Série geométrica – Wikipédia, a enciclopédia livre

A série geométrica é a série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma progressão geométrica:

\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}=1+r+r^{2}+r^{3}+\ldots

Esta série é convergente se e somente se $|r|<1$ e, neste caso, a soma vale:

\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}

Convergência[editar | editar código-fonte]

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

\sum _{n=N1}^{N2}r^{n}=r^{N1}{\frac {1-r^{N2-N1+1}}{1-r}}

\sum _{n=0}^{N}r^{n}={\frac {1-r^{N+1}}{1-r}}={\frac {1}{1-r}}-{\frac {r^{N+1}}{1-r}}

É fácil ver que se

|r|<1

então esta série é convergente e sua soma é dada por:

\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}

Por outro lado, se $|r|\geq 1$ , esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral.

De maneira geral, para qualquer série geométrica, cujo valor da Razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:

\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}={\frac {a}{1-r}}

Onde "a" é o termo inicial da série.

Podemos utilizar esta série para calcular algumas séries de Taylor:

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