Функция f является моногенной , только если df (zX ) = z df (X ), где z — любое комплексное число. Условия Коши — Римана , называемые также условиями Даламбера — Эйлера , — соотношения, связывающие вещественную u = u ( x , y ) {\displaystyle u=u(x,y)} и мнимую v = v ( x , y ) {\displaystyle v=v(x,y)} части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного w = f ( z ) = u + i v , z = x + i y {\displaystyle w=f(z)=u+iv,\ z=x+iy} .
Для того чтобы функция w = f ( z ) {\displaystyle w=f(z)} , определённая в некоторой области D {\displaystyle D} комплексной плоскости , была дифференцируема в точке z 0 = x 0 + i y 0 {\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}} как функция комплексного переменного z {\displaystyle z} , необходимо и достаточно , чтобы её вещественная и мнимая части u {\displaystyle u} и v {\displaystyle v} были дифференцируемы в точке ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} как функции вещественных переменных x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ; {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}};} ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.} Компактная запись:
∂ f ∂ x + i ∂ f ∂ y = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}=0,} или ∂ f ∂ x = 1 i ∂ f ∂ y . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}.} Если условия Коши — Римана выполнены, то производная f ′ ( z ) {\displaystyle f'(z)} представима в любой из следующих форм:
f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x = ∂ v ∂ y − i ∂ u ∂ y = ∂ u ∂ x − i ∂ u ∂ y = ∂ v ∂ y + i ∂ v ∂ x = = ∂ f ∂ x = 1 i ∂ f ∂ y . {\displaystyle {\begin{aligned}f'(z)&={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial y}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}=\\&={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}.\\\end{aligned}}} По условию теоремы существует предел
f ′ ( z 0 ) = lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z , {\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}},} не зависящий от способа стремления Δ z {\displaystyle \Delta z} к нулю.
Вещественное приращение. Положим Δ z = Δ x {\displaystyle \Delta z=\Delta x} и рассмотрим выражение lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z = lim Δ x → 0 f ( z 0 + Δ x ) − f ( z 0 ) Δ x . {\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x}}.} Существование комплексного предела lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z {\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}} равносильно существованию одного и того же предела в любом направлении, включая lim Δ x → 0 f ( z 0 + Δ x ) − f ( z 0 ) Δ x . {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x}}.} Поэтому в точке z 0 существует частная производная функции f (z ) по x и имеет место формула lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z = ∂ f ( z 0 ) ∂ x 0 . {\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}.} Чисто мнимое приращение. Полагая Δ z = i Δ y {\displaystyle \Delta z=i\Delta y} , находим lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z = lim Δ y → 0 f ( z 0 + i Δ y ) − f ( z 0 ) i Δ y = 1 i ∂ f ( z 0 ) ∂ y 0 . {\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\lim \limits _{\Delta y\to 0}{\frac {f(z_{0}+i\Delta y)-f(z_{0})}{i\Delta y}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}.} Это означает, что если функция дифференцируема, то производные функции по x и по y точно одинаковы, то есть необходимость условий Коши — Римана доказана.
Иными словами, нужно доказать в обратную сторону — что если производные функции по x и по y действительно одинаковы, то функция оказывается дифференцируемой вообще в любых направлениях.
