Спонтанное нарушение симметрии — Википедия

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана для e− e+ аннигиляции с образованием пары кварков qq и глюона g
История квантовой теории поля
Основы Теория поля Электромагнитное взаимодействие Слабое взаимодействие Сильное взаимодействие Квантовая механика СТО ОТО Калибровочная инвариантность
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симмметрия P-симметрия T-симметрия Трансляционная симметрия Временная трансляционная симметрия[en] Вращательная симметрия Лоренц-ковариантность Группа Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии[en] Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга — Миллса Заряд Топологический заряд
Аппарат Аномалия[uk] Crossing Эффективная теория поля Вакуумное среднее Духи Фаддеева — Попова Диаграммы Фейнмана Lattice gauge theory LSZ reduction formula Partition function Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Вакуум Теорема Вика Теорема Вайтмана
Уравнения Дирака Клейна — Гордона Прока Уиллера — Девитта Баргмана — Вигнера
Стандартная модель Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса
Другие теории Топологическая квантовая теория поля[en] Теория струн Суперсимметрия Technicolor Теория всего Квантовая гравитация
Учёные Карл Андерсон Филип Андерсон Бете Боголюбов Браут Бьёркен Вайнберг Вайскопф Вейль Велтман Вильсон Вильчек Гейзенберг Гелл-Ман Глэшоу Гросс Гуральник Дайсон Девитт Дирак Йордан Каллан Кендалл Киббл Коулман Ландау Ли Лэмб Майорана Миллс Намбу Нисидзима Паризи Поляков Салам Скерм Сударшан Томонага Уорд Фейнман Ферми Фирц Фок Фрёлих Хааг Хейген Хиггс Хофт Швингер Энглер Юкава Янг

Спонта́нное наруше́ние симме́три́и — способ нарушения симметрии физической системы, при котором исходное состояние и уравнения движения системы инвариантны относительно некоторых преобразований симметрии, но в процессе эволюции система переходит в состояние, для которого инвариантность относительно некоторых (в том числе всех) преобразований начальной симметрии нарушается. Спонтанное нарушение симметрии всегда связано с вырождением состояния с минимальной энергией, называемого вакуумом. Множество всех вакуумов имеет начальную симметрию, однако каждый вакуум в отдельности — нет. Например, шарик в жёлобе с двумя ямами скатывается из неустойчивого симметричного состояния в устойчивое состояние с минимальной энергией либо влево, либо вправо, разрушая при этом симметрию относительно изменения левого на правое (операция инверсии).

Спонтанное нарушение симметрии происходит (псевдо) случайным образом и обусловлено флуктуациями. Это явление чрезвычайно распространено в природе. Множество разнообразных примеров спонтанного нарушения симметрии можно привести в классической механике^[⇨]. Однако если в механике спонтанное нарушение симметрии имеет скорее описательное значение, в квантовой теории поля это основной принцип, обеспечивающий генерацию масс калибровочных бозонов. Более того, в квантовой теории поля, построив эффективные лагранжианы, некоторые мезоны можно отождествить с соответствующими голдстоуновскими (псевдоголдстоуновскими) бозонами. Ниже в качестве примера π-мезон рассмотрен как голдстоуновский бозон при нарушении некоторой симметрии квантовой хромодинамики с безмассовыми кварками^[⇨]. Вещество в определённой термодинамической фазе также можно рассматривать как квантовое поле с соответствующей симметрией. Тогда спонтанное нарушение симметрии представляется как фазовый переход^[⇨].

Существование в природе четырёх фундаментальных взаимодействий тоже может являться следствием нарушения симметрии. Гипотетически при достаточно больших энергиях (~100 ГэВ) электромагнитные и слабые ядерные силы объединяются в одно электрослабое взаимодействие, а при ещё больших энергиях (~10¹⁴ ГэВ) электрослабое и сильное ядерное взаимодействия объединяются в электроядерное взаимодействие, описываемое теорией Великого объединения^[⇨].

Механизм спонтанного нарушения симметрии жизненно необходим для возможности существования суперсимметрии. Ненарушенная суперсимметрия предсказывает существование у каждой известной частицы суперпартнёра с такой же массой, чего не наблюдается в экспериментах. Считается, что из-за нарушения суперсимметрии суперпартнёры частиц приобретают большие массы, недостижимые для современных ускорителей^[⇨]

Вакуумы могут иметь довольно интересную структуру. Квантовая теория поля допускает существование полевых вакуумных конфигураций со спонтанно нарушенными вакуумами, которые меняются от точки к точке. Такими состояниями являются, например, магнитные монополи, космические струны, доменные стенки. Состояния такого типа наблюдаются в физике конденсированного состояния, например, стенки между ферромагнитными доменами. При сложных конфигурациях потенциала с многими минимумами существует несколько вакуумов. Однако настоящим вакуумом является только состояние с наименьшей энергией. Все остальные вакуумы являются метастабильными и переходят в настоящий путём квантового туннелирования^[⇨].

Спонтанное нарушение симметрии может играть большую роль и в гравитации. Считается, что космологическая инфляция вызвана переходом из ложного вакуума в истинный при спонтанном нарушении симметрии Великого объединения^[⇨]. Кроме того, спонтанное нарушение суперсимметрии (суперхиггсовский механизм) предполагается в теориях массивной гравитации^[⇨]. Также развиваются модели гравитационного поля метрического тензора как Хиггс — Голдстоуновского поля некоторой нарушенной симметрии^[⇨].

