Сумма Минковского — Википедия

Суммой Минковского двух подмножеств A и B линейного пространства V (или произвольной группы) называется множество C, состоящее из сумм всевозможных векторов из A и B:

${\displaystyle C=\left\{\,c\mid c=a+b,a\in A,b\in B\,\right\}}$

Аналогично определяется произведение множества на число:

${\displaystyle \lambda A=\left\{\,\lambda a\mid a\in A\,\right\}}$

Свойства[править | править код]

• Если множество A выпукло, то

  ${\displaystyle (\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A}$

для любых ${\displaystyle \lambda >0}$ и ${\displaystyle \mu >0}$.

• ${\displaystyle \lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B}$
• ${\displaystyle A+B=B+A}$
• ${\displaystyle A+\left\{0\right\}=A}$

О разности Минковского[править | править код]

Множества с введенной на них суммой Минковского не образуют линейного пространства (даже выпуклые). Это связано с отсутствием обратного элемента (элемент -A, очевидно, таковым не является).

• Разностью Минковского множеств A и B называется максимальное множество C такое, что

  ${\displaystyle C+B\subset A}$,

но легко видеть, что для многих множеств (например, квадрата и круга) разность Минковского не является операцией, обратной к сумме.

• Альтернативно можно продолжить сумму Минковского на линейное пространство пар выпуклых множеств (A,B) с отношением эквивалентности

  ${\displaystyle (A,B)\sim (C,D)\Leftrightarrow A+D=B+C}$

Разность Минковского также называют геометрической разностью множеств.

Вариации и обобщения[править | править код]

• Множество сумм — аналогичное определение для подмножеств групп в аддитивной и арифметической комбинаторике. Наравне с суммами рассматривается произведения множеств ${\displaystyle A\times B=\left\lbrace {ab:a\in A,b\in B}\right\rbrace }$ и другие операции.

Литература[править | править код]

• Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.