レピュニット

レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、英: repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。この名前は repeated unitを省略した単語であり、アルバート・ベイラーが1964年の論文で命名した^{[注釈 1]}。

10進法における $n$ 桁のレピュニットは $R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}}$ の形に表される。 $n$ = 2, 19, 23, 317, 1031, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A004023) のときに、 $R$ _$n$ は素数となる。2進法における $n$ 桁のレピュニットはメルセンヌ数 $(M_{n}=2^{n}-1)$ である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数（またはレプユニット素数、英: Repunit prime）という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

レピュニットの性質

m が n を割り切るならば、R_m は R_n を割り切る。よって、n が合成数ならば、R_n は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 だけである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 だけであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a^[2])。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるので、すべてズッカーマン数である。

R_n は、n が3の累乗数のとき（n が 1 = 3⁰ のときも含む）は全てハーシャッド数である。

nの値と必ず含まれる約数

偶数 - 11
- 4の倍数 - 11・101
- 6の倍数 - 3・7・11・13・37
3の倍数 - 3・37
5の倍数 - 41・271
7の倍数 - 239・4649
17の倍数 - 2071723・5363222357

など

901型の例

前述のとおり、R_2n は11つまりR₂ で割り切れる。同様に、2×n桁のR_2n は、n桁のR_n で割り切れる。さらに、nが奇数のとき、R_n は11で割り切れないから、R₂ と R_n は互いに素となる。よって、R_2nは、R₂ × R_n で割り切れて、その商は、n桁の数 100…1 ÷ 11 の計算値となるから、n−1 桁の数 9090…91 である。

これらの関係を表にまとめると、次のようになる。

n（奇数）	2 × n	R_2n	R_2nの値（2×n桁）		R₂ × R_n	R₂ × R_nの値（n+1桁）		R_2n ÷ R₂ ÷ R_nの値（n−1桁）	R_2n ÷ R₂ ÷ R_nの素因数分解
3	6	R₀₆	111111	＝	R₂ × R₃	1221	×	91	7・13
5	10	R₁₀	1111111111		R₂ × R₅	122221		9091	素数
7	14	R₁₄	11111111111111		R₂ × R₇	12222221		909091	素数
9	18	R₁₈	111111111111111111		R₂ × R₉	1222222221		90909091	7・13・19・52579
11	22	R₂₂	1111111111111111111111		R₂ × R₁₁	122222222221		9090909091	11・23・4093・8779

n が偶数のときのR_2n、その他についての例は次のとおり。

R₁₂ = 11222211 × 9901
R₂₀ = 1222210000122221 × 9091
R₂₄ = 112233332211 × 990000999901 = 1111222222221111 × 99990001
R₂₈ = 1222222100000012222221 × 909091
R₃₆ = 111111222222222222111111× 999999000001
R₃₉ = 123333333333321 × 900900900900990990990991

など

R₀₆ = 11 × (9091 + 1010)
R₀₈ = 11 × (909091 + 101010)
R₁₀ = 11 × (90909091 + 10101010)

^[3]^[4]^[5]^[6]

1と0だけで表す例

_n	(10^n/2 − 1) / 9	^[7]	10^n/2 + 1
R₀₂	1	1 × 11	11
R₀₄	11	11 × 101	101
R₀₆	3・37	111 × 1001	7・11・13
R₀₈	11・101	1111 × 10001	73・137
R₁₀	41・271	11111 × 100001	11・9091

_n
R₀₂		0001 × 11	1 × 11
R₀₃	#	0001 × 111
R₀₄	$	0001 × 1111	11 × 101
R₀₅	%	0001 × 11111
R₀₆	&	0001 × 111111	111 × 1001
R₀₆	#	0011 × 10101
R₀₇	*	0001 × 1111111
R₀₈	$	0011 × 1010101	1111 × 10001
R₀₉	#	0111 × 1001001
R₁₀	%	0011 × 101010101	11111 × 100001
R₁₂	&	0011 × 10101010101	111111 × 1000001
	$	0111 × 1001001001
	#	1111 × 100010001
R₁₄	*	0011 × 1010101010101	1111111 × 10000001