Таким образом, спонтанное нарушение симметрии — чрезвычайно распространённое явление во всех областях физики, начиная от классической механики и заканчивая квантовой гравитацией.

Простые примеры спонтанного нарушения симметрии[править | править код]

В классической механике[править | править код]

Уравнения, описывающие движение атомов любого несимметричного физического тела, например, кресла, инвариантны относительно трёхмерных поворотов, однако решение этих уравнений — реальное кресло — имеет определённую ориентацию в пространстве^[3].

Шарик, находящийся посредине между ямами двухъямного жёлоба, рано или поздно под воздействием возмущений скатится в один из них, нарушая симметрию относительно замены ${\displaystyle x\rightarrow -x}$. Потенциал такого вида реализуется, к примеру, в задаче о бусинке на кольце, вращающемся вокруг вертикальной оси (см. рисунок). Функция Лагранжа этой задачи имеет вид

${\displaystyle L=T-V_{eff}={\frac {1}{2}}mR^{2}{\dot {\phi }}^{2}+{\frac {1}{2}}mW^{2}R^{2}\sin ^{2}\phi -mgR(1-\cos \phi )\,,}$,

где R — радиус кольца, m — масса бусинки, g — ускорение свободного падения, W — угловая скорость вращения. Потенциал обладает минимумами в точках, отличающихся от центра симметрии, при скорости вращения ${\displaystyle W^{2}>g/R}$. Центральная же точка становится точкой неустойчивого равновесия, и только флуктуации начальных параметров задают новое положение равновесия^[1].

Карандаш, поставленный на торец на столе, не имеет никакого выделенного направления в плоскости стола, однако под действием возмущений он упадёт, выбрав при этом какое-то псевдослучайное (зависящее от флуктуаций) направление^[4][5].

Круглый металлический стержень, зажатый между пластинами пресса, при достаточной нагрузке согнётся, причём направление сгиба произвольно и зависит от флуктуаций. Начальная осевая симметрия стержня спонтанно нарушается^[6].

При растяжении резинки её длина увеличивается, а толщина уменьшается. При определённом значении растягивающей силы резинка порвётся в определённом месте, хотя для идеальной резинки все места разрыва равновероятны. Причиной «нарушения» симметрии являются флуктуации толщины резинки: рвётся там, где слабее материал резинки. Идеальная резинка растянулась бы в цепочку из N атомов и порвалась бы (в неопределенном месте), когда энергия растягивающей силы стала бы равной суммарной энергии связи атомов ${\displaystyle E=N\varepsilon \,.}$

В физике конденсированного состояния[править | править код]

При кристаллизации жидкости, которая характеризуется наивысшей — изотропной — симметрией, образуется кристалл, в котором существуют некоторые выделенные направления относительно кристаллографических осей. Ориентация кристаллографических осей в общем случае случайна или обусловлена слабыми внешними факторами или флуктуациями. При этом симметрия относительно трансляций на произвольный вектор также снижается до трансляционной симметрии на вектор, который является линейной комбинацией векторов кристаллической решётки.

Жидкость при охлаждении ниже температуры кристаллизации превращается в кристалл. Однако жидкость без примесей может быть охлаждена ниже температуры кристаллизации. Такое положение достигается благодаря отсутствию центров кристаллизации — нет зародышей, на которых могли бы образовываться кристаллы, и возникает метастабильная фаза переохлаждённой жидкости. С точки зрения симметрии изотропная и трансляционная симметрия жидкости должна снизиться до симметрии кристаллической решётки, но в жидкости отсутствуют флуктуации (центры кристаллизации), которые нарушают данную симметрию.

Аналогичная ситуация возникает в пересыщенном паре или перегретой жидкости. Такие метастабильные состояния используются, например, в пузырьковых камерах и камерах Вильсона.

Ферромагнетики, нагретые выше температуры Кюри, находятся в парамагнитном состоянии, в котором не существует выделенного направления намагниченности; однако при охлаждении ниже температуры Кюри в ферромагнетике происходит фазовый переход и возникает спонтанная намагниченность, направление которой при отсутствии внешнего магнитного поля является случайным и зависит от флуктуаций^[7][8]. Спонтанное нарушение симметрии происходит почти при всех фазовых переходах (см. ниже)^[9].

В квантовой механике[править | править код]

Эксперимент с двумя щелями[править | править код]

При прохождении квантовой частицы через экран с двумя близко расположенными щелями^[10], за каждой из которых размещён детектор, срабатывает только один из детекторов. Симметрия случайно нарушается. Этот пример существенно отличается от упомянутых выше примеров тем, что, исходя из современных представлений (см. Теорема Белла^[11]), наличие флуктуаций для спонтанного нарушения симметрии не является обязательным условием, и природа реализует прохождение частицы через одну из возможных щелей совершенно случайным образом.

Измерения в квантовой механике[править | править код]

Допустимо прямое обобщение предыдущего примера на произвольное измерение состояния в квантовой механике. В квантовой теории, согласно постулату об измерениях, измерение заключается в редукции (мгновенном переходе) квантового состояния ${\displaystyle |\psi \rangle }$ в одно из возможных собственных состояний ${\displaystyle |a_{n}\rangle }$ оператора ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ измеряемой физической величины ${\displaystyle {A}}$. При этом исходное состояние случайным образом (с вероятностью ${\displaystyle |\langle \psi |a_{n}\rangle |^{2}}$) переходит в состояние с нарушенной начальной симметрией.

