Parábola – Wikipédia, a enciclopédia livre

 Nota: Para outros significados, veja Parábola (desambiguação).

Parábola (do grego: παραβολή) é uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo à reta geratriz do cone, sendo que o plano não contém esta. Equivalentemente, uma parábola é a curva plana definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz).^[1][2] Aplicações práticas são encontradas em diversas áreas da física e da engenharia como no projeto de antenas parabólicas, radares, faróis de automóveis.

Definições e visão geral[editar | editar código-fonte]

Equações da geometria analítica[editar | editar código-fonte]

Uma parábola é o conjunto de pontos no plano que são equidistantes de um ponto dado ${\displaystyle F}$ (foco) e uma reta dada ${\displaystyle r}$ (diretriz) que não contém ${\displaystyle F}$.^[3] Assim, em coordenadas cartesianas, uma parábola de foco ${\displaystyle F(p,0)}$ e reta diretriz ${\displaystyle r:x=-p}$ tem equação^[4]

${\displaystyle y^{2}=4px.}$

Uma parábola é dita estar em uma posição padrão quando seu foco está sobre o eixo das abscissas ou sobre o eixo das ordenadas e sua diretriz é, respectivamente, paralela ao eixo das ordenadas ou ao eixo das abscissas. A equação de uma parábola em uma posição padrão é chamada de equação padrão. Assim, além da equação acima, temos que:

${\displaystyle x^{2}=4py}$

é, também, uma equação padrão. Esta caracteriza uma parábola de foco ${\displaystyle F(0,p)}$ e diretriz ${\displaystyle r:y=-p.}$ De fato, por definição, ${\displaystyle P(x,y)}$ pertence à parábola se, e somente se:

${\displaystyle d(P,F)=d(P,r)}$

onde, ${\displaystyle d(\cdot ,\cdot )}$ denota a distância euclidiana. Assim, para uma parábola de foco ${\displaystyle F(p,0)}$ e diretriz ${\displaystyle r:x=-p,}$ temos:

${\displaystyle {\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}={\sqrt {(x+p)^{2}}}\Leftrightarrow (x-p)^{2}+y^{2}=(x+p)^{2}}$

que é equivalente à equação ${\displaystyle y^{2}=4px}$. O procedimento é análogo para uma parábola de foco ${\displaystyle F(0,p)}$ e diretriz ${\displaystyle r:y=-p,}$ mostrando que, neste caso, ${\displaystyle x^{2}=4py}$.

O eixo de simetria de uma parábola é definido como a reta que passa por seu foco ${\displaystyle F}$ e é perpendicular a sua reta diretriz ${\displaystyle r.}$ O vértice de uma parábola é definido pela intersecção da parábola com seu eixo de simetria. Notemos que nas equações acima ${\displaystyle |p|}$ corresponde a distância do vértice ao foco, bem como, à diretriz.

Observamos que, por translação, obtemos a equação de uma parábola com vértice V${\displaystyle (h,k),}$ foco ${\displaystyle F(h+p,k)}$ e diretriz ${\displaystyle r:x=h-p}$ por:

${\displaystyle (y-k)^{2}=4p(x-h).}$

Analogamente, uma parábola com vértice V${\displaystyle (h,k),}$ foco ${\displaystyle F(h,k+p)}$ e diretriz ${\displaystyle r:y=k-p}$ é descrita pela equação:

${\displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k).}$

De maneira geral, uma parábola é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação irredutível de coeficientes reais da forma:

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0}$

com ${\displaystyle b^{2}=ac,}$ ${\displaystyle a+c\neq 0}$. O fato da equação ser irredutível significa que ela não pode ser fatorada como um produto de dois fatores lineares.

Outras definições geométricas^{[carece de fontes?]}[editar | editar código-fonte]

Uma parábola também pode ser caracterizada com uma secção cônica com uma excentricidade igual a 1. Como uma consequência disso, todas as parábolas são similares.

Uma parábola também pode ser obtida como o limite de uma sequência de elipses onde um foco é mantido fixo e o outro pode se mover para uma distância cada vez maior do foco em uma direção. Desta forma, uma parábola pode ser considerada a seção do segmento de uma elipse que possui um foco no infinito. A parábola é a transformada inversa de um cardióide.

Se girarmos uma parábola através de seu eixo em um gráfico de três dimensões temos uma forma conhecida como o parabolóide de revolução.

