Точка в цилиндрических координатах. Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат , являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z {\displaystyle z} ), которая задаёт высоту точки над плоскостью.
Точка P {\displaystyle P} даётся как ( ρ , φ , z ) {\displaystyle (\rho ,\;\varphi ,\;z)} . В терминах прямоугольной системы координат :
ρ ⩾ 0 {\displaystyle \rho \geqslant 0} — расстояние от O {\displaystyle O} до P ′ {\displaystyle P'} , ортогональной проекции точки P {\displaystyle P} на плоскость X Y {\displaystyle XY} . Или то же самое, что расстояние от P {\displaystyle P} до оси Z {\displaystyle Z} . 0 ⩽ φ < 360 ∘ {\displaystyle 0\leqslant \varphi <360^{\circ }} — угол между осью X {\displaystyle X} и отрезком O P ′ {\displaystyle OP'} . z {\displaystyle z} равна аппликате точки P {\displaystyle P} . При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения ( ρ , φ , z ) {\displaystyle (\rho ,\;\varphi ,\;z)} .
Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось Z {\displaystyle Z} взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр (цилиндрическая поверхность) в прямоугольных координатах имеет уравнение x 2 + y 2 = c 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}} , а в цилиндрических — очень простое уравнение ρ = c {\displaystyle \rho =c} . Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».
Переход к другим системам координат [ править | править код ] 2 точки в цилиндрических координатах. Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.
Орты цилиндрической системы координат связаны с декартовыми ортами следующими соотношениями:
{ e → ρ = cos φ e → x + sin φ e → y , e → φ = − ρ sin φ e → x + ρ cos φ e → y , e → z = e → z , {\displaystyle {\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }=\cos \varphi {\vec {e}}_{x}+\sin \varphi {\vec {e}}_{y},\\{\vec {e}}_{\varphi }=-\rho \sin \varphi {\vec {e}}_{x}+\rho \cos \varphi {\vec {e}}_{y},\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z},\end{cases}}}
и образуют правую тройку:
{ e → ρ × e → φ = e → z , e → z × e → ρ = e → φ , e → φ × e → z = e → ρ . {\displaystyle {\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z},\\{\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{\rho }={\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{\varphi }\times {\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{\rho }.\end{cases}}}
Обратные соотношения имеют вид:
{ e → x = cos φ e → ρ − sin φ e → φ , e → y = sin φ e → ρ + cos φ e → φ , e → z = e → z . {\displaystyle {\begin{cases}{\vec {e}}_{x}=\cos \varphi {\vec {e}}_{\rho }-\sin \varphi {\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{y}=\sin \varphi {\vec {e}}_{\rho }+\cos \varphi {\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z}.\end{cases}}}
Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:
{ x = ρ cos φ , y = ρ sin φ , z = z . {\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ,\\y=\rho \sin \varphi ,\\z=z.\end{cases}}} Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:
{ ρ = x 2 + y 2 , φ = a r c t g ( y x ) , z = z . {\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {y}{x}}\right),\\z=z.\end{cases}}} Якобиан равен:
J = ρ . {\displaystyle J=\rho .} Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:
g i j = ( 1 0 0 0 ρ 2 0 0 0 1 ) , g i j = ( 1 0 0 0 1 / ρ 2 0 0 0 1 ) . {\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.} Квадрат дифференциала длины кривой d s 2 = d ρ 2 + ρ 2 d φ 2 + d z 2 . {\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+dz^{2}.} H ρ = 1 , H φ = ρ , H z = 1. {\displaystyle H_{\rho }=1,\quad H_{\varphi }=\rho ,\quad H_{z}=1.} Γ 22 1 = − ρ , Γ 21 2 = Γ 12 2 = 1 ρ . {\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-\rho ,\quad \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{\rho }}.} Остальные равны нулю.
Градиент в цилиндрической системе координат:
g r a d ψ = e → ρ ∂ ψ ∂ ρ + e → φ 1 ρ ∂ ψ ∂ φ + e → z ∂ ψ ∂ z . {\displaystyle \mathrm {grad} \,\psi ={\vec {e}}_{\rho }{\frac {\partial \psi }{\partial \rho }}+{\vec {e}}_{\varphi }{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \psi }{\partial \varphi }}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}.} Лапласиан в цилиндрической системе координат:
Δ ψ = 1 ρ ∂ ∂ ρ ( ρ ∂ ψ ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ∂ 2 ψ ∂ φ 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta \psi ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial \psi }{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.} Дивергенция в цилиндрической системе координат:
d i v a → = 1 ρ ∂ ρ a ρ ∂ ρ + 1 ρ ∂ a φ ∂ φ + ∂ a z ∂ z . {\displaystyle \mathrm {div} \,{\vec {a}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho a_{\rho }}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}.} Ротор в цилиндрической системе координат:
r o t a → = d e t ( 1 ρ e → ρ e → φ 1 ρ e → z ∂ ∂ ρ ∂ ∂ φ ∂ ∂ z a ρ ρ a φ a z ) = e → ρ ( 1 ρ ∂ a z ∂ φ − ∂ a φ ∂ z ) + e → φ ( ∂ a ρ ∂ z − ∂ a z ∂ ρ ) + e → z ( 1 ρ ∂ ρ a φ ∂ ρ − 1 ρ ∂ a ρ ∂ φ ) . {\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {a}}=\mathrm {det} {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{\rho }&{\vec {e}}_{\varphi }&{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\a_{\rho }&\rho a_{\varphi }&\ a_{z}\end{pmatrix}}={\vec {e}}_{\rho }\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial z}}\right)+{\vec {e}}_{\varphi }\left({\frac {\partial a_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial a_{z}}{\partial \rho }}\right)+{\vec {e}}_{z}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho a_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\rho }}{\partial \varphi }}\right).} r ( t ) = ρ e → ρ + z e → z {\displaystyle r(t)=\rho {\vec {e}}_{\rho }+z{\vec {e}}_{z}}
r ˙ ( t ) = ρ ˙ e → ρ + ρ φ ˙ e → φ + z ˙ e → z {\displaystyle {\dot {r}}(t)={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}}
r ¨ ( t ) = ( ρ ¨ − ρ φ ˙ 2 ) e → ρ + ( 2 ρ ˙ φ ˙ + φ ¨ ρ ) e → φ + z ¨ e → z {\displaystyle {\ddot {r}}(t)=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}){\vec {e}}_{\rho }+(2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}+{\ddot {\varphi }}\rho ){\vec {e}}_{\varphi }+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{z}}
Халилов В.Р., Чижов Г.А., Динамика классических систем: Учеб. пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1993. — 352 с. Название координат Типы систем координат Двумерные координаты Трёхмерные координаты n {\displaystyle n} -мерные координатыФизические координаты Связанные определения