Декогеренция[править | править код]

Другим примером спонтанного нарушения симметрии в квантовой механике, но уже связанным с наличием флуктуаций, является декогеренция. Из-за наличия внешних флуктуаций чистое состояние системы переходит в смешанное с нарушением начальных симметрий. Математически это соответствует тому, что декогеренция вызывает зануление недиагональных элементов матрицы плотности^[11].

В качестве примера рассмотрим атом в возбуждённом состоянии. Атом спонтанно излучает фотон и переходит на более низкий энергетический уровень. Если атом находится в сферически симметричном s-состоянии, то он излучает фотон в произвольном направлении и сам перейдёт в неизотропное l-состояние со спонтанно нарушенной симметрией относительно поворотов. Причиной нарушения симметрии является наличие окружающих частиц, а также случайные флуктуации физического вакуума.

Для иллюстрации декогеренции можно рассмотреть ансамбль одинаковых квантовых состояний. Системы из-за наличия внешних флуктуаций через некоторое время будут находиться в разных состояниях^[11].

Именно уничтожение недиагональных элементов отвечает за спонтанное нарушение симметрии в первом примере данного раздела для кресла^[3].

Спонтанное нарушение калибровочной симметрии[править | править код]

Нарушение глобальной калибровочной симметрии[править | править код]

В теории поля обычно рассматривают динамику поля в окрестности вакуумного состояния (минимума потенциальной энергии), считая сами поля малыми^[12]. На практике это ведёт к разложению функции Лагранжа соответствующего поля в ряд Тейлора в окрестности минимума потенциальной энергии с последующим пренебрежением слагаемыми высших степеней. При этом выбор вакуума может быть неоднозначным (см. рисунок «Линейная сигма-модель»: серым цветом показаны возможные вакуумные состояния).

Например, рассмотрим лагранжиан комплексного (заряженного) поля Клейна — Гордона^[en] ${\displaystyle \varphi =\varphi ^{1}+i\varphi ^{2}\,,}$ где ${\displaystyle \varphi ^{1},\;\varphi ^{2}}$ — вещественные поля:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{*}\partial _{\mu }\varphi -V(\varphi ^{*}\varphi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{1}\partial _{\mu }\varphi ^{1}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{2}\partial _{\mu }\varphi ^{2}-V\left((\varphi ^{1})^{2}+(\varphi ^{2})^{2}\right)\,,}$

где ${\displaystyle V}$ — потенциал взаимодействия; индексы, обозначенные греческими буквами, везде пробегают значения от 0 до 3. Этот лагранжиан инвариантен относительно глобальных калибровочных преобразований^[13]

${\displaystyle \varphi \rightarrow e^{i\alpha }\varphi ,\quad \left|\left|{\begin{array}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end{array}}\right|\right|\rightarrow \left|\left|{\begin{array}{cc}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right|\right|\left|\left|{\begin{array}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end{array}}\right|\right|\,,}$

где ${\displaystyle \alpha }$ — вещественная константа. Для данной модели вакуум не инвариантен относительно таких калибровочных преобразований, если функция ${\displaystyle V(x)}$ имеет минимум в точке, отличной от нуля. Если ${\displaystyle V(x)}$ имеет минимум в нуле, то точке вакуума однозначно соответствует пара ${\displaystyle \varphi ^{1}=0,\;\varphi ^{2}=0}$. Совсем другая ситуация возникает в случае, когда ${\displaystyle x_{min}=a^{2}\neq 0}$. Минимуму потенциала соответствует не одна точка, а континуум точек

${\displaystyle (\varphi ^{1})^{2}+(\varphi ^{2})^{2}=a^{2}\,.}$

Соответствующим поворотом системы координат пространства зарядовых степеней свободы поля Клейна — Гордона вакуум всегда можно привести к виду

${\displaystyle \varphi _{0}=\left|\left|0,a\right|\right|^{T}\,.}$

Хотя лагранжиан (в частности, приближённый) инвариантен относительно калибровочных преобразований, вакуум — нет. Система переходит в случайно выбранное (на самом деле в зависимости от флуктуаций) состояние. В этом и заключается спонтанное нарушение глобальной калибровочной симметрии.

Калибровочные преобразования образуют группу Ли, причём компактную. Рассмотрим лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-V(\varphi _{i})}$,

где ${\displaystyle \varphi _{i}}$ — N вещественных скалярных полей. Допустим, лагранжиан инвариантен относительно преобразований ${\displaystyle \omega _{i}^{j}}$ калибровочной группы ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle \varphi _{i}=\omega _{i}^{j}\varphi _{j}}$.

Случай инвариантного вакуума[править | править код]

Если потенциал ${\displaystyle V}$ имеет минимум в точке ${\displaystyle \varphi _{i}=0}$, то можно показать, что вакуум инвариантен относительно всех калибровочных преобразований, а именно: действие любой матрицы на нулевой вектор переводит его в нулевой вектор. В таком случае потенциал можно разложить в ряд Тейлора в окрестности нуля. Предполагая, что ${\displaystyle V(0)=0}$, а также учитывая, что первые производные в точке экстремума равны нулю, а матрица вторых производных ${\displaystyle (m^{2})^{ij}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}(0)}$ в точке минимума является положительно определённой, получим

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3})}$.

