Hipérbole – Wikipédia, a enciclopédia livre

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Em matemática, uma hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone, sem que este plano seja paralelo à linha oposta ao corte.^[1]

Hipérbole pode indicar toda a seção do corte, ou também apenas uma das duas curvas que a formam. As duas curvas são iguais, e são denominadas hipérboles opostas.^[1]

Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares^[2] para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.

Para uma prova geométrica simples de que as duas caracterizações acima são equivalentes, veja esferas de Dandelin.

Algebricamente, uma hipérbole é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

tal que ${\displaystyle B^{2}>4AC,}$ onde todos os coeficientes são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (x,y) na hipérbole, existe.

Definições[editar | editar código-fonte]

Os vértices da hipérbole são os dois pontos, um de cada hipérbole oposta, mais próximos entre si. A reta que liga estes dois pontos se chama o eixo transverso da hipérbole. O centro da hipérbole é o ponto médio do segmento de reta que une os dois vértices.^[1]

A hipérbole também pode ser definida como o locus de pontos para os quais a razão das distâncias a um foco e a uma reta (chamada de diretriz) é uma constante maior ou igual a 1. Esta constante é considerada a excentricidade de hipérbole. Estes focos se encontram no eixo transversal e seu ponto médio é chamado de centro.

Uma hipérbole compreende duas curvas desconectadas, chamadas de "braços", que separam os focos. Conforme a distância dos pontos da hipérbole aos focos aumenta, a hipérbole começa a se aproximar de duas linhas, conhecidas como assíntotas.

Uma hipérbole possui a propriedade de que um raio, originando-se em um de seus focos, é refletido de tal forma que ele aparenta ter sido originado no outro foco.

Uma hipérbole ambigenal é uma das hipérboles triplas de segunda ordem, possuindo uma de suas quatro curvas infinitas aproximando-se com um ângulo com relação às assíntotas, e com a curva oposta se aproximando sem este ângulo.^[3]

Um caso especial da hipérbole é a equilateral ou hipérbole retangular, na qual as assíntotas se intersectam em ângulos retos. A hipérbole retangular, com suas assíntotas coincidentes com os eixos coordenados, é dada pela equação xy=c, onde c é uma constante.

Assim como as funções seno e co-seno geram uma equação paramétrica para a elipse, as funções seno hiperbólico e co-seno hiperbólico também geram uma equação paramétrica para a hipérbole.

Se na equação da hipérbole invertermos as variáveis x e y, obteremos a hipérbole conjugada. Uma hipérbole e sua hipérbole conjugada possuem as mesmas assíntotas.

Equações[editar | editar código-fonte]

Cartesiana[editar | editar código-fonte]

Hipérbole de abertura leste-oeste:

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$

Hipérbole de abertura norte-sul:

${\displaystyle {\frac {\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$

Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semieixo real (metade da distância entre os dois ramos), e b é o semieixo imaginário. Note que b pode ser maior que a.

A excentricidade é dada por

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$ ou ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$

Para hipérboles retângulares com os eixo de coordenadas paralelos às suas assíntotas temos:

${\displaystyle (x-h)(y-k)=c}$

Polar[editar | editar código-fonte]

Hipérbole com abertura leste-oeste:

${\displaystyle r^{2}=a\sec 2t}$

Hipérbole com abertura norte-sul:

${\displaystyle r^{2}=-a\sec 2t}$

Hipérbole com abertura nordeste-sudoeste:

${\displaystyle r^{2}=a\csc 2t}$

Em todas as fórmulas o centro está no pólo, e a é o semi-eixo maior e menor.

Paramétrica[editar | editar código-fonte]

Hipérbole com abertura leste-oeste:

${\displaystyle x=a\sec \theta +h}$

${\displaystyle y=b\tan \theta +k}$

Hipérbole com abertura norte-sul:

${\displaystyle x=b\tan \theta +h}$

${\displaystyle y=a\sec \theta +k}$

Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo maior, e b é o semi-eixo menor.

