Равнобочная гипербола — простейший пример дробно-линейной функции Дро́бно-лине́йная фу́нкция — это числовая функция , которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются линейные функции .
Дробно-линейная функция, отображающая в общем случае n {\displaystyle n} -мерное числовое пространство в одномерное числовое, представляет собой важный частный случай:
Дробно-линейная функция — это числовая функция вида
U n → U : w = L ( u 1 , u 2 , … , u n ) = a 1 u 1 + a 2 u 2 + ⋯ + a n u n + b c 1 u 1 + c 2 u 2 + ⋯ + c n u n + d , {\displaystyle \mathbb {U} ^{n}\to \mathbb {U} :w=L(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})={\frac {a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots +a_{n}u_{n}+b}{c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+\cdots +c_{n}u_{n}+d}},} где U {\displaystyle \mathbb {U} } — комплексные ( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ) или вещественные ( R {\displaystyle \mathbb {R} } ) числа, u 1 , u 2 , … , u n {\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}} — соответственно комплексные или вещественные переменные, a 1 , a 2 , … , a n , {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},} c 1 , c 2 , … , c n , {\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},} b , d {\displaystyle b,d} — соответственно комплексные или вещественные коэффициенты,
| c 1 | + | c 2 | + ⋯ + | c n | + | d | > 0 {\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0} [ 1] . Возможно обобщение на кватернионы [ 2] .
Вырожденные случаи[ 1] :
| c 1 | = | c 2 | = ⋯ = | c n | = 0 , {\displaystyle |c_{1}|=|c_{2}|=\dots =|c_{n}|=0,} то дробно-линейная функция становится целой линейной функций ; ( a 1 a 2 … a n b c 1 c 2 … c n d ) {\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\end{array}}\right)} равен единице, то дробно-линейная функция вырождается в постоянную . У собственно (невырожденной) дробно-линейной функции[ 1] :
| c 1 | + | c 2 | + ⋯ + | c n | > 0 ; {\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|>0;} равен двум ранг матрицы ( a 1 a 2 … a n b c 1 c 2 … c n d ) . {\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\end{array}}\right).} Вещественная дробно-линейная функция — это числовая функция вида
R n → R : y = L ( x 1 , x 2 , … , x n ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n + b c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n + d , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :y=L(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}+d}},} где R {\displaystyle \mathbb {R} } — вещественные числа, x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} — вещественные переменные, a 1 , a 2 , … , a n , {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},} c 1 , c 2 , … , c n , {\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},} b , d {\displaystyle b,d} — вещественные коэффициенты,
| c 1 | + | c 2 | + ⋯ + | c n | + | d | > 0 {\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0} [ 1] . Равнобочная гипербола как вещественная дробно-линейная функция 2 x − 1 x + 2 {\displaystyle {\frac {2x-1}{x+2}}} с асимптотами x = − 2 / 1 = − 2 {\displaystyle x=-2/1=-2} и y = 2 / 1 = 2 {\displaystyle y=2/1=2} , a d − b c = 5 > 0 {\displaystyle ad-bc=5>0} В простейшем случае n = 1 {\displaystyle n=1} и действительных
x 1 = x , {\displaystyle x_{1}=x,} a 1 = a , {\displaystyle a_{1}=a,} b , {\displaystyle b,} c 1 = c , {\displaystyle c_{1}=c,} d {\displaystyle d} график дробно-линейной функции
y = a x + b c x + d {\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}} — равнобочная гипербола с асимптотами
x = − d / c {\displaystyle x=-d/c} и
y = a / c , {\displaystyle y=a/c,} параллельными осям координат[ 1] .