_n
R₀₆	1 × 111 × 1001	91・11
R₁₂	11 × 10101 × 1000001	9901・101
R₁₈	111 × 1001001 × 1000000001	999001・1001
R₂₄	1111 × 100010001 × 1000000000001	99990001・10001

_n
R₀₄	11 × 101
R₀₈	101 × 110011
R₁₂	1001 × 111000111	1221001221 × 91
R₁₆	10001 × 111100001111
R₂₀	100001 × 111110000011111	1222210000122221 × 9091
R₂₄	1000001 × 111111000000111111	1221001221001221001221 × 91

累乗数 − 累乗数

^[8]

_n	R_n×(10ⁿ+1)
	^[9]^[10]^[11]
R₀₂	6² − 5²	6² − 5²		6² − 5²
R₀₃		56² − 55²	56² − 55²
R₀₄	56² − 45²	556² − 555²
R₀₅		5556² − 5555²
R₀₆	556² − 445²	55556² − 55555²	5056² − 5045²	656² − 565²
R₀₇		555556² − 555555²
R₀₈	5556² − 4445²	0G（省略）
R₀₉		0F（省略）	500556² − 500445²
R₁₀	0E（省略）	0E（省略）		65656² − 56565²
R₁₁		0D（省略）
R₁₂	0C（省略）	0C（省略）	50005556² − 50004445²
R₁₃		0B（省略）
R₁₄	0C（省略）	0A（省略）		6565656² − 5656565²

レピュニット素数

現在、R_n で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R₄₉₀₈₁ は、1999年9月にハーヴェイ・ダブナーが確率的素数として発見してからポール・アンダーウッドによって素数判定されるまで22年6月を要した^[12]。2023年5月に素数であることが証明された R₈₆₄₅₃ は、2000年10月にリュー・バクスターが確率的素数として発見してからアンドレアス・エンゲによって素数判定されるまで22年7月を要した^[13]。

2007年3月26日、ハーヴェイ・ダブナーは n=109297の場合が確率的素数であると発表し^[14]、その後n≦200000にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している^[15]^{[リンク切れ]}。同年7月15日、マクシム・ヴォズニーはn=270343の場合が確率的素数であると発表した^[16]。

2021年4月19日、セルゲイ・バタロフとライアン・プロッパーはn=5794777を^[17]、同年5月8日にn=8177207を確率的素数であると発表した^[18]。発表時点ではそれぞれが知られている最大の確率的素数であった。

2025年5月29日、楕円曲線素数判定法によりn=109297の場合が素数であることが証明された。

*R_n* = (10ⁿ − 1) / 9
No.	n	年^[要出典]	発見者	素数判定
1	2	BC 478	-	素数
2	19	1908-06-27	-	素数
3	23	1933-01-23	-	素数
4	317	1978-05-16	ヒュー・ウィリアムズ	素数
5	1031	1986-10-05	ヒュー・ウィリアムズ、ハーヴェイ・ダブナー	素数
6	49081	1999-09-09	ハーヴェイ・ダブナー	素数
7	86453	2000-10-26	リュー・バクスター	素数
8	109297	2007-03-26	ハーヴェイ・ダブナー	素数
9	270343	2007-07-11	マクシム・ヴォズニー	確率的素数
10	5794777	2021-04-19	セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー	確率的素数
11	8177207	2021-05-08	セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー	確率的素数

(オンライン整数列大辞典の数列 A004023)

レピュニットの素因数分解

レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている^[19]。

基数 10 のレピュニットの R₁ から R₁₂₂ までの素因数分解の一覧を示す^[20]。

n が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。

※ 素因数の数（含重複）

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。

一般化

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対して n 桁のレピュニットは $R_{n}(a)={\frac {a^{n}-1}{a-1}}$ と定義される。

前述のとおり、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは aⁿ⁻¹ の約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R₅(3) = 11², R₄(7) = 20², R₃(18) = 7³ の場合しかない（Bugeaud 1999b^[21]）。

F_d(x) を d 次の円分多項式とすると、

R_{n}(a)=\prod _{d\mid n,\,d>1}F_{d}(a)

と表すことができる。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ アルバート・ベイラーは、次のとおりに記している：
A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number”(repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1.
—A. H. Beiler、1964^[1]