При соответствующем ортогональном преобразовании ${\displaystyle \varphi _{i}'=O_{i}^{j}\varphi _{j}}$ массовую матрицу ${\displaystyle m^{2}}$ можно привести к диагональному виду. Лагранжиан, полученный таким способом, описывает ${\displaystyle N}$ вещественных скалярных полей с массами, которые определяются собственными значениями матрицы ${\displaystyle m^{2}}$.

Случай неинвариантного вакуума[править | править код]

Совсем иная ситуация возникает, когда потенциал ${\displaystyle V}$ имеет минимум не в нуле. В этом случае всегда существует произвол в выборе вакуумного состояния. Вакуум будет инвариантным только в отношении определённой подгруппы ${\displaystyle H}$ калибровочной группы ${\displaystyle G}$ (группу ${\displaystyle H\subset G}$ называют малой группой). Происходит нарушение локальной симметрии калибровочной группы ${\displaystyle G}$. Рассмотрим пример нарушения глобальной симметрии, которая задаётся калибровочной группой трёхмерных поворотов SO(3), в линейной сигма-модели.

В общем случае имеет место следующая теорема:

Теорема Голдстоуна^[17][18]. При спонтанном нарушении глобальной калибровочной симметрии возникают ${\displaystyle \dim G-\dim H}$ безмассовых скалярных полей ${\displaystyle \phi _{i}}$ и ${\displaystyle N-(\dim G-\dim H)}$ массивных скалярных полей ${\displaystyle {\tilde {\phi }}_{i}}$. Здесь ${\displaystyle N}$ — размерность выбранного представления ${\displaystyle G}$ (фактически это начальное количество вещественных скалярных полей).

При этом безмассовые поля, которые возникают при спонтанном нарушении глобальной калибровочной симметрии, называются бозонами Голдстоуна. Их количество равно количеству нарушенных симметрий.

Доказательство теоремы Голдстоуна[править | править код]

Для фундаментального представления группы ${\displaystyle G}$ обозначим генераторы малой группы как ${\displaystyle t_{H,a}}$, а для любого другого представления — как ${\displaystyle T_{H,a}}$. Тогда из условия инвариантности вакуума следует, что ${\displaystyle \exp {(-ie\alpha ^{a}T_{H,a})}\varphi _{0}=\varphi _{0}}$. Раскладывая экспоненту в ряд Тейлора, получим, что действие генераторов малой (ненарушенной) группы на вакуум уничтожает вакуум:

${\displaystyle T_{H,a}\varphi _{0}=0}$.

Это условие является важным критерием ненарушенной симметрии.

Остальные генераторы группы ${\displaystyle G}$ обозначим как ${\displaystyle t_{G/H,a}}$ (или ${\displaystyle T_{G/H,a}}$). Их воздействие на вакуум не даёт ноль, иначе сгенерированные ими преобразования оставляли бы вакуум инвариантным и принадлежали бы малой группе. Введём векторы ${\displaystyle E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0}}$. Их количество равно ${\displaystyle \dim G-\dim H}$. Они линейно независимы и образуют базис в подпространстве голдстоуновских бозонов (нарушенных симметрий).

Во всём пространстве удобно ввести ортонормированный базис ${\displaystyle \{e_{k},{\widetilde {e}}_{k}\}}$, где векторы ${\displaystyle e_{k}}$ — орты голдстоуновского подпространства, составленные из линейных комбинаций векторов ${\displaystyle E_{k}}$, а ${\displaystyle N-(\dim G-\dim H)}$ векторов ${\displaystyle {\widetilde {e}}_{k}}$ образуют базис подпространства, дополняющего голдстоуновское подпространство до исходного пространства. Тогда скалярные поля можно разложить в таком базисе

${\displaystyle \varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\widetilde {e}}^{k})_{i}}$,

а лагранжиан в квадратичном приближении примет вид

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi ^{i}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}(\phi _{k}e^{k}+{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{i}(\phi _{k}e^{k}+{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{j}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3})}$,

из которого не видно явного выполнения теоремы Голдстоуна. Однако из условия калибровочной инвариантности минимума потенциала (не следует путать с вакуумом, речь идёт об инвариантности значения потенциала и его производных)

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial \varphi _{j}}}(\exp {(-ie\alpha ^{a}T_{a})}\varphi _{0})=0\Rightarrow _{\alpha \rightarrow 0}-ie\alpha ^{a}(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j}}}=0}$.

Для ненарушенной симметрии верно равенство ${\displaystyle T_{H,a}\varphi _{0}=0}$, однако для нарушенных симметрий выполняется соотношение ${\displaystyle -iT_{G/H,a}\varphi _{0}=E_{a}\neq 0}$, а учитывая, что из линейных комбинаций ${\displaystyle E_{a}}$ получаем базис ${\displaystyle e_{a}}$, следует ${\displaystyle e_{i}^{a}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}=0.}$ Поэтому лагранжиан ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ представим в виде

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi ^{i}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi }}_{l}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3})}$,

где массы ${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j}}}}$. Этот вывод доказывает теорему Голдстоуна. Фактически это рассмотрение спонтанного нарушения симметрии в общем случае, которое, однако, можно легко провести в случае конкретной симметрии, как в приведённых выше примерах.

