エーレンフェストの定理

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "エーレンフェストの定理" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2012年9月)

エーレンフェストの定理（エーレンフェストのていり、英: Ehrenfest's theorem^[1]）は、量子力学における重要な定理のひとつで、大まかにいえば『シュレーディンガー方程式の期待値を取ることで古典力学における運動方程式（に大変よく似たもの）が得られる』ことを主張している。この定理はオランダの物理学者ポール・エーレンフェストにより提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。

量子系の座標のrの期待値とそれに共役な運動量pの期待値とが時間とともにどのように変化するかを計算し、${\displaystyle {d \over dt}\langle r\rangle ={1 \over m}\int \psi ^{*}{\hbar \over i}\nabla \psi d^{3}r}$,${\displaystyle {d \over dt}\langle p\rangle =-\int \psi ^{*}(\nabla V)\psi d^{3}r=-\langle \nabla V\rangle =\langle F\rangle }$より、それぞれ、${\displaystyle {d \over dt}\langle r\rangle ={1 \over m}\langle p\rangle }$　（1）　　　　　${\displaystyle {d \over dt}\langle p\rangle =-\langle \nabla V\rangle =\langle F\rangle }$（2）

が得られる。これは、古典論の運動方程式、

${\displaystyle {dr \over dt}={1 \over m}p}$ ${\displaystyle {dp \over dt}=-\nabla V}$

とよく似ている。rの期待値とpの期待値が時間とともにどのように変化していくかという関係、（1）の式と（2）の式をエーレンフェストの定理という。^[2]

まず、期待値の定義より

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle &={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\int \psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {r} \psi (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} \mathbf {r} \\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}$

を得る。ここでシュレーディンガー方程式より

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} &={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[-{\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi ^{*})\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&={\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[-\left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} \left\{{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&={\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi -\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-{\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[\nabla ^{2}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi -\psi ^{*}\mathbf {r} \nabla ^{2}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}$

部分積分と、積分範囲が空間全体にわたること、及び波動関数は無限遠では0となるという仮定を用いると

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \nabla ^{2}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi \ \mathrm {d} \mathbf {r} &=[\nabla \psi ^{*}\mathbf {r} \psi ]_{-\infty }^{+\infty }-\int \nabla \psi ^{*}\nabla (\mathbf {r} \psi )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-[\psi ^{*}\nabla (\mathbf {r} \psi )]_{-\infty }^{+\infty }+\int \psi ^{*}\nabla ^{2}(\mathbf {r} \psi )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \psi ^{*}\nabla (\nabla \mathbf {r} \psi +\mathbf {r} \nabla \psi )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \left[\psi ^{*}\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla (\mathbf {r} \nabla \psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \left[2\psi ^{*}\nabla \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} \nabla ^{2}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}$

これらを用いると

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle =-i\hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \psi ^{*}\nabla \psi \mathrm {d} \mathbf {r} =-i\hbar \int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} }$

再度シュレーディンガー方程式を用いて

${\displaystyle {\begin{aligned}-i\hbar \int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} &=-i\hbar \int \left[-{\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi ^{*})\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla {\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \left[\left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla \left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int \left[\nabla ^{2}\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla ^{3}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} +\int \left[U(\mathbf {r} )\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla (U(\mathbf {r} )\psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}$

また部分積分を使うと、

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \nabla ^{2}\psi ^{*}\nabla \psi \mathrm {d} \mathbf {r} &=[\nabla \psi ^{*}\nabla \psi ]_{-\infty }^{+\infty }-\int \nabla \psi ^{*}\nabla ^{2}\psi \mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-[\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi ]_{-\infty }^{+\infty }+\int \psi ^{*}\nabla ^{3}\psi \mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \psi ^{*}\nabla ^{3}\psi \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}$

加えて

${\displaystyle {\begin{aligned}U\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla (U\psi )&=U\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla U\psi -U\psi ^{*}\nabla \psi \\&=-\psi ^{*}\nabla U\psi \end{aligned}}}$

を用いると、

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle =-\int \psi ^{*}\nabla U\psi \mathrm {d} \mathbf {r} }$

を得る。この右辺の積分は、期待値の導出法から${\displaystyle \nabla U}$の期待値であるから、

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle =-\langle \nabla U\rangle }$

となる。

この節の加筆が望まれています。

• 古典物理学

表 話 編 歴 量子力学
全般	序論（英語版） 数学的定式化
背景	古典力学 前期量子論 量子論 量子力学の歴史 量子力学の年表
基本概念	量子状態 波動関数 重ね合わせ 不確定性原理 可観測量 相補性 二重性 不確定性 トンネル効果 排他原理 エーレンフェストの定理 量子もつれ デコヒーレンス
定式化	シュレーディンガー描像 ハイゼンベルク描像 相互作用描像 波動力学 行列力学 経路積分 GNS表現
方程式	シュレーディンガー方程式 ハイゼンベルク方程式 パウリ方程式 クライン＝ゴルドン方程式 ディラック方程式
実験	二重スリット実験 シュテルン＝ゲルラッハの実験 デイヴィソン＝ガーマーの実験 ベルの不等式の検証実験（英語版） ポパーの実験（英語版） シュレーディンガーの猫 爆弾検査問題（英語版） 量子消しゴム実験
解釈（英語版）	観測問題 ボーム解釈 無矛盾歴史 コペンハーゲン解釈 アンサンブル解釈 隠れた変数理論 多世界解釈 客観的収縮（英語版） 量子論理 関係性量子力学 (RQM)（英語版） 確率過程量子化 交流解釈（英語版） フォン・ノイマン＝ウィグナー解釈
人物	ジョン・スチュワート・ベル デヴィッド・ボーム ニールス・ボーア マックス・ボルン サティエンドラ・ボース ルイ・ド・ブロイ ポール・ディラック ポール・エーレンフェスト ヒュー・エヴェレット3世 リチャード・P・ファインマン ヴェルナー・ハイゼンベルク パスクアル・ヨルダン ヘンリク・アンソニー・クラマース ジョン・フォン・ノイマン ヴォルフガング・パウリ マックス・プランク エルヴィン・シュレーディンガー アルノルト・ゾンマーフェルト ヴィルヘルム・ヴィーン ユージン・ウィグナー
関連項目	散乱理論 相対論的量子力学 場の量子論 量子情報 量子カオス 量子コンピューター
カテゴリ

この項目は、物理学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:物理学／Portal:物理学）。

• 表示
• 編集