Следуя определению дифференцируемости, приращение функции f ( z ) {\displaystyle f(z)} в окрестности точки z 0 {\displaystyle z_{0}} может быть записано в виде
f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) = ∂ f ( z 0 ) ∂ x 0 Δ x + ∂ f ( z 0 ) ∂ y 0 Δ y + ξ ( x , y ) , {\displaystyle f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}\Delta y+\xi (x,y),} где комплекснозначная функция ξ ( x , y ) {\displaystyle \xi (x,y)} служит «придаточным» слагаемым и стремится к нулю при ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})} быстрее, чем Δ x {\displaystyle \Delta x} и Δ y , {\displaystyle \Delta y,} то есть
lim Δ z → 0 ξ ( x , y ) Δ z = lim Δ z → 0 ξ ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) Δ z = 0. {\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)}{\Delta z}}=0.} Составим теперь разностное соотношение f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z {\displaystyle {\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}} и преобразуем его к виду
f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z = ∂ f ( z 0 ) ∂ x 0 Δ x + 1 i ∂ f ( z 0 ) ∂ y 0 ( i Δ y ) + ξ ( x , y ) Δ z . {\displaystyle {\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}={\frac {{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {1}{i}}{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}(i\Delta y)+\xi (x,y)}{\Delta z}}.} Теперь, чтобы доказать достаточность условий Коши — Римана, подставим их в разностное соотношение и получим следующее:
f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z = ∂ f ( z 0 ) ∂ x 0 Δ x + ∂ f ( z 0 ) ∂ x 0 ( i Δ y ) + ξ ( x , y ) Δ z = ∂ f ( z 0 ) ∂ x 0 + ξ ( x , y ) Δ z . {\displaystyle {\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}={\frac {{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}(i\Delta y)+\xi (x,y)}{\Delta z}}={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}+{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z}}.} Заметим, что при стремлении Δ z {\displaystyle \Delta z} к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первое остаётся неизменным. Поэтому предел ∂ f ( z 0 ) ∂ z 0 = lim Δ z → 0 Δ z ∈ C f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z = f ′ ( z 0 ) {\displaystyle {\tfrac {\partial f(z_{0})}{\partial z_{0}}}=\lim _{\underset {\Delta z\in \mathbb {C} }{\Delta z\to 0}}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})} одинаков в любом направлении приращения Δ z , {\displaystyle \Delta z,} а не только вдоль вещественной и мнимой осей, а значит, этот предел существует, что и доказывает достаточность.
В полярной системе координат ( r , φ ) {\displaystyle (r,\varphi )} условия Коши — Римана выглядят так:
∂ u ∂ r = 1 r ∂ v ∂ φ ; ∂ u ∂ φ = − r ∂ v ∂ r . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \varphi }};\quad {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.} Компактная запись:
∂ f ∂ r + i r ∂ f ∂ φ = 0. {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {i}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}=0.} Представим исходную функцию в виде
f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) . {\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).} Выражение декартовых координат через полярные
{ x = r cos φ ; y = r sin φ . {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=r\cos \varphi ;\\y=r\sin \varphi .\end{matrix}}\right.} Распишем производную функции u ( x , y ) {\displaystyle u(x,y)}
{ ∂ u ∂ r = ∂ u ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ u ∂ y ∂ y ∂ r = cos φ ∂ u ∂ x + sin φ ∂ u ∂ y ; ∂ u ∂ φ = ∂ u ∂ x ∂ x ∂ φ + ∂ u ∂ y ∂ y ∂ φ = − r sin φ ∂ u ∂ x + r cos φ ∂ u ∂ y . {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}}=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}};\\{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{matrix}}\right.} аналогично, вычисляем производные функции v ( x , y ) {\displaystyle v(x,y)}
{ ∂ v ∂ r = ∂ v ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ v ∂ y ∂ y ∂ r = cos φ ∂ v ∂ x + sin φ ∂ v ∂ y ; ∂ v ∂ φ = ∂ v ∂ x ∂ x ∂ φ + ∂ v ∂ y ∂ y ∂ φ = − r sin φ ∂ v ∂ x + r cos φ ∂ v ∂ y . {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial v}{\partial r}}={\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}}=\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}}+\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}};\\{\frac {\partial v}{\partial \varphi }}={\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}}+r\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}.\end{matrix}}\right.} Перегруппируем и домножим
{ ∂ u ∂ r = cos φ ∂ u ∂ x + sin φ ∂ u ∂ y ; 1 r ∂ v ∂ φ = cos φ ∂ v ∂ y − sin φ ∂ v ∂ x ; {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r}}=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}};\\{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \varphi }}=\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}-\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}};\end{matrix}}\right.} { ∂ u ∂ φ = − r sin φ ∂ u ∂ x + r cos φ ∂ u ∂ y ; − r ∂ v ∂ r = − r cos φ ∂ v ∂ x − r sin φ ∂ v ∂ y . {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}};\\-r{\frac {\partial v}{\partial r}}=-r\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}}-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}.\end{matrix}}\right.} Используя Условия Коши — Римана в декартовых координатах, получаем равенство соответствующих выражений, что приводит к результату
∂ u ∂ r = 1 r ∂ v ∂ φ ; ∂ u ∂ φ = − r ∂ v ∂ r . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \varphi }};\quad {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.} Связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции [ править | править код ] Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:
f ( z ) = R ( x , y ) e i Φ ( x , y ) . {\displaystyle f(z)=R(x,y)e^{i\Phi (x,y)}.} Тогда условия Коши — Римана связывают модуль R {\displaystyle R} и аргумент Φ {\displaystyle \Phi } функции следующим образом:
∂ R ∂ x = R ∂ Φ ∂ y ; ∂ R ∂ y = − R ∂ Φ ∂ x . {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}=R{\frac {\partial \Phi }{\partial y}};\quad {\frac {\partial R}{\partial y}}=-R{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}.} А если функция и её аргумент выражены в полярной системе одновременно:
f ( z ) = R ( r , φ ) e i Φ ( r , φ ) , {\displaystyle f(z)=R(r,\varphi )e^{i\Phi (r,\varphi )},} то запись приобретает вид:
∂ R ∂ r = R r ∂ Φ ∂ φ ; R ∂ Φ ∂ r = − ∂ R r ∂ φ . {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial r}}={\frac {R}{r}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }};\quad R{\frac {\partial \Phi }{\partial r}}=-{\frac {\partial R}{r\partial \varphi }}.} Геометрический смысл условий Коши — Римана [ править | править код ] Пусть функция w = f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) , {\displaystyle w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),} где z = x + i y , {\displaystyle z=x+iy,} дифференцируема. Рассмотрим в комплексной плоскости ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} два семейства кривых (линии уровня).
Первое семейство: u ( x , y ) = c o n s t . {\displaystyle u(x,y)=const.} Второе семейство: v ( x , y ) = c o n s t . {\displaystyle v(x,y)=const.} Тогда условия Коши — Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.
Алгебраический смысл условий Коши — Римана [ править | править код ] Если рассматривать множество комплексных чисел C {\displaystyle \mathbb {C} } как векторное пространство над R {\displaystyle \mathbb {R} } , то значение производной функции f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } в точке является линейным отображением из 2-мерного векторного пространства C {\displaystyle \mathbb {C} } в себя ( R {\displaystyle \mathbb {R} } -линейность). Если же рассматривать C {\displaystyle \mathbb {C} } как одномерное векторное пространство над C {\displaystyle \mathbb {C} } , то и производная в точке будет линейным отображением одномерного векторного пространства C {\displaystyle \mathbb {C} } в себя ( C {\displaystyle \mathbb {C} } -линейность), которое в координатах представляет собой умножение на комплексное число f ′ ( z ) {\displaystyle f'(z)} . Очевидно, всякое C {\displaystyle \mathbb {C} } -линейное отображение R {\displaystyle \mathbb {R} } -линейно. Так как поле (одномерное векторное пространство) C {\displaystyle \mathbb {C} } изоморфно полю вещественных матриц вида ( a b − b a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}} с обычными матричными операциями, условия Коши — Римана, накладываемые на элементы матрицы Якоби отображения f {\displaystyle f} в точке z {\displaystyle z} (точнее, отображения f ~ : ( x , y ) ↦ ( u ( x , y ) , v ( x , y ) ) {\displaystyle {\tilde {f}}\colon (x,y)\mapsto {\big (}u(x,y),v(x,y){\big )}} в точке ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ), являются условиями C {\displaystyle \mathbb {C} } -линейности f ′ ( z ) {\displaystyle f'(z)} , т.е. f ~ ′ ( x , y ) {\displaystyle {\tilde {f}}'(x,y)} .
Эти условия впервые появились в работе д'Аламбера (1752 ). В работе Эйлера , доложенной Петербургской академии наук в 1777 году , условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций.
Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 году . Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 году .