Dedução das equações[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas cartesianas[editar | editar código-fonte]

Eixo vertical de simetria[editar | editar código-fonte]

Estas deduções se baseiam em uma parábola com eixo vertical de simetria, com vértice ${\displaystyle V}$${\displaystyle (h,k)}$ e distância ${\displaystyle p}$ entre o vértice e o foco. Por convenção, se o vértice estiver abaixo do foco p é positivo, caso contrário p é negativo.^[2]

Como, por definição, um ponto ${\displaystyle P(x,y)}$ na parábola dista do foco ${\displaystyle F(h,k+p)}$ tanto quanto da reta diretriz ${\displaystyle r:y=k-p,}$ podemos escrever:

${\displaystyle d(P,F)=d(P,r)\Rightarrow {\sqrt {(x-h)^{2}+(y-k-p)^{2}}}=|y-k+p|}$

onde, ${\displaystyle d(\cdot ,\cdot )}$ denota a distância euclidiana e ${\displaystyle |\cdot |}$ denota a função valor absoluto. Lembrando que ${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$ para qualquer ${\displaystyle x}$ real, temos:

${\displaystyle (x-h)^{2}+(y-k-p)^{2}=(y-k+p)^{2}}$

${\displaystyle (x-h)^{2}=(y-k+p)^{2}-(y-k-p)^{2}}$

${\displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k)}$

a qual é a equação padrão procurada.

Comumente, esta equação aparece reescrita na forma de um trinômio do segundo grau:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

onde:

${\displaystyle a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-h}{2p}};\ \ c={\frac {h^{2}}{4p}}+k;}$ ${\displaystyle h={\frac {-b}{2a}};\ \ k=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.}$

Muitas vezes é útil descrever uma parábola via equações paramétricas. Tomando ${\displaystyle x=x(t),}$ por exemplo ${\displaystyle x(t)=2pt+h,}$ e substituindo na equação padrão, obtemos ${\displaystyle y=y(t).}$ Isto nos fornece a seguinte parametrização de uma tal parábola:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}x(t)=2pt+h\\y(t)=pt^{2}+k\end{array}}\right.,\quad t\in \mathbb {R} .}$

Observamos que a parametrização de ${\displaystyle x,}$ i.e. ${\displaystyle x=x(t),}$ é arbitrária, sendo que diferentes escolhas levam a um conjunto diferente de equações paramétricas.

Eixo horizontal de simetria[editar | editar código-fonte]

Analogamente, uma parábola com eixo horizontal de simetria, vértice ${\displaystyle V(h,~k)}$ e distância ${\displaystyle p}$ entre o vértice e o foco tem equação padrão:

${\displaystyle (y-k)^{2}=4p(x-h)}$

Notemos que esta pode ser reescrita no trinômio de segundo grau:

${\displaystyle x=ay^{2}+by+c}$

tomando:

${\displaystyle a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-k}{2p}};\ \ c={\frac {k^{2}}{4p}}+h;}$ ${\displaystyle h=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}};\ \ k={\frac {-b}{2a}}.}$

Tomando ${\displaystyle y=y(t)}$, ${\displaystyle y(t)=2pt+k}$, e substituindo na equação padrão, obtemos as seguintes equações paramétricas para uma tal parábola:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}x(t)=pt^{2}+h\\y(t)=2pt+k\end{array}}\right.,\quad \forall t\in \mathbb {R} }$

Em coordenadas polares[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas polares, uma parábola com o foco na origem e reta diretriz ${\displaystyle x=-2a}$ é dada pela equação^[5]:

${\displaystyle r={\frac {2a}{1-\cos(\theta )}}}$

De fato, tomando ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ e ${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$ e substituindo na equação polar, obtemos:

${\displaystyle y^{2}=4a(x+a)}$

que é a equação padrão da parábola de vértice ${\displaystyle V(-a,0)}$ e reta diretriz ${\displaystyle x=-2a}$.

Forma em coordenadas gaussianas[editar | editar código-fonte]

A forma em coordenadas gaussianas é dada por:^{[carece de fontes?]}

${\displaystyle (\tan ^{2}\phi ,2\tan \phi )}$

e possui a normal ${\displaystyle (\cos \phi ,\mathrm {sen} \,\phi )}$.

Equação Quadrática[editar | editar código-fonte]

De forma geral, uma parábola é descrita por uma equação quadrática de coeficientes reais da forma:

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0}$

com ${\displaystyle b^{2}=ac}$ e ${\displaystyle a+c\neq 0}$. A presença do termo cruzado ${\displaystyle xy}$ (i.e., ${\displaystyle b\neq 0}$) indica que a parábola tem eixo de simetria transversal em relação aos eixos canônicos ${\displaystyle x,y}$.

Tal equação pode ser escrita na seguinte forma matricial^[6]:

${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}A\mathbf {x} +\mathbf {b} \mathbf {x} +f=0}$

onde ${\displaystyle \mathbf {x} =\left[{\begin{array}{l}x\\y\end{array}}\right]}$ é o vetor real bidimensional das incógnitas,

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ll}a&b\\b&c\end{array}}\right]}$

é uma matriz real simétrica de autovalores reais ${\displaystyle \lambda _{1}}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}}$, sendo exatamente um deles nulo,

${\displaystyle \mathbf {b} =\left[d~~e\right]}$

é o vetor real bidimensional, e ${\displaystyle f}$ é um escalar real.