Outra maneira é através das funções hiperbólica senh e cosh.

Hipérbole com abertura leste-oeste:

${\displaystyle x=a\cosh \theta +h}$

${\displaystyle y=b\sinh \theta +k}$

Hipérbole com abertura norte-sul:

${\displaystyle x=b\cosh \theta +h}$

${\displaystyle y=a\sinh \theta +k}$

A diferença dessas duas maneiras é que a primeira é muito mais rápida (uma pequena variação do ângulo, produz uma grande variação nas coordenadas). Também, a primeira não está definida para ${\displaystyle \pi /2}$ e ${\displaystyle 3\pi /2}$. O que conecta as duas maneiras de parametrizar são as equações abaixo:

${\displaystyle \cosh =\sec gd(\theta )}$

${\displaystyle \sinh =\tan gd(\theta )}$

Em que gd é a função gudermanniana.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Um exemplo de aplicação da hipérbole é no sistema de navegação LORAN. Em um determinado caso, por exemplo, há pares de estações emitindo sinais, e a diferença de tempo na recepção de ambos pode ser utilizada para determinar a posição de um navio ^[4]

Trissecção de um ângulo[editar | editar código-fonte]

Um problema clássico na geometria de construções com régua e compasso é o da trissecção de um ângulo. Procura-se achar um método para que, dado um ângulo ${\displaystyle \theta }$ qualquer e usando apenas um compasso e uma régua sem graduação, encontre-se um ângulo cuja medida seja ${\displaystyle \theta /3}$.

Apolônio de Perga, o autor da obra clássica As Cônicas, mostrou que uma seção cônica poderia ser usada para trissectar um ângulo arbitrário.^[5] O conjunto de pontos determinados pela cônica utilizada, no entanto, não pode ser determinado via construções com régua e compasso. A impossibilidade da resolução do problema da trissecção de um ângulo usando compasso e régua foi provada por Pierre Wantzel em 1837. ^[6]

Papo de Alexandria, por volta de 300 DC, usou a descoberta de Apolônio para trissectar um ângulo usando uma hipérbole, usando o método descrito a seguir.^[7] Dado um ângulo qualquer, desenha-se uma circunferência centrada no seu vértice O. Essa circunferência irá se intersectar com os dois lados do ângulo em pontos que chamaremos de A e B. Em seguida, desenha-se um segmento de reta entre A e B e uma reta l perpendicular ao segmento AB, passando por O. Constrói-se então uma hipérbole de excentricidade 2, tendo a reta r como diretriz e B como foco. Assim, dentre os pontos de interseção entre a hipérbole construída e a circunferência de centro O, escolhemos o mais distante de O e o chamamos de P. O ângulo POB terá medida de um terço do ângulo BOC. ^[8]

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

• Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
• Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
• Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
• Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
• Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
• Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ver também[editar | editar código-fonte]

• Ângulo hiperbólico
• Cônicas
• Esferas de Dandelin
• Função hiperbólica
• Hiperbolóide
• Lista de construções do desenho geométrico
• Lugar geométrico
• Parabolóide hiperbólico
• Setor hiperbólico
• Trajetória hiperbólica

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

• Venturi, Jacir J. (2003). Cônicas e Quádricas (PDF) 5 ed. Curitiba: Unificado. 246 páginas. ISBN 8585132485 
• Vídeo de um plano seccionando um cone e definindo a curva cônica hipérbole
• «Construir objetos geometria analítica» (em inglês) .
• Texto sobre cônicas feito pelo Instituto de Matematica e Estatistica da USP para o curso de Engenharia na ESCOLA POLITECNICA DA USP (POLI)
• Alfred North Whitehead: An Introduction to Mathematics. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103197842, pp. 121 [1]
• George Wentworth: Junior High School Mathematics: Book III. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103152360, pp. 265 [2]
• Robert Clarke James, Glenn James: Mathematics Dictionary. Springer 1992, ISBN 9780412990410, p. 255 [3]