Expresie algebrică

În matematică, o expresie algebrică este o expresie formată din constante numerice, variabile și operațiile algebrice de (adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la putere în care exponentul este un număr rațional).^[1] De exemplu, $3x^{2}-2xy+c$ este o expresie algebrică, un polinom în două nedeterminate (variabile) x și y. Deoarece operația de extragere a rădăcinii pătrate este identică cu ridicarea la puterea cu exponent fracționar 1/2,

{\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}

ea este considerată o operație algebrică.

Prin contrast, numerele transcendente ca $\pi$ și $e$ nu sunt numere algebrice, deoarece ele nu se obțin din constante întregi și operații algebrice. Uzual, $\pi$ este obținut dintr-o egalitate de mărimi geometrice, iar definirea lui $e$ necesită un număr infinit de operații algebrice necesare obținerii unui număr irațional similar numărului pi, care chiar obținut geometric, tot necesită un număr infinit de operații, geometrice în acest caz.

Într-o expresie algebrică pot apărea și variabile la exponent al unor puteri în diverse baze, frecvent cea cu baza numărul irațional $e$ și în logaritmi, cel mai frecvent logaritmul natural (cu aceași bază număr irațional ca funcția exponențială cea mai frecventă). Mai pot apărea și funcții trigonometrice. Prezența lor poate fi însă mascată, fapt evidențiat prin existența transformării de variabile Weierstrass a unei funcții raționale.

O expresie poate conține pe lângă numere propriu-zise și mărimi (fizice sau economice), care au in plus față de valoarea numerică și unități de măsură la care intervine analiză dimensională, exemple fiind expresiile ariei sau volumului diferitelor suprafețe sau corpuri. Extensiile algebrei obișnuite (algebra mulțimilor, algebra propozițiilor logice, etc) au și ele expresiile lor, numite expresii algebrice boolene.

O expresie rațională este o expresie care poate fi exprimată printr-o fracție rațională folosind proprietățile operațiilor aritmetice (comutativitatea și asociativitatea operațiilor de adunare și înmulțire, distributivitatea și regulile pentru operațiile cu fracții). Cu alte cuvinte, o expresie rațională este o expresie care poate fi formată din variabile și constante utilizând doar cele patru operații ale aritmeticii. Prin urmare,

{\frac {3x^{2}-2xy+c}{y^{3}-1}}

este o expresie rațională, în timp ce

{\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}

nu este.

O ecuație rațională este o ecuație în care două fracții raționale (sau expresii raționale) ale

{\frac {P(x)}{Q(x)}}

sunt egale între ele. Aceste expresii respectă aceleași reguli ca fracțiile. Ecuațiile pot fi rezolvate prin amplificare, similar cu tratarea problemelor care se rezolvă prin regula de trei simplă. Împărțirea cu zero nu este definită, astfel încât o soluție bazată pe împărțirea formală la zero este respinsă.

Expresiile algebrice pot fi atașate unor forme geometrice, contribuind la extinderea studiului proprietăților geometrice prin sectorul geometriei numit geometrie algebrică.

Terminologie[modificare | modificare sursă]

Algebra are terminologie proprie pentru a descrie părțile unei expresii (v. figura).

Rădăcinile unei expresii polinomiale[modificare | modificare sursă]

Rădăcinile unei expresii polinomiale de grad n, sau, echivalent, soluțiile unei ecuații polinomiale, pot fi întotdeauna scrise ca expresii algebrice dacă n < 5 (vezi ecuație de gradul al doilea, ecuație de gradul al treilea și ecuație de gradul al patrulea). O astfel de soluție a unei ecuații se numește soluție algebrică. Teorema Abel–Ruffini afirmă că doar unele ecuații de grad mai mare ca 4 au soluții algebrice.

Convenții[modificare | modificare sursă]

Variabile[modificare | modificare sursă]

Prin convenție, literele de la începutul alfabetului (de exemplu $a,b,c$ ) sunt utilizate de obicei pentru a reprezenta constante, iar cele dinspre sfârșitul alfabetului (de exemplu $x,y$ și $z$ ) sunt utilizate pentru a reprezenta variabile.^[2] Uzual acestea sunt scrise cu italice.^[3]

Exponenți[modificare | modificare sursă]

Prin convenție, termenii la puterea cea mai mare sunt scriși la stânga, de exemplu, $x^{2}$ este scris la stânga lui $x$ . Dacă coeficientul este 1, de obicei este omis (ex. $1x^{2}$ este scris $x^{2}$ ).^[4] La fel, dacă exponentul este 1, este omis (ex. $3x^{1}$ este scris $3x$ ),^[5] iar când exponentul este zero, resultatul este întotdeauna 1 (ex. $3x^{0}$ este scris $3$ , deoarece $x^{0}$ este $1$ ).^[6]

Transformarea expresiilor algebrice[modificare | modificare sursă]

Expresiile algebrice pot fi transformate folosind proprietăți ale operațiilor. Succesiuni ale acestora pot apărea în demonstrațiile necesare obținerii unor teoreme, de exemplu în geometrie, când se obține teorema cosinusului din teorema lui Pitagora sau ulterior teorema lui Stewart din teorema cosinusului.

Folosirea expresiilor algebrice în demonstrarea unor proprietăți geometrice de incidență cum ar fi relația între intre două drepte sau intre un punct și un segment de dreaptă se face de exemplu prin asocierea unei valori numerice (0 sau 180 grade) mărimii unghi dintre două drepte corespunzătoare dreptelor paralele. Această transformare permite abordarea predominant algebrică a geometriei, prin ramura numită geometrie analitică, dezvoltată de Descartes.

Poziția unui punct pe (un segment de) dreaptă se indică prin lungimile segmentelor formate între punctul considerat și capetele segmentului dat. Similar poziția unui punct într-un plan se poate raporta la un sistem de referință numit sistem de coordonate carteziene formate din două drepte perpendiculare la care se alege punctul de referință zero (originea) exact la intersecția dreptelor perpendiculare. Din punctul zero se construiește un segment (numit vector de poziție al punctului dat) până la punctul de interes în demonstrație. Acestuia i se poate asocia un număr complex. Lungimea acestei segment se obține cu teorema lui Pitagora din lungimea pe axa orizontală și cea pe axa verticală și constituie modulul vectorului.

Operațiile de derivare și integrare nedefinită[modificare | modificare sursă]

Expresiile algebrice pot fi transformate prin aplicarea operațiilor unare (operatorilor) de derivare și integrare nedefinită.

Note[modificare | modificare sursă]

^ en Morris, Christopher G. (1992). Academic Press dictionary of science and technology. Gulf Professional Publishing. p. 74. algebraic expression over a field.
^ en William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN: 1615302190, 9781615302192, page 71
^ en James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN: 0387985425, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]
^ en David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN: 0470185597, 9780470185599, 304 pages, page 72
^ en John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN: 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 31
^ en Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN: 0538733543, 9780538733540, 803 pages, page 222