Электрический импеданс — Википедия

Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм
Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал
Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Магнитная индукция
Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле
Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс
Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток
См. также: Портал:Физика

Электри́ческий импеда́нс (ко́мплексное электри́ческое сопротивле́ние^[1][2]) (англ. impedance от лат. impedio «препятствовать») — комплексное сопротивление между двумя узлами цепи или двухполюсника для гармонического сигнала.

Понятие и термин ввёл физик и математик О. Хевисайд в 1886 году^[3][4].

Аналогия с электрическим сопротивлением проводника на примере резистора[править | править код]

Резистор — пассивный элемент, обладающий исключительно активным сопротивлением. Реактивная составляющая комплексного сопротивления резистора равна нулю, так как соотношение между напряжением на резисторе и током через него не зависит от частоты тока/напряжения, а также из-за того, что резистор является пассивным элементом (поскольку не содержит внутренних источников энергии). Если к его концам приложить некоторое напряжение ${\displaystyle U}$ (подсоединить источник напряжения), то через резистор пойдёт электрический ток ${\displaystyle I.}$ Если через резистор пропустить электрический ток ${\displaystyle I}$ (подсоединить источник тока), то между концами резистора возникнет падение напряжения ${\displaystyle U.}$ Резистор характеризуется электрическим сопротивлением, которое равно отношению напряжения ${\displaystyle U,}$ к току ${\displaystyle I}$ (см. закон Ома для участка цепи):

${\displaystyle R={\frac {U}{I}}.}$

Применение понятия «электрическое сопротивление» к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) при постоянном токе приводит к тому, что:

• сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю:

если пропустить через идеальную катушку индуктивности некоторый постоянный ток I, то при любом значении I, падение напряжения на катушке будет нулевым:

${\displaystyle U=0;}$

${\displaystyle R={\frac {U}{I}}={\frac {0}{I}}=0;}$

• сопротивление идеального конденсатора стремится к бесконечности:

если приложить к конденсатору некоторое постоянное напряжение ${\displaystyle U,}$ то при любом значении ${\displaystyle U,}$ ток через конденсатор будет нулевым:

${\displaystyle I=0;}$

${\displaystyle R={\frac {U}{I}}={\frac {U}{0}}=\infty .}$

Это справедливо лишь для постоянного тока и напряжения. В случае же приложения к реактивному элементу переменного тока и напряжения, свойства реактивных элементов существенно иные:

• напряжение между выводами катушки индуктивности не равно нулю;
• ток, протекающий через конденсатор, не будет равен нулю.

Такое поведение не может быть описано в терминах активного сопротивления для постоянного тока, поскольку активное сопротивление предполагает постоянное, не зависящее от времени соотношение тока и напряжения, то есть отсутствие фазовых сдвигов между током и напряжением.

Было бы удобно иметь некоторый параметр, аналогичный активному сопротивлению и для реактивных элементов, который бы связывал ток и напряжение на них подобно активному сопротивлению в формуле закона Ома для постоянного тока.

Такую характеристику можно ввести, если рассмотреть свойства реактивных элементов при воздействиях на них гармонических сигналов. В этом случае ток и напряжение оказываются связаны некой константой (подобной в некотором смысле активному сопротивлению), которая и получила название «электрический импеданс» (или просто «импеданс»). При рассмотрении импеданса используется комплексное представление гармонических сигналов, поскольку именно в таком представлении одновременно учитываются и амплитудные, и фазовые характеристики гармонических сигналов и откликов систем на гармоническое воздействие.

Определение[править | править код]

Импедансом ${\displaystyle {\hat {z}}(j\omega )\;}$ называется отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала, прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через двухполюсник в установившемся режиме, то есть после завершения переходных процессов. Для линейных пассивных цепей с постоянными параметрами в установившемся режиме импеданс не зависит от времени. Если время ${\displaystyle t}$ в математическом выражении для импеданса не сокращается, значит, для данного двухполюсника понятие импеданса неприменимо.