Rotação[editar | editar código-fonte]

Uma parábola cujo eixo de simetria não é paralelo ao eixo das abscissas nem ao eixo das ordenadas pode ser descrita como uma rotação de uma parábola em uma posição padrão. Notemos que a matriz ${\displaystyle A}$ é ortogonalmente diagonalizável,^[6] i.e.:

${\displaystyle P^{T}AP=\left[{\begin{array}{ll}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{array}}\right]}$

onde ${\displaystyle P=\left[\mathbf {v} _{1}~~\mathbf {v} _{2}\right]}$ é a matriz ortogonal, cujas colunas são autovetores ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ associados aos autovalores ${\displaystyle \lambda _{1}}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}}$, respectivamente.

Fazendo a mudança de variável:

${\displaystyle \mathbf {x} =P\mathbf {y} ,\quad \mathbf {y} =\left[{\begin{array}{l}u\\v\end{array}}\right]}$,

podemos escrever a equação da parábola nas novas variáveis ${\displaystyle u,v}$ como:

${\displaystyle \mathbf {y} ^{T}\left(P^{T}AP\right)\mathbf {y} +\left(\mathbf {b} P\right)\mathbf {y} +f=0}$

a qual representa uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo ${\displaystyle u}$, dado pelo autovetor ${\displaystyle \mathbf {v_{1}} }$, ou ao eixo ${\displaystyle v}$, dado pelo autovetor ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$.

Translação[editar | editar código-fonte]

Uma parábola de vértice ${\displaystyle V(h,k)}$ pode ser vista como uma translação de uma parábola de vértice na origem. Ou seja, fazendo a mudança de variável:

${\displaystyle \mathbf {z} =\left[{\begin{array}{l}u'\\v'\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{l}u\\v\end{array}}\right]-P^{T}\left[{\begin{array}{l}h\\k\end{array}}\right]}$

obtemos a equação padrão da parábola escrita nas variáveis ${\displaystyle u',v'}$.

Propriedade Refletora[editar | editar código-fonte]

Para uma superfície parabólica que seja construída com material reflexivo, um feixe de partículas paralelas ao eixo de simetria é direcionado para o seu foco.^[7]

De fato, consideramos, sem perda de generalidade, a parábola ${\displaystyle x^{2}=4py}$ ilustrada na figura ao lado. Nela, ${\displaystyle F(0,p)}$ denota seu foco, ${\displaystyle A(0,0)}$ seu vértice e ${\displaystyle E(x,4py)}$ o ponto de incidência de um feixe de partículas paralelo ao eixo de simetria dessa parábola. A reta paralela ao eixo de simetria que contém a trajetória da onda tem interseção com o eixo das abscissas no ponto ${\displaystyle D(x,0)}$ e com a diretriz da parábola no ponto ${\displaystyle C(x,-p)}$. Observamos que o segmento ${\displaystyle FC}$ tem interseção com o eixo das abscissas no ponto ${\displaystyle B\left({\frac {x}{2}},0\right)}$, i.e. no ponto médio entre os pontos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle D}$. Por essa razão e mais o fato de que ${\displaystyle F}$ e ${\displaystyle C}$ são equidistantes do eixo das abscissas, vemos que ${\displaystyle BEF}$ e ${\displaystyle CEB}$ são triângulos congruentes. Notamos, agora, que a reta que passa pelos pontos ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle E}$ têm inclinação ${\displaystyle {\text{arc tg}}\left({\frac {|DE|}{|BD|}}\right)={\text{arc tg }}(8px)}$ e, portanto, é a reta tangente à parábola no ponto ${\displaystyle E}$, pois ${\displaystyle y'=8px}$ neste ponto. Assim, se ${\displaystyle \alpha }$ é o ângulo de incidência do feixe com a reta tangente no ponto ${\displaystyle E}$ (equivalentemente, com um elemento infinitesimal do comprimento do arco da parábola no mesmo ponto) , temos que o feixe é refletido pela parábola com o mesmo ângulo. Pela congruência dos triângulos ${\displaystyle BEF}$ e ${\displaystyle CEB}$, vemos que a onda refletida alcança o ponto ${\displaystyle F}$, i.e. o foco da parábola.

Aplicações práticas[editar | editar código-fonte]

Algumas aplicações dessa propriedade podem ser vistas no uso de refletores parabólicos, como para captação de som a grandes distâncias com um microfone parabólico^[8], que utiliza o refletor para coletar e focar ondas sonoras em um transdutor, conceito similar ao da antena parabólica. Esses microfones conseguem captar sons muitos distantes na direção em que é apontado e normalmente é utilizado para gravar sons da natureza e para espionagem.

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

• Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
• Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
• Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
• Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
• Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
• Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ver também[editar | editar código-fonte]

• Cone
• Lugar geométrico
• Movimento parabólico
• Paraboloide

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

O Commons possui imagens e outros ficheiros sobre Parábola

• MathWorld: Parabola (em inglês)
• Reginaldo J. Santos. Matrizes Vetores e Geometria Analítica
• Venturi, Jacir J. (2003). Cônicas e Quádricas (PDF) 5 ed. Curitiba: Unificado. 246 páginas. ISBN 8585132485 
• Vídeo 3D de um plano seccionando um cone e definindo a curva cônica parábola