Физи́ческий ма́ятник — осциллятор , представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.
Дифференциальное уравнение движения физического маятника [ править | править код ] Физический маятник. O {\displaystyle O} — ось подвеса; N {\displaystyle N} — реакция оси подвеса; G {\displaystyle G} — центр тяжести; O ′ {\displaystyle O'} — центр качания; λ {\displaystyle \lambda } — приведённая длина; θ {\displaystyle \theta } — угол отклонения маятника от равновесия; α {\displaystyle \alpha } — начальный угол отклонения маятника; m {\displaystyle m} — масса маятника; h {\displaystyle h} — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника; g {\displaystyle g} — ускорение свободного падения. Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса, по теореме Штейнера :
I = I 0 + m h 2 = m ( r 2 + h 2 ) {\displaystyle I=I_{0}+mh^{2}=m\left(r^{2}+h^{2}\right)} , где I 0 {\displaystyle I_{0}} — момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести; r {\displaystyle r} — эффективный радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.
Динамическое уравнение произвольного вращения твёрдого тела:
I d 2 θ d t 2 = − M s {\displaystyle I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-M_{s}} , где M s {\displaystyle M_{s}} — суммарный момент сил, действующих на тело относительно оси вращения.
M s = M + M f {\displaystyle M_{s}=M+M_{f}} , где M {\displaystyle M} — момент сил, вызванный силой тяжести; M f {\displaystyle M_{f}} — момент сил, вызванный силами трения среды.
Момент, вызванный силой тяжести, зависит от угла отклонения тела от положения равновесия:
M = m g h sin θ {\displaystyle M=mgh\sin \theta } . Если пренебречь сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести:
I d 2 θ d t 2 = − m g h sin θ {\displaystyle I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgh\sin \theta } . Если разделить обе части уравнения на h {\displaystyle h} и положить
λ = r 2 + h 2 h = r 2 h + h {\displaystyle \lambda ={\frac {r^{2}+h^{2}}{h}}={\frac {r^{2}}{h}}+h} , получим:
λ d 2 θ d t 2 = − g sin θ {\displaystyle \lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\sin \theta } . Такое уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной λ {\displaystyle \lambda } . Величина λ {\displaystyle \lambda } называется приведённой длиной физического маятника.
Центр качания физического маятника. Теорема Гюйгенса [ править | править код ] Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.
Поместим на луче , проходящем от точки подвеса через центр тяжести, точку на расстоянии λ {\displaystyle \lambda } от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.
Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром тяжести. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен I = m λ 2 {\displaystyle I=m\lambda ^{2}} , а момент силы тяжести относительно той же оси − m g λ sin θ {\displaystyle -mg\lambda \sin \theta } . При этом уравнение движения не изменится.
Согласно теореме Гюйгенса,
Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.
Вычислим приведённую длину для нового маятника:
λ 1 = r 2 r 2 / h + r 2 h = h + r 2 h = λ {\displaystyle \lambda _{1}={\frac {r^{2}}{r^{2}/h}}+{\frac {r^{2}}{h}}=h+{\frac {r^{2}}{h}}=\lambda } . Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.
Период колебаний физического маятника [ править | править код ] Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания.
Для этого умножим левую λ d 2 θ d t 2 = λ d d t ( d θ d t ) {\displaystyle \lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=\lambda {\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)} и правую часть этого уравнения на d θ {\displaystyle d\theta } . Тогда:
λ d θ d t d ( d θ d t ) = − g sin θ d θ {\displaystyle \lambda {\frac {d\theta }{dt}}d\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)=-g\sin \theta \,d\theta } . Интегрируя это уравнение, получаем:
λ ( d θ d t ) 2 = 2 g cos θ + C {\displaystyle \lambda \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}=2g\cos \theta +C} , где C {\displaystyle C} — произвольная постоянная. Её можно найти из условия, что в ситуациях, когда θ = ± α {\displaystyle \theta =\pm \alpha } , должно быть d θ d t = 0 {\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=0} ( α {\displaystyle \alpha } — максимальный угол отклонения). Получаем:
C = − 2 g cos α . {\displaystyle C=-2g\cos \alpha .} Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:
d θ d t = 2 g λ sin 2 α 2 − sin 2 θ 2 . {\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=2{\sqrt {\frac {g}{\lambda }}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}.} Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:
g λ t = ∫ 0 θ 2 d ( θ 2 ) sin 2 α 2 − sin 2 θ 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {g}{\lambda }}}t=\int \limits _{0}^{\frac {\theta }{2}}{\frac {d\left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}} . Удобно сделать замену переменной полагая sin θ 2 = sin α 2 sin φ {\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin \varphi } . Тогда искомое уравнение принимает вид:
t = λ g ∫ 0 φ d φ 1 − sin 2 α 2 sin 2 φ = λ g F ( φ ∖ α / 2 ) . {\displaystyle t={\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}={\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}F\left(\varphi \setminus \alpha /2\right).} Здесь F ( φ ∖ α ) {\displaystyle F\left(\varphi \setminus \alpha \right)} — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода . Для периода колебаний получаем формулу:
T = 4 λ g ∫ 0 π / 2 d φ 1 − sin 2 α 2 sin 2 φ = 4 λ g K ( sin α 2 ) . {\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\,\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}=4{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\,K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right).} Здесь K ( sin α 2 ) {\displaystyle K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)} — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода . Раскладывая его в ряд, можно получить удобную для практических вычислений формулу:
T = 2 π λ g { 1 + ( 1 2 ) 2 sin 2 ( α 2 ) + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 sin 4 ( α 2 ) + ⋯ + [ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ] 2 sin 2 n ( α 2 ) + … } . {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots \right\}.} Период малых колебаний физического маятника [ править | править код ] Если α ≪ 1 {\displaystyle \alpha \ll 1} — случай малых максимальных угловых отклонений от равновесия | θ | < α {\displaystyle |\theta |<\alpha } — то sin θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } так как разложение синуса в ряд Маклорена sin θ ≈ θ − θ 3 / 3 … {\displaystyle \sin \theta \approx \theta -\theta ^{3}/3\dots } и уравнения движения переходит в уравнение гармонического осциллятора без трения:
λ d 2 θ d t 2 = − g θ . {\displaystyle \lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\theta .} Период колебания маятника в этом случае:
T = 2 π λ g . {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}.} В иной формулировке: если амплитуда колебаний α {\displaystyle \alpha } мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближённо равен единице. Такой интеграл легко берётся, и получается хорошо известная формула малых колебаний:
T = 2 π λ g = 2 π I m g h . {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgh}}}.} Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.
Следующий порядок приближения можно использовать с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) при углах отклонения до 1 радиана (≈57°):
T ≈ 2 π λ g ( 1 + 1 4 sin 2 ( α 2 ) ) = π 4 λ g ( 9 − cos α ) . {\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right)={\frac {\pi }{4}}{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left(9-\cos {\alpha }\right).}