${\displaystyle {\hat {z}}(j\omega )\;={\frac {{\hat {u}}(j\omega ,t)\;}{{\hat {i}}(j\omega ,t)\;}}={\frac {U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}}{I(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{i}(\omega ))}}}={\frac {U(\omega )e^{j\phi _{u}(\omega )}}{I(\omega )e^{j\phi _{i}(\omega )}}}={\frac {{\hat {U}}(j\omega )\;}{{\hat {I}}(j\omega )\;}},}$

(1)

где ${\displaystyle j}$ — мнимая единица^[5];

${\displaystyle \omega }$ — циклическая (круговая) частота;

${\displaystyle U(\omega ),~I(\omega )}$ — амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ${\displaystyle \omega ;}$

${\displaystyle \phi _{u}(\omega ),~\phi _{i}(\omega )}$ — фазы напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ${\displaystyle \omega ;}$

${\displaystyle {\hat {U}}(j\omega ),~{\hat {I}}(j\omega )\;}$ — комплексные амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ${\displaystyle \omega .}$

Исторически сложилось, что в электротехнике обозначение импеданса, комплексных амплитуд и других комплексных функций частоты записывают как ${\displaystyle f(j\omega ),}$ а не ${\displaystyle f(\omega ).}$ Такое обозначение подчёркивает, что используются комплексные представления гармонических функций вида ${\displaystyle e^{j\omega t}.}$ Кроме того, над символом, обозначающим комплексный сигнал или комплексный импеданс, обычно ставят «домик» или точку: ${\displaystyle {\dot {U}}(j\omega )\;}$ чтобы отличать от соответствующих действительных величин.

Физический смысл[править | править код]

Алгебраическая форма[править | править код]

Если рассматривать комплексный импеданс как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует активному сопротивлению, а мнимая — реактивному. То есть двухполюсник с импедансом ${\displaystyle {\hat {z}}(j\omega )\;}$ можно рассматривать как последовательно соединенные резистор с сопротивлением ${\displaystyle \Re ({\hat {z}}(j\omega ))}$ и чисто реактивный элемент с импедансом ${\displaystyle \Im ({\hat {z}}(j\omega )).}$

Рассмотрение действительной части полезно при расчёте мощности, выделяемой в двухполюснике, поскольку мощность выделяется только на активном сопротивлении.

Тригонометрическая форма[править | править код]

Если рассматривать импеданс как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует отношению амплитуд напряжения и тока (сдвиг фаз не учитывается), а аргумент — сдвигу фазы между током и напряжением, то есть на сколько фаза тока отстаёт от фазы напряжения или опережает.

Ограничения[править | править код]

Понятие импеданса в классической форме применимо, если при приложении к двухполюснику гармонического напряжения, ток, вызванный этим напряжением, также гармонический той же частоты. Для этого необходимо и достаточно, чтобы двухполюсник был линейным и его параметры не менялись со временем и закончились переходные процессы. Если это условие не выполнено, то импеданс не может быть найден по следующей причине: невозможно получить выражение для импеданса, не зависящее от времени ${\displaystyle t,}$ поскольку при вычислении импеданса множитель ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ в (1) не сокращается.

• Однако и для линейных двухполюсников (для которых зависимость от времени сокращается) импеданс всё же зависит от частоты (за исключением случая когда двухполюсник сводится к схеме из одних резисторов и импеданс оказывается действительной величиной).

Практически это означает, что импеданс может быть вычислен для любого двухполюсника, состоящего из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, то есть из линейных пассивных элементов. Также импеданс хорошо применим для активных цепей, линейных в широком диапазоне входных сигналов (например, цепи на основе операционных усилителей). Для цепей, импеданс которых не может быть найден в силу указанного выше ограничения, бывает полезным найти импеданс в малосигнальном приближении — для бесконечно малой амплитуды сигнала для конкретной рабочей точки. Для этого необходимо перейти к эквивалентной схеме и искать импеданс для неё.

Обобщённый импеданс в s-плоскости и преобразование Лапласа[править | править код]

Импедансы, определённые через комплексную частоту ${\displaystyle j\omega ,}$ позволяют вычислять частотный отклик некоторой линейной цепи, возбуждаемой гармоническим сигналом, причём только в установившемся режиме. Для расчёта отклика цепи на сигнал, произвольно изменяющийся во времени применяется обобщённый импеданс — функции комплексной переменной ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ и отклик цепи во временно́й области вычисляется через обратное преобразование Лапласа, причём в таких вычислениях возбуждающий сигнал ${\displaystyle f_{in}(t)}$ из временного представления должен быть предварительно преобразован в комплексное представление ${\displaystyle F_{t}(s)}$ через прямое преобразование Лапласа:

${\displaystyle F_{t}(s)=\int _{0}^{\infty }f_{in}(t)e^{-st}\,dt.}$

Комплексный отклик системы выражается обычным способом через преобразованное комплексное представление возбуждающего сигнала и комплексную передаточную функцию системы ${\displaystyle H(s):}$

${\displaystyle F_{t,H}(s)=H(s)\ F_{t}(s).}$

Двухполюсник	Обобщённый импеданс
Резистор	${\displaystyle R\,}$
Катушка индуктивности	${\displaystyle sL\,}$
Конденсатор	${\displaystyle {\frac {1}{sC}}\,}$