Пусть дробно-линейная функция одного переменного
y = a x + b c x + d {\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}} несократима, то есть a d − b c ≠ 0 {\displaystyle ad-bc\neq 0} , и не сводится к целой линейной функции, то есть c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} . Выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при x {\displaystyle x} [ 3] :
y = a c x + b c x + d c = a c ( x + d c ) + ( b c − a d c 2 ) x + d c = {\displaystyle y={\frac {\displaystyle {\frac {a}{c}}x+{\frac {b}{c}}}{\displaystyle x+{\frac {d}{c}}}}={\frac {\displaystyle {\frac {a}{c}}\left(x+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c^{2}}}\right)}{\displaystyle x+{\frac {d}{c}}}}=} = a c − a d − b c c 2 ( x + d c ) . {\displaystyle ={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}\left(\displaystyle x+{\frac {d}{c}}\right)}}.} Теперь ясно, что график функции a x + b c x + d {\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}} получается из графика 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} следующими элементарными преобразованиями:
растяжением в | a d − b c c 2 | {\displaystyle \left|{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\right|} раз по оси O y {\displaystyle Oy} , причём в случае a d − b c > 0 {\displaystyle ad-bc>0} с отражением относительно оси O x {\displaystyle Ox} ; перенесением параллельно оси O x {\displaystyle Ox} на − d c {\displaystyle -{\frac {d}{c}}} ; перенесением параллельно оси O y {\displaystyle Oy} на a c {\displaystyle {\frac {a}{c}}} . Таким образом, дробно-линейная функция одного переменного a x + b c x + d {\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}} — это обыкновенная гипербола второго порядка, прямые x = − d c {\displaystyle x=-{\frac {d}{c}}} и y = a c {\displaystyle y={\frac {a}{c}}} — асимптоты гиперболы, взаимно перпендикулярные и параллельные осям координат, а точка пересечения асимптот ( − d c , a c ) , {\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}\right),} не принадлежащая кривой, — её центр[ 3] .
Также очевидно, что дробно-линейная функция одного переменного a x + b c x + d {\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}} [ 3] :
«теряет смысл», то есть не имеет никакого значения, перестаёт «существовать» в точке x = − d c {\displaystyle x=-{\frac {d}{c}}} ; на интервалах ( − ∞ , − d c ) {\displaystyle \left(-\infty ,-{\frac {d}{c}}\right)} и ( − d c , + ∞ ) {\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},+\infty \right)} функция везде возрастает при a d − b c > 0 {\displaystyle ad-bc>0} и везде убывает при a d − b c < 0 {\displaystyle ad-bc<0} ; при неограниченном увеличении | x | {\displaystyle |x|} значения функции неограниченно приближаются к a c {\displaystyle {\frac {a}{c}}} , что видно также из преобразования a x + b c x + d = a + b x c + d x . {\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {\displaystyle a+{\frac {b}{x}}}{\displaystyle c+{\frac {d}{x}}}}.} Производная [ 4] :
( a c − a d − b c c 2 ( x + d c ) ) ′ = a d − b c c 2 ( x + d c ) 2 . {\displaystyle {\Biggl (}{\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}\left(\displaystyle x+{\frac {d}{c}}\right)}}{\Biggr )}'={\frac {ad-bc}{c^{2}\left(\displaystyle x+{\frac {d}{c}}\right)^{2}}}.} Неопределённый интеграл :
∫ ( a c − a d − b c c 2 ( x + d c ) ) d x = a c x − a d − b c c 2 ln | x + d c | + C . {\displaystyle \int {\Biggl (}{\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}\left(\displaystyle x+{\frac {d}{c}}\right)}}{\Biggr )}dx={\frac {a}{c}}x-{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\ln \left|x+{\frac {d}{c}}\right|+C.} Сначала приведём функцию
y = a c − a d − b c c 2 ( x + d c ) {\displaystyle y={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{\displaystyle c^{2}\left(x+{\frac {d}{c}}\right)}}} преобразованиями координат
x ′ = x + d c , {\displaystyle x'=x+{\frac {d}{c}},} y ′ = y − a c , {\displaystyle y'=y-{\frac {a}{c}},} m = − a d − b c c 2 {\displaystyle m=-{\frac {ad-bc}{c^{2}}}} к простейшему виду
y ′ = m x ′ {\displaystyle y'={\frac {m}{x'}}} , который называется уравнением обратной пропорциональности величин x ′ {\displaystyle x'} и y ′ {\displaystyle y'} [ 5] .
