De Pierce-expansie of Pierce-ontwikkeling van een reëel getal
in het interval
is de unieke, stijgende rij van positieve gehele getallen
waarvoor geldt:
![{\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d0553f8d739e7337cd0f481fc7e869ed2b3a373)
met afwisselend positieve en negatieve termen. Ze is genoemd naar de wiskundige T.A. Pierce van de universiteit van Nebraska, die ze in 1929 formuleerde.[1]
Een Pierce-expansie van een getal is eindig dan en slechts dan als dat getal een rationaal getal is. Irrationale getallen hebben een oneindige Pierce-expansie.
Elke eindige of oneindige rij van stijgende positieve getallen
is de Pierce-expansie van een reëel getal tussen 0 en 1.
Als de expansie wordt afgebroken bij de
-de term is de fout ten hoogste gelijk aan de absolute waarde van de
-de term en dus zeker kleiner dan de absolute waarde van de
-de term.
De som van de oneven en van de even termen in de Pierce-expansie is respectievelijk een bovengrens en een ondergrens van het getal
De Pierce-expansie kan men berekenen met het onderstaande algoritme:[2]
- Stel
![{\displaystyle u_{0}=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41aa879941bea903c344d693b141e532f33ed565)
- Bereken voor
: ![{\displaystyle a_{k}=\left\lfloor {\frac {1}{u_{k-1}}}\right\rfloor }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e809438e898843393a989097c1152a276d5a53)
![{\displaystyle u_{k}=1-a_{k}u_{k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa7090eb7ef5c86bb8d579c74deb5a62aa6bbc9)
- Stop zodra
![{\displaystyle u_{k}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8de87c89b67129e98be994c827e2b9574f6668)
Daarrin is
de entier van
.
De Pierce-expansie van
geeft achtereenvolgens:
![{\displaystyle u_{0}=0{,}37}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3232b9d209ec6acb7cb82bbaccf61b38d7564ca0)
![{\displaystyle a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}37}}\right\rfloor =2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b550cd8dd714585bb013e74afd49615b8c85a77)
![{\displaystyle u_{1}=1-a_{1}u_{0}=1-2\cdot 0,37=0{,}26}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a62483e6d2940d7281c2fd73f52927cddbeb4ab)
![{\displaystyle a_{2}=\left\lfloor {\frac {1}{0,26}}\right\rfloor =3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf3b1742b6020201d9509838a094d17f103e58a)
![{\displaystyle u_{2}=1-a_{2}u_{1}=1-3\cdot {0{,}26}=0{,}22}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abdda6f0fea1d6b4ff138f003ee3465b14431da7)
![{\displaystyle a_{3}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}22}}\right\rfloor =4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85ab83b87c418c71dec5f2dbb7d4760b0f2ebf08)
![{\displaystyle u_{3}=1-a_{3}u_{2}=1-4\cdot {0{,}22}=0{,}12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2fe057ed4f9af1351c2fe9b4ede783e8a2da14c)
![{\displaystyle a_{4}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}12}}\right\rfloor =8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fc7f8696cbff05cba119ec1898389a5727c444)
![{\displaystyle u_{4}=1-a_{4}u_{3}=1-8\cdot {0{,}12}=0{,}04}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d952470ab5b4e8dd16c91819df0e318f2d425b8d)
![{\displaystyle a_{5}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}04}}\right\rfloor =25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82d5ea932f30b355fc7bc45e18eacfbce69c2710)
![{\displaystyle u_{5}=1-a_{5}u_{4}=1-25\cdot {0{,}04}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e33aa28d5b67510b6f9fdbf9316d0606e6527c)
De Pierce-expansie van 0,37 is dus (2, 3, 4, 8, 25), en inderdaad is:
![{\displaystyle 0{,}37={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 8}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 8\cdot 25}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}-{\frac {1}{192}}+{\frac {1}{4800}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb7f635f5e9c37b88ebe6cf7ce48c3a1df965238)
- rij A006283 in OEIS
- rij A091831 in OEIS
- rij A091846 in OEIS
- rij A020725 in OEIS
De Pierce-expansie van
is dus de reeks van natuurlijke getallen vanaf 2; en die van
- de natuurlijke getallen.
Dit is de Pierce-expansie waarvan de termen het langzaamst kleiner worden. In het algemeen stijgen de getallen in een Pierce-expansie min of meer exponentieel.
Het aantal elementen van de eindige Pierce-expansie van een rationaal getal
is de lengte van de expansie, genoteerd als
.
is de grootste lengte van de Pierce-expansies van alle rationale getallen
met
:[3]
![{\displaystyle P(a)=\max\{P(a,b)\mid 1\leq b\leq a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04204d13c0b051b48f70504aba354720417ba4e1)
Verscheidene wiskundigen hielden zich bezig met de studie van de lengte van Pierce-expansies en van de verwante Engel-expansies, in het bijzonder met het bepalen van zo goed mogelijke boven- en ondergrenzen voor
.
Shallit[2] bewees dat
een bovengrens is van
.
Paul Erdős en Shallit[4] gaven in 1991 een verbeterde asymptotische bovengrens, in grote-O-notatie:
![{\displaystyle P(a)=O(a^{{\frac {1}{3}}+\delta })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d898115de37e223154d5b16f3378c722d4b4240)
waarin
een willekeurig klein positief reëel getal is.
Vlado Kešelj[3] leidde in 1996 een nog betere bovengrens af:
![{\displaystyle P(a)=O((a\cdot \log(a))^{\frac {1}{3}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214f1220bb1299dcd4b4d03e0acb61f614d4e5bc)
Voor de asymptotische ondergrens van
vond hij:
![{\displaystyle P(a)=O\left({\frac {\log(a)}{\log(\log(a))}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c36ae800c64a767bd9cb869d444c87d290a120)
Hierin is
de natuurlijke logaritme. Uit computerberekeningen bleek dat de bovengrens voor grote
nog steeds een ruime overschatting is.
- Engel-expansie, analoog aan de Pierce-expansie maar met enkel positieve termen.
Bronnen, noten en/of referenties
- ↑ Pierce, T. A. "On an Algorithm and Its Use in Approximating Roots of Polynomials." Amer. Math. Monthly 1929, vol. 36, blz. 523-525.
- ↑ a b J. O. Shallit, "Metric theory of Pierce expansions." Fibonacci Quarterly, februari 1986, vol. 24 nr. 1, blz. 22-40
- ↑ a b Vlado Keselj, "Length of Finite Pierce Series: Theoretical Analysis and Numerical Computations". Report CS-96-21, University of Waterloo, 10 september 1996
- ↑ P. Erdös, J.O. Shallit. "New bounds on the length of finite Pierce and Engel series." Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 1991, vol. 3 nr. 1, blz. 43-53. DOI:10.5802/jtnb.41