Нарушение локальной калибровочной симметрии[править | править код]

Рассмотренная выше теорема Голдстоуна^[17][18] утверждает, что при нарушении калибровочной симметрии возникают безмассовые бесспиновые бозоны. Из-за отсутствия таких частиц в природе теорема Голдстоуна рассматривалась в качестве контраргумента против нарушенных симметрий. Однако, как оказалось, если нарушается локальная, а не глобальная калибровочная симметрия, то безмассовые голдстоуновские бозоны отсутствуют, а вместо этого калибровочные векторные поля получают массу^[19][20]. Спонтанное нарушение локальной калибровочной симметрии — важное явление в теории поля, поскольку оно ведёт к приобретению калибровочными полями масс (сами по себе массовые слагаемые для калибровочного поля не являются калибровочно инвариантными, поэтому в лагранжиане поля с ненарушенной симметрией они отсутствуют). Такой механизм носит название механизма генерации масс Хиггса.

Локальные преобразования отличаются от глобальных наличием координатной зависимости ${\displaystyle \alpha =\alpha (x)}$. Такая зависимость приводит к возникновению в лагранжиане калибровочных полей (в случае заряженного поля Клейна — Гордона — электромагнитного поля с группой симметрии ${\displaystyle U(1)}$, а при рассмотрении трёхкомпонентного вектора скалярных полей с группой симметрии ${\displaystyle SU(3)}$ — калибровочного поля, которое можно отождествить с цветовым глюонным полем сильного ядерного взаимодействия, и т. д.).

Рассмотрим лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi _{i}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi ^{i}-V(\varphi _{i})-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }}$,

где ${\displaystyle \varphi _{i}}$ — набор ${\displaystyle N}$ скалярных полей, ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+\left[A_{\mu },A_{\nu }\right]^{a}}$ — тензор соответствующего калибровочного поля, ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\varphi _{i}=\partial _{\mu }\varphi _{i}+(A_{\mu })_{i}^{j}\varphi _{j}}$ — ковариантная производная. Векторный потенциал в общем случае является матрицей, которая действует на векторный столбец ${\displaystyle \varphi =\mid \mid \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{N}\mid \mid ^{T}}$. Индекс ${\displaystyle a}$ пробегает значения от 1 до ${\displaystyle \dim G}$ и нумерует компоненты разложения потенциала по генераторам группы симметрии. Этот лагранжиан инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований ${\displaystyle \omega _{j}^{i}=\omega _{j}^{i}(x),}$ образующих группу ${\displaystyle G}$. Поля при калибровочных преобразованиях преобразуются следующим образом:

${\displaystyle \varphi _{i}\rightarrow \omega _{i}^{j}\varphi _{j},\qquad A_{\mu }\rightarrow \omega A_{\mu }\omega ^{-1}+\omega \partial _{\mu }\omega ^{-1}}$.

Случай инвариантного вакуума[править | править код]

Если минимум ${\displaystyle V}$ реализуется при ${\displaystyle \varphi _{i}=0}$, то в таком случае лагранжиан можно разложить в ряд Тейлора в окрестности вакуума и получить в квадратичном приближении лагранжиан

${\textstyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a})^{2}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3}),}$

который описывает ${\displaystyle N}$ массивных скалярных полей и ${\displaystyle \dim G}$ безмассовых калибровочных векторных полей ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$. Вычислим количество полевых степеней свободы набора этих полей. Поскольку скалярное поле имеет одну степень свободы, а безмассовое векторное поле — две, то суммарное количество степеней свободы равно ${\displaystyle N+2\dim G}$.

Случай неинвариантного вакуума[править | править код]

Основное отличие локальной калибровочной симметрии от глобальной заключается в том, что калибровочная константа ${\displaystyle \alpha }$ зависит от координат ${\displaystyle x^{\mu }}$. Эта координатная зависимость позволяет при помощи соответствующего выбора ${\displaystyle \alpha (x)}$ занулить поля ${\displaystyle \varphi _{i}}$ всех ${\displaystyle \dim G-\dim H}$ безмассовых голдстоуновских бозонов во всём пространстве. Такая калибровка называется унитарной (в случае компактных калибровочных групп она существует всегда^[21]). Однако эта калибровка приводит к появлению в лагранжиане массовых слагаемых типа ${\displaystyle a^{2}A^{\mu }A_{\mu }}$, которые, тем не менее, являются калибровочно инвариантными. При унитарной калибровке массовые слагаемые возникают ровно для ${\displaystyle \dim G-\dim H}$ калибровочных полей. Поскольку унитарной калибровкой уничтожаются бозоны Голдстоуна, и при этом возникают массивные калибровочные бозоны, то часто говорят, что векторные поля «съедают» бозоны Голдстоуна и приобретают массы. Условие унитарной калибровки записывают через «матричные элементы» генераторов нарушенной симметрии в виде

${\displaystyle \varphi _{0}T_{G/H,a}\varphi =0}$.

Эта формула означает, что поле ${\displaystyle \varphi }$ ортогонально всем векторам ${\displaystyle E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0}}$ пространства нарушенных симметрий. При спонтанном нарушении симметрии также возникают ${\displaystyle N-(\dim G-\dim H)}$ массивных скалярных полей, называемых бозонами Хиггса. Количество полей, получающихся в результате спонтанного нарушения локальной калибровочной симметрии, определяется теоремой Хиггса.

