Гомотетия — Википедия

Гомоте́тия (от др.-греч. ὁμός «одинаковый» + θετος «расположенный») — преобразование плоскости (или 3-мерного пространства), заданное центром O и коэффициентом ${\displaystyle k\neq 0}$, переводящее каждую точку ${\displaystyle X}$ в точку ${\displaystyle X'}$ такую, что ${\displaystyle {\overrightarrow {OX'}}=k{\overrightarrow {OX}}}$. При этом центр остаётся на месте. Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через ${\displaystyle H_{O}^{k}}$.

Свойства[править | править код]

• Является частным случаем преобразования подобия: в общем случае при преобразовании подобия все векторы по определению просто пропорционально изменяют свою длину, а при гомотетии векторы остаются коллинеарны самим себе, какими они стали после преобразования. Поэтому вместо «коэффициент гомотетии ${\displaystyle k}$» можно говорить «коэффициент подобия ${\displaystyle k}$».
• Если коэффициент гомотетии равен 1, то гомотетия является тождественным преобразованием: образ каждой точки совпадает с ней самой.
• Если коэффициент гомотетии равен −1, то гомотетия является центральной симметрией.
• Если на рисунке выше стороны подобных многоугольников относятся как ${\displaystyle A'B'/AB=B'C'/BC=k}$, то их площади будут относиться как ${\displaystyle k^{2}}$ (на плоскости и 3-мерном пространстве это утверждение представляет собой закон квадрата — куба).
• Композиция гомотетий с коэффициентами ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$, произведение которых не равно единице, — это гомотетия с коэффициентом ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$, центр которой лежит на одной прямой с центрами двух данных гомотетий.

Вариации и обобщения[править | править код]

• Поворотной гомотетией называют композицию гомотетии и поворота, имеющих общий центр. Порядок, в каком берётся композиция, несущественен, так как ${\displaystyle R_{O}^{\varphi }\circ H_{O}^{k}=H_{O}^{k}\circ R_{O}^{\varphi }}$. Коэффициент поворотной гомотетии можно считать положительным, так как ${\displaystyle R_{O}^{180^{\circ }}\circ H_{O}^{k}=H_{O}^{-k}}$.

См. также[править | править код]

• Аффинное преобразование
• Коллинеарность
• Непрерывное отображение
• Отношение направленных отрезков
• Подобие
• Гипотеза Хадвигера (комбинаторная геометрия)
• Лемма Архимеда
• Теорема Монжа

Ссылки[править | править код]

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (16 мая 2021)