出典

^ Beiler 1964, p. 83.
^ Yann Bugeaud; M. Mignotte (1999). “On integers with identical digits”. Mathematika 46: 411–417.
^ 电算游戏（六）“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客
^ 电算游戏（六）之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客
^ 1111…1という数（レピュニット）の素因数分解を納得する - アジマティクス
^ Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016
^ Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1.
^ World!Of Numbers
^ Number Theory の話題（Repunit Number と Zsigmondy's Theorem）
^ nombre - onze en maths
^ persistance et repdigits
^ Paul Underwood (2022年3月21日). “R49081 is prime!”. MersenneForum. 2022年3月29日閲覧。
^ Prime pages: R(86453)
^ Harvey Dubner, R₁₀₉₂₉₇ に関するアナウンス、Number Theory List
^ “Yahoo! Groups” (英語). groups.yahoo.com. 2018年4月6日閲覧。
^ Maksym Voznyy, R₂₇₀₃₄₃ に関するアナウンス、Number Theory List
^ “New repunit (PRP) primes found”. MersenneForum (2021年4月19日). 2022年3月29日閲覧。
^ “It is R8177207”. MersenneForum (2021年5月8日). 2022年3月29日閲覧。
^ 『レプユニット数』 - 高校数学の美しい物語
^ 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. 2022年3月29日閲覧。
^ Yann Bugeaud, On the Diophantine equation $a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=y^{q}$ , Number Theory (Turku, 1999), de Gruyter, 2001, pp. 19–24.

参考文献

Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, Dover Recreational Math (2nd Revised ed.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
Dickson, Leonard Eugene; Cresse, G.H. (1999-04-24), History of the Theory of Numbers, AMS Chelsea Publishing, Volume I (2nd Reprinted ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1934-0
Francis, Richard L. (1988-05), “Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers”, The College Mathematics Journal 19 (3): 240-246
Ribenboim, Paulo (1996-02-02), The New Book of Prime Number Records, Computers and Medicine (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
Yates, Samuel (1982-05), Repunits and repetends, FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8

外部リンク

『レプユニット数』 - 高校数学の美しい物語
11...11 (レピュニット) の素因数分解（n = 20万までの一覧）
Factorizations of Repunit Numbers （n = 14980までの一覧）
纯元数的实验与探究
collection de nombres, rep-unit
Weisstein, Eric W. “Repunit”. mathworld.wolfram.com (英語).

[2] アルバート・ベイラーは、次のとおりに記している：
A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number”(repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1.
—A. H. Beiler、1964^[1]

[FOOTNOTEBeiler196483-1] Beiler 1964, p. 83.

[3] Yann Bugeaud; M. Mignotte (1999). “On integers with identical digits”. Mathematika 46: 411–417.

[4] 电算游戏（六）“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客

[5] 电算游戏（六）之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客

[6] 1111…1という数（レピュニット）の素因数分解を納得する - アジマティクス

[7] Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016

[8] Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1.

[9] World!Of Numbers

[10] Number Theory の話題（Repunit Number と Zsigmondy's Theorem）

[11] re - onze en maths

[12] rsistance et repdigits

[13] Paul Underwood (2022年3月21日). “R49081 is prime!”. MersenneForum. 2022年3月29日閲覧。

[14] Prime pages: R(86453)

[15] Harvey Dubner, R₁₀₉₂₉₇ に関するアナウンス、Number Theory List

[16] “Yahoo! Groups” (英語). groups.yahoo.com. 2018年4月6日閲覧。

[17] Maksym Voznyy, R₂₇₀₃₄₃ に関するアナウンス、Number Theory List

[18] “New repunit (PRP) primes found”. MersenneForum (2021年4月19日). 2022年3月29日閲覧。

[19] “It is R8177207”. MersenneForum (2021年5月8日). 2022年3月29日閲覧。

[20] 『レプユニット数』 - 高校数学の美しい物語

[21] 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. 2022年3月29日閲覧。

[22] Yann Bugeaud, On the Diophantine equation $a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=y^{q}$ , Number Theory (Turku, 1999), de Gruyter, 2001, pp. 19–24.

[注釈 1]

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表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) 四次 ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面体回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能循環切り捨て可能ストロボグラマティック素数 Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