Стереографическая проекция трёх координатных направлений 3-сферы на трёхмерное пространство: параллелей , меридианов и гипермеридианов . В исходном пространстве эти линии являются окружностями и образуют прямоугольную сетку на 3-сфере . Стереографическая проекция — конформное отображение , поэтому их образы также являются окружностями или прямыми и ортогональны друг другу. Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства Гиперсфе́ра (от др.-греч. ὑπερ- «сверх- » + σφαῖρα «шар») — гиперповерхность в n {\displaystyle n} -мерном евклидовом пространстве , образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы .
при n = 1 {\displaystyle n=1} гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра ; при n = 2 {\displaystyle n=2} она представляет собой окружность ; при n = 3 {\displaystyle n=3} гиперсфера является сферой . при n = 4 {\displaystyle n=4} гиперсфера является 3-сферой . при n = 5 {\displaystyle n=5} гиперсфера является 4-сферой . …
при n = 8 {\displaystyle n=8} гиперсфера является 7-сферой . 7-сфера примечательна тем, что эта размерность первая, в которой существуют экзотические сферы , то есть многообразия, гомеоморфные стандартной 7-сфере, но не диффеоморфные[1] . Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы . Гиперсфера является ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -мерным подмногообразием в n {\displaystyle n} -мерном пространстве , все нормали к которому пересекаются в её центре.
Гиперсфера радиуса R {\displaystyle R} с центром в точке a = { a 1 , a 2 , … a n } {\displaystyle a=\left\{a_{1},a_{2},\dots a_{n}\right\}} задаётся как геометрическое место точек , удовлетворяющих условию:
( x 1 − a 1 ) 2 + ( x 2 − a 2 ) 2 + ⋯ + ( x n − a n ) 2 = R 2 {\displaystyle (x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-a_{n})^{2}=R^{2}} Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:
x = ρ ⋅ cos α {\displaystyle x=\rho \cdot \cos \alpha } y = ρ ⋅ sin α {\displaystyle y=\rho \cdot \sin \alpha } а сферические координаты так:
x = ρ ⋅ cos α ⋅ cos β {\displaystyle x=\rho \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta } y = ρ ⋅ sin α ⋅ cos β {\displaystyle y=\rho \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta } z = ρ ⋅ sin β {\displaystyle z=\rho \cdot \sin \beta } n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат :
x 1 = ρ ⋅ cos α 1 ⋅ cos α 2 ⋅ … ⋅ cos α n − 1 {\displaystyle x_{1}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1}} x 2 = ρ ⋅ sin α 1 ⋅ cos α 2 ⋅ … ⋅ cos α n − 1 {\displaystyle x_{2}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1}} x 3 = ρ ⋅ sin α 2 ⋅ cos α 3 ⋅ … ⋅ cos α n − 1 {\displaystyle x_{3}=\rho \cdot \sin \alpha _{2}\cdot \cos \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1}} … {\displaystyle \ldots } x n = ρ ⋅ sin α n − 1 {\displaystyle x_{n}=\rho \cdot \sin \alpha _{n-1}} где α 2 , α 3 , … , α n − 1 ∈ [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} и α 1 ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \alpha _{1}\in [0,2\pi )} .
Якобиан этого преобразования равен
J = ρ n − 1 cos α 2 ⋅ cos 2 α 3 ⋅ … ⋅ cos n − 2 α n − 1 {\displaystyle J=\rho ^{n-1}\cos \,\alpha _{2}\cdot \cos ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos ^{n-2}\,\alpha _{n-1}} В другом варианте,
x 1 = ρ ⋅ sin α 1 ⋅ sin α 2 ⋅ … ⋅ sin α n − 1 {\displaystyle x_{1}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1}} x 2 = ρ ⋅ cos α 1 ⋅ sin α 2 ⋅ … ⋅ sin α n − 1 {\displaystyle x_{2}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1}} x 3 = ρ ⋅ cos α 2 ⋅ sin α 3 ⋅ … ⋅ sin α n − 1 {\displaystyle x_{3}=\rho \cdot \cos \alpha _{2}\cdot \sin \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1}} … {\displaystyle \ldots } x n = ρ ⋅ cos α n − 1 {\displaystyle x_{n}=\rho \cdot \cos \alpha _{n-1}} где α 2 , α 3 , … , α n − 1 ∈ [ 0 , π ] {\displaystyle \alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\in [0,\pi ]} и α 1 ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \alpha _{1}\in [0,2\pi )} .
