e z + e − z 2 {\displaystyle {\begin{cases}\sinh z={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}\\\cosh z={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}\end{cases}}} { tanh z = sinh z cosh z , coth z = 1 tanh z sech z = 1 cosh z , csch z = 1 sinh z {\displaystyle {\begin{cases}\tanh z={\frac {\sinh z}{\cosh z}}&\,,\,\coth z={\frac {1}{\tanh z}}\\\operatorname {sech} z={\frac {1}{\cosh z}}&\,,\,\operatorname {csch} z={\frac {1}{\sinh z}}\end{cases}}} Il seno e il coseno iperbolico sono funzioni intere di tutto il piano complesso.
Alcune proprietà visto anche il legame con il seno e il coseno:
{ sin z = − i sinh ( i z ) , sinh z = − i sin ( i z ) cos z = cosh ( i z ) , cosh z = cos ( i z ) {\displaystyle {\begin{cases}\sin z=-i\sinh(iz)&\,,\,\sinh z=-i\sin(iz)\\\cos z=\cosh(iz)&\,,\,\cosh z=\cos(iz)\end{cases}}} − sinh 2 z + cosh 2 z = 1 {\displaystyle -\sinh ^{2}z+\cosh ^{2}z=1} { sinh ( z 1 + z 2 ) = sinh z 1 cosh z 2 + cosh z 1 sinh z 2 cosh ( z 1 + z 2 ) = cosh z 1 cosh z 2 + sinh z 1 sinh z 2 {\displaystyle {\begin{cases}\sinh(z_{1}+z_{2})=\sinh z_{1}\cosh z_{2}+\cosh z_{1}\sinh z_{2}\\\cosh(z_{1}+z_{2})=\cosh z_{1}\cosh z_{2}+\sinh z_{1}\sinh z_{2}\end{cases}}} 
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