Теорема Хиггса^[19]. При спонтанном нарушении локальной калибровочной симметрии присутствуют ${\displaystyle N-(\dim G-\dim H)}$ массивных скалярных полей (бозонов Хиггса), ${\displaystyle \dim G-(\dim G-\dim H)=\dim H}$ безмассовых векторных полей, а также ${\displaystyle \dim G-\dim H}$ массивных векторных полей (количество массивных калибровочных бозонов равно количеству нарушенных симметрий).

Теперь найдём количество полевых переменных в этой системе. Учитывая, что массивное поле имеет три степени свободы, суммарное количество полевых степеней свободы равно ${\displaystyle N-(\dim G-\dim H)+2\dim H+3(\dim G-\dim H)=N+2\dim G}$, что совпадает с результатом для инвариантного вакуума.

Унитарная калибровка оставляет в лагранжиане определённую симметрию. Группой этой симметрии является малая группа ${\displaystyle H}$. В случае нарушения симметрии ${\displaystyle SO(3)}$ (пример выше) малой группой является группа поворотов ${\displaystyle SO(2)}$ относительно оси ${\displaystyle \phi _{3}}$. Группа ${\displaystyle SO(2)}$ изоморфна группе ${\displaystyle U(1)}$ калибровочной симметрии электромагнитного поля.

Доказательство теоремы Хиггса[править | править код]

Для доказательства теоремы Хиггса по аналогии с доказательством теоремы Голдстоуна разложим скалярное поле ${\displaystyle \varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\widetilde {e}}^{k})_{i}}$. Также разложим калибровочное поле с генераторами калибровочной группы ${\displaystyle G}$: ${\displaystyle A_{\mu }=ie(A_{H,\mu }^{a}t_{H,a}+A_{G/H,\mu }^{a}t_{G/H,a})}$. В квадратичном приближении разложение для скалярных полей имеет такой же вид, как и в доказательстве теоремы Голдстоуна, квадрат тензора поля ${\displaystyle -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}\right)^{2}}$, а ковариантная производная в первом приближении (так как линейного приближения по отклонениям от вакуума достаточно, чтобы получить лагранжиан, квадратичный по отклонению) запишется в виде

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\varphi \approx \partial _{\mu }\varphi +A_{\mu }\varphi _{0}=\partial _{\mu }\varphi +ieA_{G/H,\mu }^{a}T_{G/H,a}\varphi _{0}=e^{k}\partial _{\mu }\phi _{k}+{\widetilde {e}}^{k}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}_{k}-eA_{G/H,\mu }^{a}E_{a}}$.

Подстановка этих выражений в полученный лагранжиан даёт в квадратичном по полям приближении лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{k}-eA_{G/H,\mu }^{a}K_{ak})^{2}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi }}_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3})}$,

где ${\displaystyle K_{ak}=(E_{a})_{i}(e_{k})^{i}}$. Матрица ${\displaystyle K_{ak}}$ невырожденная, поскольку фактически это матрица перехода между базисами ${\displaystyle E_{a}=K_{ak}e^{k}}$. Можно ввести поля ${\displaystyle B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\phi _{k}(K^{-1})^{ka}}$${\displaystyle B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\phi _{k}(K^{-1})^{ka}}$ ${\displaystyle B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\phi _{k}(K^{-1})^{ka}}$${\displaystyle B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\phi _{k}(K^{-1})^{ka}}$${\displaystyle B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\phi _{k}(K^{-1})^{ka}}$ (что соответствует унитарной калибровке); тогда окончательно лагранжиан запишется в виде

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{H,\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{H,\mu }^{a}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}M_{ab}^{2}B_{\mu }^{a}B_{\mu }^{b}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi }}_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3})}$,

где ${\displaystyle (M^{2})_{ab}=e^{2}K_{ai}K_{bi}}$, ${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j}}}}$, что доказывает теорему Хиггса.

Спонтанное нарушение приближённой симметрии[править | править код]

В предыдущих разделах рассматривалась ситуация, когда исходный лагранжиан обладает определённой симметрией группы ${\displaystyle G}$, и эта симметрия спонтанно нарушается. Теперь рассмотрим случай, когда к лагранжиану с симметрией добавляются малые слагаемые, которые разрушают симметрию (иногда наличие малых несимметричных слагаемых, в отличие от спонтанного нарушения симметрии, называется мягким нарушением симметрии). При спонтанном нарушении приближённой симметрии возникают бесспиновые поля малой массы, называемые псевдоголдстоуновскими бозонами^[22].