Якобиан в такой форме равен
J = ρ n − 1 sin α 2 ⋅ sin 2 α 3 ⋅ … ⋅ sin n − 2 α n − 1 {\displaystyle J=\rho ^{n-1}\sin \,\alpha _{2}\cdot \sin ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin ^{n-2}\,\alpha _{n-1}} Площадь поверхности гиперсферы в пространстве размерности x единичного радиуса в зависимости от x. Объём гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x. В n {\displaystyle n} -мерном евклидовом пространстве для гиперсферы размерности n {\displaystyle n} её площадь поверхности S n − 1 {\displaystyle S_{n-1}} и объём V n {\displaystyle V_{n}} , ограниченный ею (объём n-мерного шара ), можно рассчитать по формулам[2] [3] :
S n − 1 = n C n R n − 1 {\displaystyle S_{n-1}=nC_{n}R^{n-1}} V n = C n R n {\displaystyle V_{n}=C_{n}R^{n}} где
C n = π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) {\displaystyle C_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)}}} а Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} — гамма-функция . Этому выражению можно придать другой вид:
C 2 k = π k k ! {\displaystyle C_{2k}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}} C 2 k + 1 = 2 k + 1 π k ( 2 k + 1 ) ! ! {\displaystyle C_{2k+1}={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}} Здесь n ! ! {\displaystyle n!!} — двойной факториал .
Так как
V n / S n − 1 = R / n {\displaystyle V_{n}/S_{n-1}=R/n} S n + 1 / V n = 2 π R {\displaystyle S_{n+1}/V_{n}=2\pi R} то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению
V n = 2 π R 2 n V n − 2 {\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}} а площади их поверхностей соотносятся как
S n = 2 π R 2 n − 1 S n − 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n-1}}S_{n-2}} Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для S 6 {\displaystyle S_{6}} и V 5 {\displaystyle V_{5}} , соответственно.
В строке «размерность» таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится. Для n {\displaystyle n} -мерного шара размерность его «объёма» также равна n {\displaystyle n} , а размерность его «площади» — n − 1 {\displaystyle n-1} .
Отношение объёма n {\displaystyle n} -мерного шара V n = C n R n {\displaystyle V_{n}=C_{n}R^{n}} к объёму описанного вокруг него n {\displaystyle n} -куба 2 n R n {\displaystyle 2^{n}R^{n}} быстро уменьшается с ростом n {\displaystyle n} , быстрее, чем 2 − n {\displaystyle 2^{-n}} .
В этом разделе под сферой S n {\displaystyle S_{n}} будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром B n {\displaystyle B_{n}} — n-мерный гипершар , то есть S n ↪ R n + 1 {\displaystyle S_{n}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n+1}} , B n ↪ R n {\displaystyle B_{n}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n}} .
Сфера S n {\displaystyle S_{n}} гомеоморфна факторизации шара B n {\displaystyle B_{n}} по его границе . Шар B n {\displaystyle B_{n}} гомеоморфен факторизации B n ≃ ( S n − 1 × [ 0 , 1 ] ) / ( S n − 1 × { 1 } ) {\displaystyle B_{n}\simeq (S_{n-1}\times [0,1])/(S_{n-1}\times \{1\})} . Сфера является клеточным пространством . Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных B 0 = p t {\displaystyle B_{0}=\mathrm {pt} } и B n {\displaystyle B_{n}} . Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая S n {\displaystyle S_{n}} вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные B n {\displaystyle B_{n}} , и сферу S n − 1 {\displaystyle S_{n-1}} , являющуюся их общей границей. ↑ A001676 - OEIS (неопр.) . Дата обращения: 1 декабря 2022. Архивировано 1 декабря 2022 года. ↑ Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — М. : Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы ↑ Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса Пространства по размерности Политопы и фигуры Виды пространств Другие концепции размерностей