Monom

În matematică, un monom este, practic, un polinom care are un singur termen. Pot fi întâlnite două definiții ale unui monom:

1. Un monom este un produs de puteri ale variabilelor cu exponenți întregi nenegativi, sau, cu alte cuvinte, un produs de variabile, eventual cu repetări. De exemplu, ${\displaystyle x^{2}yz^{3}=xxyzzz}$ este un monom. Constanta ${\displaystyle 1}$ este un monom, fiind egală cu un produs vid cu ${\displaystyle x^{0},}$ unde ${\displaystyle x}$ este o variabilă oarecare. Dacă există o singură variabilă, ${\displaystyle x,}$ atunci monomul este ${\displaystyle 1}$ sau o putere ${\displaystyle x^{n}}$ a lui ${\displaystyle x,}$ cu ${\displaystyle n}$ un întreg pozitiv. Dacă sunt mai multe variabile, de exemplu ${\displaystyle x,y,z,}$ atunci fiecare are un exponent, astfel că monomul este de forma ${\displaystyle x^{a}y^{b}z^{c}}$ cu ${\displaystyle a,b,c}$ întregi nenegativi (de notat că orice exponent ${\displaystyle 0}$ transformă factorul respectiv în ${\displaystyle 1}$).

1. Un monom este un monom în primul sens înmulțit cu o constantă diferită de zero, numită coeficientul monomului.^[1] Un monom în primul sens este un caz special al unui monom din al doilea sens, unde coeficientul este ${\displaystyle 1}$. De exemplu, în această interpretare ${\displaystyle -7x^{5}}$ și ${\displaystyle (3-4i)x^{4}yz^{13}}$ sunt monoame (în al doilea exemplu, variabilele sunt ${\displaystyle x,y,z,}$ iar coeficientul este un număr complex).

În contextul polinoamelor Laurent și seriilor Laurent^⁠(d), exponenții dintr-un monom pot fi negativi, iar în contextul seriilor Puiseux^⁠(d) exponenții pot fi numere raționale.

Compararea celor două definiții[modificare | modificare sursă]

Cu oricare dintre definiții, mulțimea monoamelor este o submulțime a polinoamelor care este o mulțime închisă față de înmulțire.

Ambele definiții ale acestei noțiuni pot fi găsite și, în multe cazuri, deosebirea dintre ele este ignorată, a se vedea, de exemplu, exemple pentru prima^[2] și a doua.^[3] În discuțiile neformale, deosebirea este rareori importantă, iar tendința este spre al doilea sens, mai larg. Totuși, atunci când se studiază structura polinoamelor adesea este nevoie de o noțiune având primul sens. Acesta este, de exemplu, cazul când se ia în considerare o bază monomială^⁠(d) a inelului polinoamelor^⁠(d), sau o ordine monomială^⁠(d) a acestei baze. Un argument în favoarea primului sens este și că nu este disponibilă o altă noțiune evidentă pentru a desemna aceste valori, în timp ce noțiunea de polinom coincide fără echivoc cu al doilea sens al monomului.

În continuare, articolul se bazează pe primul sens al monomului.

Bază monomială[modificare | modificare sursă]

Faptul cel mai evident legat de prima definiție a monoamelor este că orice polinom este o combinație liniară^⁠(d) a acestora, deci formează o bază a spațiului vectorial al polinoamelor, numită baza monomială — utilizată constant implicit în matematică.

Număr[modificare | modificare sursă]

Numărul monoamelor de grad ${\displaystyle d}$ în ${\displaystyle n}$ variabile este numărul combinațiilor a ${\displaystyle d}$ elemente alese dintre variabilele ${\displaystyle n}$ (o variabilă poate fi aleasă de mai multe ori, dar ordinea nu contează), care este dată de coeficienții binomiali ${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)}$:

${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{\overline {n-1}}.}$

Această formă este deosebit de utilă când se fixează numărul de variabile și se lasă gradul să varieze. Din aceste expresii se vede că pentru n fix, numărul de monoame de grad d este o expresie polinomială în ${\displaystyle d}$ de gradul ${\displaystyle n-1}$ cu coeficientul ${\textstyle {\frac {1}{(n-1)!}}}$.

De exemplu, numărul monoamelor în trei variabile (${\displaystyle n=3}$) de gradul d este ${\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)^{\overline {2}}={\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)}$; aceste numere formează șirul 1, 3, 6, 10, 15, ... al numerelor triunghiulare.

Seriile Hilbert^⁠(d) sunt un mod compact de a exprima numărul de monoame de un anumit grad: numărul de monoame de grad ${\displaystyle d}$ în ${\displaystyle n}$ variabile este coeficientul de gradul ${\displaystyle d}$ din dezvoltarea seriilor formale

${\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{n}}}.}$

Numărul monoamelor de grad cel mult d în n variabile este ${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$. Acest lucru rezultă din corespondența unu-la-unu dintre monoamele de gradul ${\displaystyle d}$ în ${\displaystyle n+1}$ variabile și monoamele de gradul cel mult ${\displaystyle d}$ în ${\displaystyle n}$ variabile, care constă în înlocuirea cu 1 a variabilei suplimentare.

Notație[modificare | modificare sursă]

Notația monoamelor este necesară frecvent în domenii precum ecuațiile cu derivate parțiale. Dacă variabilele folosite formează o familie indexată ca ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$, ..., atunci se poate folosi notația cu indici multipli^⁠(d). Pentru o exprimare compactă, pentru ${\displaystyle \alpha =(a,b,c)}$ se poate defini

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{a}\,x_{2}^{b}\,x_{3}^{c}.}$

Grad[modificare | modificare sursă]

Gradul unui monom este definit drept suma tuturor exponenților variabilelor, inclusiv exponenții impliciți ai lui 1 pentru variabilele care apar fără exponent; de exemplu, în exemplul secțiunii anterioare, gradul este ${\displaystyle a+b+c}$. Gradul lui ${\displaystyle xyz^{2}}$ este 1+1+2=4. Gradul unei constante diferite de zero este 0. De exemplu, gradul lui −7 este 0.

Uneori gradul unui monom este numit ordin, mai ales în contextul seriilor. Se mai numește grad total atunci când este necesar de a-l deosebi de gradul uneia dintre variabile.

Gradul unui monom este fundamental pentru teoria polinoamelor în una sau mai multe variabile. Explicit, este utilizat pentru a defini gradul unui polinom și noțiunea de polinom omogen, precum și pentru ordonările monomiale utilizate în formularea și calculul bazelor Gröbner^⁠(d). Implicit, este folosit în gruparea termenilor unei serii Taylor în mai multe variabile.

Geometrie[modificare | modificare sursă]

În geometria algebrică varietățile definite prin ecuații monomiale ${\displaystyle x^{\alpha }=0}$ pentru un anumit set de α au proprietăți speciale de omogenitate. Acest lucru poate fi formulat în limbajul grupurilor algebrice în termenii existenței unei acțiuni de grup^⁠(d) al unui tor algebric^⁠(d) (echivalent cu un grup multiplicativ de matrici diagonale). Acest domeniu este studiat sub numele de varietăți torice^⁠(d).

Note[modificare | modificare sursă]

Portal Matematică