Пусть потенциальная энергия принимает вид ${\displaystyle V(\varphi )=V_{0}(\varphi )+\lambda V_{1}(\varphi )}$, где слагаемое ${\displaystyle V_{0}(\varphi )}$ удовлетворяет условию инвариантности относительно преобразований группы ${\displaystyle G}$: ${\displaystyle (T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}}}=0}$, ${\displaystyle V_{1}(\varphi )}$ представляет собой возмущение, которое разрушает симметрию, ${\displaystyle \lambda }$ — малый параметр. Слагаемое ${\displaystyle V_{1}(\varphi )}$ смещает вакуумное состояние в точку ${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{0}={\varphi }_{0}+\lambda {\varphi }_{0}^{(1)}}$ . Тогда условие минимума запишется в виде

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial \varphi _{i}}}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)=0\Rightarrow {\frac {\partial V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}}}+\lambda \left[{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=\lambda \left[{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=0.}$

Если умножить последнее уравнение на ${\displaystyle (T_{a}\varphi _{0})_{i}}$ и учесть, что второе слагаемое даст ${\displaystyle 0}$ (условие инвариантности значения вакуума относительно преобразований калибровочной группы, см. доказательство теоремы Голдстоуна), получаем

${\displaystyle (T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}}}=0.}$

Полученное уравнение называется условием подстройки вакуума^[23]. Если это условие не удовлетворяется, то даже малое возмущение приводит к столь большим изменениям ${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{0}}$, что члены разложения ${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{0}}$ в окрестности ${\displaystyle {\varphi }_{0}}$ не являются малыми поправками. Однако если ${\displaystyle G}$ — компактная группа Ли, это условие выполняется^[3]. По аналогии с разложением в ряд Тейлора в пункте «Доказательство теоремы Голдстоуна» можно получить массовую матрицу псевдоголдстоуновских бозонов

${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)=\lambda ({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}\left[{\frac {\partial ^{2}V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}+{\frac {\partial ^{3}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}\partial \varphi _{n}}}\varphi _{0,n}^{(1)}\right]}$,

которая является положительно определённой^[3][22].

Нарушение симметрии квантового поля[править | править код]

В квантовой теории полевая переменная ${\displaystyle \varphi (x)}$ перестаёт быть просто вещественной или комплексной функцией координат, а становится линейным оператором ${\displaystyle {\widehat {\Phi }}(x)}$, заданным на гильбертовом пространстве состояний поля, которые в представлении Фока, или вторичного квантования, имеют вид^[24][25]

${\displaystyle |...,n_{\textbf {k}},...\rangle =C(...,n_{\textbf {k}},...)\prod _{\textbf {k}}b_{\textbf {k}}^{+}|0\rangle ,}$

где ${\displaystyle C}$ — константа нормировки, ${\displaystyle b_{\textbf {k}}^{+}}$ — оператор рождения, который увеличивает число частиц с определённым импульсом ${\displaystyle {\textbf {k}}}$ на 1; например, для бозонов ${\displaystyle b_{\textbf {k}}^{+}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle ={\sqrt {n_{\textbf {k}}+1}}|...,n_{\textbf {k}}+1,...\rangle }$, ${\displaystyle |0\rangle }$ — вакуумное состояние, в котором нет никаких частиц (возбуждений). Наблюдаемыми величинами являются средние от полевых операторов на состояниях поля ${\displaystyle \langle ...,n_{\textbf {k}},...|{\widehat {A}}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle }$, где ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ — некоторый оператор, полиномиальный по операторам поля.

Среднее от оператора ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ на состояниях ${\displaystyle |...,n_{\textbf {k}},...\rangle }$ можно переписать через вакуумное среднее ${\displaystyle \langle 0|{\widehat {B}}|0\rangle }$ от оператора ${\displaystyle {\widehat {B}}}$, который тоже имеет полиномиальный вид по операторам поля. Такие вакуумные средние удобно вычислять как функциональные производные от так называемого образующего функционала, который обозначается как функциональный интеграл

${\displaystyle Z=\int [d\varphi ][d\psi ][...]e^{iS[\varphi ,\psi ,...]},}$

где ${\displaystyle S}$ — классическое действие для полей ${\displaystyle \varphi ,\psi ,...}$^[25]. Образующий функционал представляет собой амплитуду перехода «вакуум — вакуум».

Чаще всего образующий функционал и его производные вычисляют, проводя разложение в окрестности действия свободных невзаимодействующих полей (квадратичных по полям лагранжианов). Поправки к теории без взаимодействий удобно вычислять с помощью диаграмм Фейнмана.

Как и в квантовой механике по отношению к классической, операторная природа поля приводит к нетривиальным квантовым эффектам. Иногда квантовые поправки незначительны, однако в общем случае они могут иметь значительный (потенциально бесконечный) вклад. Для квантового поля часто имеют место квантовые аномалии — принципиальные нарушения некоторых симметрий, присущих классической теории, в соответствующей квантовой системе. Поэтому изложенная в предыдущем разделе физическая картина нарушения симметрии для классического поля не может быть непосредственно экстраполирована на квантовый случай, и нельзя априори утверждать, что теоремы Голдстоуна или Хиггса будут выполняться и в квантовом случае.

Глобальная калибровочная симметрия[править | править код]

Теорема Голдстоуна в квантовом случае может быть легко сформулирована при помощи эффективного действия^[en] (потенциала). В рамках этого подхода вводятся дополнительные классические токи ${\displaystyle J_{i}(x)}$, которые взаимодействуют со скалярными полями ${\displaystyle \varphi _{i}(x)}$. Образующий функционал можно переписать в виде

${\displaystyle Z[J]=\exp {(iW[J])},}$

где величина ${\displaystyle W[J]}$ — сумма всех связных вакуумных диаграмм, причём диаграммы, которые образуются друг из друга перестановкой вершин, разными не считаются. Вакуумные средние значения полевых операторов ${\displaystyle \varphi _{J}^{i}(x)=\langle \Phi ^{i}(x)\rangle _{0,J}}$ при заданных классических токах ${\displaystyle J_{i}(x)}$ переписываются через вариационные производные от ${\displaystyle W[J]}$

${\displaystyle \varphi _{J}^{i}(x)={\frac {\delta }{\delta J_{i}(x)}}W[J].}$

Обозначим ток ${\displaystyle J_{i}(x)}$, для которого вакуумное полевое среднее равно заранее заданному полю ${\displaystyle \varphi _{J}^{i}=\varphi ^{i}}$. Преобразование Лежандра от ${\displaystyle W[J]}$ приводит к квантовому эффективному действию ${\displaystyle \Gamma [\varphi ]}$^[26]

${\displaystyle \Gamma [\varphi ]=-\int d^{4}x\varphi ^{i}(x)J_{i,\varphi }(x)+W[J].}$

Величина ${\displaystyle \Gamma [\varphi ]}$ является суммой всех связанных одночастичных неприводимых диаграмм при наличии тока ${\displaystyle J_{i}(x)}$. Можно показать, что

${\displaystyle {\frac {\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi ^{i}(x)}}=-J_{i}(x).}$

При отсутствии внешних токов ${\displaystyle J_{i}(x)=0}$, и значения вакуумных средних определяются как стационарные точки функционала

${\displaystyle {\frac {\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi ^{i}(x)}}=0.}$

Эффективное действие ${\displaystyle \Gamma [\varphi ]}$ учитывает квантовые поправки всех порядков, обеспечивая при этом классическую трактовку поля вакуумных средних ${\displaystyle \varphi _{i}(x)}$ полевых операторов. Если принять, что вакуум инвариантен относительно преобразований неоднородной группы Лоренца, то эффективное действие записывается в виде

${\displaystyle \Gamma [\varphi ]=-{\mathcal {V}}_{4}V(\varphi ),}$

где ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{4}}$ — объём пространства-времени, а ${\displaystyle V(\varphi )}$ — обычная функция, которая называется эффективным потенциалом^[3].

Согласно тождествами Славнова — Тейлора^[27][28], эффективное действие инвариантно относительно инфинитезимальных преобразований вакуумных полей ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }\varphi ^{i}(x)=\varepsilon \langle F^{i}(x)\rangle _{J}}$ (здесь под ${\displaystyle \varphi ^{i}(x)}$ имеется в виду любое поле, а не только скалярное). Для широкого класса так называемых линейных инфинитезимальных преобразований, к которым относятся и калибровочные преобразования,

${\displaystyle F^{i}(x)=s^{i}(x)+A_{j}^{i}\varphi ^{j}(x),}$

где ${\displaystyle A_{j}^{i}}$ — постоянная матрица, эффективное действие инвариантно относительно тех же симметрий, что и исходное классическое действие^[3]. Таким образом, если такая симметрия не нарушена на классическом уровне, то она не будет нарушена квантовыми поправками в любом порядке теории возмущений.

С помощью эффективного потенциала доказательство теоремы Голдстоуна в квантовом случае можно провести, используя почти такие же соображения, как и для классических полей (с точностью до замены потенциала на эффективный потенциал и классических полей на вакуумные средние полевых операторов). В квантовой теории поля значение квадратов масс бозонов после нарушения симметрии определяются собственными значениями массовой матрицы ${\displaystyle (m^{2})_{ij}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{i}\partial \varphi ^{j}}}}$. А поскольку, как было сказано выше, симметрия эффективного действия (потенциала) относительно калибровочных преобразований такая же, как и исходного действия, то количество нулевых собственных значений квантовой массовой матрицы такое же, как и для классической, и теорема Голдстоуна выполняется и в квантовом случае.

Локальная калибровочная симметрия[править | править код]

В квантовой теории поля теорема Хиггса остаётся справедливой, хотя по причинам, приведённым в начале раздела, математическое рассмотрение проблемы является сложным. Для удаления «нефизических» голдстоуновских мод при рассмотрении нарушения локальной калибровочной симметрии классического поля использовалось унитарная калибровка. Однако при применении унитарной калибровки в квантовой теории поля оказывается, что пропагатор калибровочного поля имеет асимптотическое поведение ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)={\mathcal {O}}(k^{0})}$, а потому проверить теорию на перенормируемость простым способом (подсчётом степеней) не удаётся. В квантовой теории поля используется зависящая от вещественного параметра ${\displaystyle \xi }$ так называемая ${\displaystyle R_{\xi }}$-калибровка, которая является обобщением унитарной калибровки^[29][30][31]. Преимуществом семейства таких калибровок является асимптотика ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k^{-2})}$ пропагатора калибровочного поля.

Так или иначе, выбор калибровки накладывает дополнительные условия на полевые переменные, которые нужно учитывать при квантовании. В теории поля такие условия учитываются в рамках метода Фаддеева — Попова^[32]. Рассмотрим лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi {\mathcal {D}}^{\mu }\varphi -V(\varphi )-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}.}$

Раскладывая скалярные поля в окрестности минимума ${\displaystyle \varphi (x)=\varphi _{0}+\phi (x)}$, можно переписать его как функцию ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \phi }$ : ${\displaystyle {\mathcal {L}}(A,\phi )}$. При этом калибровка фиксируется условием ${\displaystyle {\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^a}$