В алгебре вложенным радикалом называется радикал, содержащийся в другом радикале. Например
или более сложный пример
Значения всех вложенных радикалов называются выразимыми в радикалах.
Некоторые вложенные радикалы могут быть упрощены. Например:
В общем случае упрощение является сложной проблемой, если оно вообще возможно. Следующая формула позволяет произвести упрощение в случае, когда рационально:
Например,
В частности, для комплексных чисел ():
- где
В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например выражение
равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2:
- ;
- ;
- .
Очевидно, что не может являться значением исходного радикала.
- Для квадратного корня:
- ;
- Для корня степени
- где является решением уравнения .
- Формула Рамануджана:
- Золотое сечение:
- Пластическое число:
- Число Пи: