Графики функций Gi и Hi Функции Скорера (присоединённые функции Эйри ) — специальные функции, введённые Р. Скорером в 1950 году[1] . Через них можно представить частные решения неоднородного дифференциального уравнения Эйри :
w ″ − z w = 1 π {\displaystyle w''-zw={\frac {1}{\pi }}} Частными решениями этого уравнения являются функции: − G i ( z ) {\displaystyle -\mathrm {Gi} (z)} , H i ( z ) {\displaystyle \mathrm {Hi} (z)} и H i ( z e ∓ 2 π i 3 ) e ∓ 2 π i 3 {\displaystyle \mathrm {Hi} (ze^{\mp {\frac {2\pi i}{3}}})e^{\mp {\frac {2\pi i}{3}}}} .
Функции Скорера можно представить через неберущиеся интегралы:
G i ( z ) = − 1 π ∫ 0 ∞ exp ( − t 3 3 − z t 2 ) cos ( 3 2 z t + 2 π 3 ) d t , H i ( z ) = 1 π ∫ 0 ∞ exp ( − t 3 3 + z t ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (z)&{}=-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}-{\frac {zt}{2}}\right)\cos \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}zt+{\frac {2\pi }{3}}\right)\,dt,\\\mathrm {Hi} (z)&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+zt\right)\,dt.\end{aligned}}} Для действительного аргумента:
G i ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ sin ( t 3 3 + x t ) d t , H i ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ exp ( − t 3 3 + x t ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.\end{aligned}}} Также функции Скорера могут быть выражены через функции Эйри:
G i ( z ) = B i ( z ) ∫ z ∞ A i ( t ) d t + A i ( z ) ∫ 0 z B i ( t ) d t , H i ( z ) = B i ( z ) ∫ − ∞ z A i ( t ) d t − A i ( z ) ∫ − ∞ z B i ( t ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (z)&{}=\mathrm {Bi} (z)\int _{z}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (z)\int _{0}^{z}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (z)&{}=\mathrm {Bi} (z)\int _{-\infty }^{z}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (z)\int _{-\infty }^{z}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}} Откуда, очевидно:
G i ( z ) + H i ( z ) = B i ( z ) . {\displaystyle \mathrm {Gi} (z)+\mathrm {Hi} (z)=\mathrm {Bi} (z).} Разложения функций Скорера в ряд Маклорена имеют следующий вид:
G i ( z ) = 3 − 2 3 π ∑ k = 0 ∞ cos ( 2 k − 1 3 π ) Γ ( k + 1 3 ) 3 k 3 z k k ! , H i ( z ) = 3 − 2 3 π ∑ k = 0 ∞ Γ ( k + 1 3 ) 3 k 3 z k k ! . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (z)&{}={\frac {3^{-{\frac {2}{3}}}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\cos \left({\frac {2k-1}{3}}\pi \right)\Gamma \left({\frac {k+1}{3}}\right){\frac {3^{\frac {k}{3}}z^{k}}{k!}}},\\\mathrm {Hi} (z)&{}={\frac {3^{-{\frac {2}{3}}}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\Gamma \left({\frac {k+1}{3}}\right){\frac {3^{\frac {k}{3}}z^{k}}{k!}}}.\end{aligned}}}