ОПА БАЛЯ Формулы Виета[править | править код]

[править | править код]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 10 августа 2023 года; проверки требуют 15 правок. Перейти к навигацииПерейти к поиску Эта статья — о формулах, связывающих коэффициенты многочлена и его корни. О формуле представления числа π см. Формула Виета для приближения числа π.

Формулы Виета — формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Эти тождества неявно присутствуют в работах Франсуа Виета. Однако Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем виде.

Содержание[править | править код]

• 1Формулировка
• 2Доказательство
• 3Примеры
  • 3.1Квадратное уравнение
  • 3.2Кубическое уравнение
• 4Вариации и обобщения
• 5См. также
• 6Примечания
• 7Литература

Формулировка[править | править код][править | править код]

Если  — корни многочлена

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз, при этом общее количество корней с учётом кратных равно степени многочлена, иначе формулы неприменимы), то коэффициенты  выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

Иначе говоря,  равно сумме всех возможных произведений из  корней.

Для применимости формул Виета обязательно наличие полного разложения многочлена, то есть количество корней с учётом кратности должно равняться степени многочлена. Это имеет место, в частности, всегда над полем комплексных чисел.

Следствие: из последней формулы Виета следует, что если все корни многочлена целочисленные, а общее их количество с учётом кратности равно степени многочлена, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Если старший коэффициент многочлена не равен единице:

то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на  (это не влияет на значения корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему:

Подобная методика применима не только в случае, когда все корни целые. Например, при умножении любого многочлена только с целыми корнями на многочлен  получается многочлен с подобным свойством, позволяющим выделить целые корни этим же методом, понизив в результате степень и дойдя до полного разложения. Также алгоритм имеет полезное расширение для поиска рациональных корней: для этого в качестве тестируемых кандидатов на корни рассматриваются дроби, в которых числитель является делителем свободного члена, а знаменатель — делителем старшего коэффициента.

Доказательство[править | править код][править | править код]

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем формулы Виета.