Sfera jednostkowa z wektorami powierzchni Twierdzenie Ostrogradskiego -Gaussa umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną ) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego a → . {\displaystyle {\vec {a}}.}
Stosowane jest w elektrodynamice teoretycznej, przede wszystkim w teorii pola , elektronice , telekomunikacji i energetyce .
Niech V ⊂ R 3 {\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}} będzie obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą S , {\displaystyle S,} a P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) {\displaystyle P(x,y,z),Q(x,y,z)} i R ( x , y , z ) {\displaystyle R(x,y,z)} będą funkcjami mającymi ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze V . {\displaystyle V.} Prawdziwa jest wówczas następująca zależność:
∬ S ( P d y d z + Q d z d x + R d x d y ) = ∭ V ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d x d y d z . {\displaystyle \iint \limits _{S}(P\;dy\,dz+Q\;dz\,dx+R\;dx\,dy)=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\;dx\,dy\,dz.} Przy czym całka po lewej stronie liczona jest po zewnętrznej stronie powierzchni S . {\displaystyle S.}
Niech V {\displaystyle V} oznacza rzut na płaszczyznę X O Y {\displaystyle XOY} oraz dla D ⊆ V , {\displaystyle D\subseteq V,} niech
V ¯ = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : ( x , y ) ∈ D ¯ ∧ z ∈ [ g 1 ( x , y ) , g 2 ( x , y ) ] } {\displaystyle {\bar {V}}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,\colon \,(x,y)\in {\bar {D}}\wedge z\in [g_{1}(x,y),g_{2}(x,y)]\}} Podzielmy powierzchnię S {\displaystyle S} na trzy takie części S 1 , S 2 , S 3 , {\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},} że:
S 1 = { ( x , y , g 1 ( x , y ) ) : ( x , y ) ∈ D } {\displaystyle S_{1}=\{(x,y,g_{1}(x,y))\colon (x,y)\in D\}} S 2 = { ( x , y , z ) : ( x , y ) ∈ ∂ D ∧ z ∈ [ g 1 ( x , y ) , g 2 ( x , y ) ] } {\displaystyle S_{2}=\{(x,y,z)\colon (x,y)\in \partial D\wedge z\in [g_{1}(x,y),g_{2}(x,y)]\}} S 3 = { ( x , y , g 2 ( x , y ) ) : ( x , y ) ∈ D } , {\displaystyle S_{3}=\{(x,y,g_{2}(x,y))\colon (x,y)\in D\},} przy czym ∂ D {\displaystyle \partial D} oznacza brzeg obszaru D . {\displaystyle D.}
Dla S 2 {\displaystyle S_{2}} trzecia składowa wektora normalnego wynosi zero, zaś dla S 1 {\displaystyle S_{1}} wektor normalny ma postać
± [ ∂ g 1 ∂ x , ∂ g 1 ∂ y , − 1 ] . {\displaystyle \pm \left[{\frac {\partial g_{1}}{\partial x}},{\frac {\partial g_{1}}{\partial y}},-1\right].} Jednak wiemy, że całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni S . {\displaystyle S.} Tak więc wektor normalny powierzchni „dolnej” musi być zwrócony w dół, więc trzecia składowa wektora normalnego wynosi − 1. {\displaystyle -1.} Analogicznie dla powierzchni S 3 {\displaystyle S_{3}} wektor normalny wynosi
[ − ∂ g 2 ∂ x , − ∂ g 2 ∂ y , 1 ] . {\displaystyle \left[-{\frac {\partial g_{2}}{\partial x}},-{\frac {\partial g_{2}}{\partial y}},1\right].} Weźmy składową R {\displaystyle R} pola wektorowego . Tak więc dla lewej strony dowodzonej równości mamy:
∬ S R d x d y = ∬ S 1 R d x d y + ∬ S 3 R d x d y {\displaystyle \iint \limits _{S}R\,dx\,dy=\iint \limits _{S_{1}}R\,dx\,dy+\iint \limits _{S_{3}}Rdx\,dy} = ∬ D R ( x , y , g 2 ( x , y ) ) d x d y − ∬ D R ( x , y , g 1 ( x , y ) ) d x d y {\displaystyle =\iint \limits _{D}R(x,y,g_{2}(x,y))dx\,dy-\iint \limits _{D}R(x,y,g_{1}(x,y))dx\,dy} = ∬ D ( R ( x , y , g 2 ( x , y ) ) − R ( x , y , g 1 ( x , y ) ) d x d y . {\displaystyle =\iint \limits _{D}(R(x,y,g_{2}(x,y))-R(x,y,g_{1}(x,y))dx\,dy.} Przekształcając prawą stronę dowodzonej równości:
∭ V ∂ R ∂ z ( x , y , z ) d x d y d z = ∬ D d x d y ∫ g 1 ( x , y ) g 2 ( x , y ) ∂ R ∂ z ( x , y , z ) d z . {\displaystyle \iiint \limits _{V}{\frac {\partial R}{\partial z}}(x,y,z)dx\,dy\,dz=\iint \limits _{D}dx\,dy\int \limits _{g_{1}(x,y)}^{g_{2}(x,y)}{\frac {\partial R}{\partial z}}(x,y,z)dz.} Dalej, stosując twierdzenie Newtona-Leibniza , otrzymujemy:
∭ V ∂ R ∂ z d x d y d z = ∬ D ( R ( x , y , g 2 ( x , y ) ) − R ( x , y , g 1 ( x , y ) ) d x d y . {\displaystyle \iiint \limits _{V}{\frac {\partial R}{\partial z}}dx\,dy\,dz=\iint \limits _{D}(R(x,y,g_{2}(x,y))-R(x,y,g_{1}(x,y))dx\,dy.} Dowody dla składowych P {\displaystyle P} i Q {\displaystyle Q} są analogiczne.
A więc lewa i prawa strona tezy są równe.
Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego często zapisujemy w postaci wektorowej.
Niech A → {\displaystyle {\vec {A}}} będzie dowolnym polem wektorowym , dla którego istnieje dywergencja na całym zamkniętym obszarze o objętości V , {\displaystyle V,} otoczonej powierzchnią S . {\displaystyle S.} Wtedy Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego ma postać[1] :
∫ S A → ⋅ d S → = ∫ V ( ∇ ⋅ A → ) d V , {\displaystyle \int \limits _{S}{\vec {\mathbf {A} }}\cdot d{\vec {\mathbf {S} }}=\int \limits _{V}\left(\nabla \cdot {\vec {\mathbf {A} }}\right)\;dV,} gdzie d S → {\displaystyle {\vec {\mathbf {d} S}}} jest wektorem powierzchni dla infinitezymalnego elementu powierzchni d S {\displaystyle dS} na powierzchni S , {\displaystyle S,} a d V {\displaystyle dV} jest infinitezymalnym elementem objętości w obszarze V . {\displaystyle V.}
Zaletą wzoru zapisanego w ten sposób jest jego zwięzłość.