Теперь повернём координатные оси на угол 45 ∘ , {\displaystyle 45^{\circ },} сделав замену координат
x ′ = x ″ cos ( 45 ∘ ) − y ″ sin ( 45 ∘ ) = x ″ − y ″ 2 , {\displaystyle x'=x''\cos(45^{\circ })-y''\sin(45^{\circ })={\frac {x''-y''}{\sqrt {2}}},} y ′ = x ″ sin ( 45 ∘ ) + y ″ cos ( 45 ∘ ) = x ″ + y ″ 2 , {\displaystyle y'=x''\sin(45^{\circ })+y''\cos(45^{\circ })={\frac {x''+y''}{\sqrt {2}}},} получим в новых координатах[ 5] :
x ′ y ′ = m , {\displaystyle x'y'=m,} x ″ − y ″ 2 x ″ + y ″ 2 = m , {\displaystyle {\frac {x''-y''}{\sqrt {2}}}{\frac {x''+y''}{\sqrt {2}}}=m,} x ″ 2 2 m − y ″ 2 2 m = 1. {\displaystyle {\frac {x''^{2}}{2m}}-{\frac {y''^{2}}{2m}}=1.} Последнее уравнение есть каноническое уравнение равносторонней гиперболы с полуосями a = b = 2 | m | . {\displaystyle a=b={\sqrt {2|m|}}.} [ 5]
Гиперболический параболоид В случае n = 2 {\displaystyle n=2} и действительных x 1 , {\displaystyle x_{1},} x 2 , {\displaystyle x_{2},} a 1 , {\displaystyle a_{1},} a 2 , {\displaystyle a_{2},} b , {\displaystyle b,} c 1 , {\displaystyle c_{1},} c 2 , {\displaystyle c_{2},} d {\displaystyle d} график дробно-линейной функции
y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + b c 1 x 1 + c 2 x 2 + d {\displaystyle y={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+d}}} представляет собой гиперболический параболоид [ 1] .
Комплексная дробно-линейная функция — числовая функция вида
C n → C : w = L ( z 1 , z 2 , … , z n ) = a 1 z 1 + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n + b c 1 z 1 + c 2 z 2 + ⋯ + c n z n + d , {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},} где C {\displaystyle \mathbb {C} } — комплексные числа, z 1 , z 2 , … , z n {\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}} — комплексные переменные, a 1 , a 2 , … , a n , {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},} c 1 , c 2 , … , c n , {\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},} b , d {\displaystyle b,d} — комплексные коэффициенты,
| c 1 | + | c 2 | + ⋯ + | c n | + | d | > 0 {\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0} [ 1] . При n = 1 {\displaystyle n=1} комплексная дробно-линейная функция
C → C : w = L ( z ) = a z + b c z + d {\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}} — аналитическая функция одной комплексной переменной всюду в расширенной комплексной плоскости C ^ = C ∪ { ∞ } {\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}} , за исключением точки z = − d / c {\displaystyle z=-d/c} , в которой комплексная дробно-линейная функция имеет простой полюс [ 1] .
При n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} комплексная дробно-линейная функция
C n → C : w = L ( z 1 , z 2 , … , z n ) = a 1 z 1 + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n + b c 1 z 1 + c 2 z 2 + ⋯ + c n z n + d , {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},} — мероморфная функция в пространстве C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} комплексных переменных z 1 , z 2 , … , z n {\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}} , имеющая полярное множество
{ z ∈ C n ; c 1 z 1 + c 2 z 2 + ⋯ + c n z n + d = 0 } {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ^{n};c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d=0\}} [ 1] . ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д. Дробно-линейная функция, 1979 . ↑ Alan F. Beardon. The geometry of discrete groups, 1983 , p. 56. ↑ 1 2 3 Гончаров В. Л. Элементарные функции действительного переменного, 1952 , с. 56—57. ↑ Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988 , § 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 137. ↑ 1 2 3 Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии, 2005 , 119, с. 120. Гончаров В. Л. Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции // Энциклопедия элементарной математики . Книга третья. Функции и пределы (основы анализа) / Под ред. П. С. Александрова , А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина . М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 559 с., ил. С. 11—139. Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д. Дробно-линейная функция // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 384. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. 13-е изд., стереот. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 238 с., ил. ISBN 5-9221-0252-4 . Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: Высш. шк., 1988. 167 с., ил. ISBN 5-06-003145-6 . Alan F. Beardon. The geometry of discrete groups. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1983. 337 p., 93 ill.