Комплексная передаточная функция вычисляется обычным методом расчёта электрических цепей, например, по правилам Кирхгофа, в формулы в качестве сопротивлений подставляются обобщённые импедансы. Обобщённые импедансы пассивных двухполюсников приведены в таблице. Например, обобщённый импеданс цепи, состоящей из последовательно включённых резистора и катушки индуктивности будет ${\displaystyle R+sL.}$

Отклик цепи во временно́й области вычисляется обратным преобразованием Лапласа:

${\displaystyle f_{F,H}(t)={\mathcal {L}}^{-1}[H(s)\ F_{t}(s)]={\frac {1}{2\pi j}}\int \limits _{\sigma _{1}-j\cdot \infty }^{\sigma _{1}+j\cdot \infty }e^{st}H(s)\ F_{t}(s)\,ds,}$

где ${\displaystyle \sigma _{1}\ }$ — некоторое вещественное число, выбираемое из условий сходимости интеграла.

Пример вычисления временно́го отклика RC-фильтра нижних частот на ступенчатое возмущение

Простейший фильтр нижних частот 1-го порядка изображён на рисунке и состоит из последовательно соединённых резистора и конденсатора, образующего делитель напряжения для входного сигнала где выходной сигнал снимается с конденсатора, обобщённый комплексный коэффициент передачи ${\displaystyle H_{RC}(s)}$ такого делителя:

${\displaystyle H_{RC}(s)={\frac {1/sC}{R+1/sC}}={\frac {1}{sRC+1}}={\frac {1}{sT+1}},}$

где обозначено ${\displaystyle T=RC}$ — постоянная времени RС-цепи.

Ступенчатый входной сигнал ${\displaystyle U_{e}(t)}$ можно выразить через функцию Хевисайда ${\displaystyle h(t):}$

${\displaystyle U_{e}(t)=U_{0}\ h(t),}$

где ${\displaystyle U_{0}}$ — амплитуда ступеньки.

Преобразование Лапласа входного сигнала:

${\displaystyle F_{in}(s)={\mathcal {L}}[U_{0}\ h(t)]=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-st}\,U_{0}\,h(t)\,dt=U_{0}/s.}$

Выходной сигнал ${\displaystyle U_{a}(t):}$

${\displaystyle U_{a}(t)={\mathcal {L}}^{-1}[H_{RC}(s)\ F_{in}(s)]={\frac {1}{2\pi j}}\int \limits _{\sigma _{1}-j\cdot \infty }^{\sigma _{1}+j\cdot \infty }e^{st}{\frac {1}{sT+1}}\cdot {\frac {U_{0}}{s}}\,ds=U_{0}(1-e^{-t/T}).}$

Таким образом, получен отклик цепи при нулевом начальном условии (${\displaystyle U_{C}=0}$ при ${\displaystyle t=0}$), такой же, как и при применении другого метода расчёта, например, из решения обыкновенного дифференциального уравнения.

Для практического применения расчёта цепей (и других расчётов) составлены подробные таблицы прямого и обратного преобразования Лапласа многих часто встречающихся при расчётах функций.

Комбинируя преобразование Лапласа с использованием его свойств и интеграл Дюамеля обычно относительно легко найти отклики во временной области самых различных линейных электрических цепей.

Вычисление импеданса[править | править код]

Идеальные элементы[править | править код]

Резистор[править | править код]

Для резистора импеданс всегда равен его сопротивлению ${\displaystyle R}$ и не зависит от частоты:

${\displaystyle z_{R}=R.}$

(2)

Конденсатор[править | править код]

Ток и напряжение для конденсатора связаны соотношением:

${\displaystyle i(t)=C{\frac {dU}{dt}}.}$

(3)

Отсюда следует, что при напряжении

${\displaystyle {\hat {u}}(j\omega ,t)=U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}}$

(4)

ток, текущий через конденсатор, будет равен:

${\displaystyle {\hat {i}}(j\omega ,t)=C{\frac {d}{dt}}\left(U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}\right)=j\omega CU(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}.}$

(5)

После подстановки (4) и (5) в (1) получаем:

${\displaystyle {\hat {z}}_{C}(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}=-{\frac {j}{\omega C}}.}$

(6)

Катушка индуктивности[править | править код]

Аналогичное рассмотрение для катушки индуктивности приводит к результату:

${\displaystyle {\hat {z}}_{L}(j\omega )\;=j\omega L.}$

(7)

Общий случай[править | править код]

Для произвольного двухполюсника, состоящего из элементов с известным импедансом, нет необходимости производить приведённые выше вычисления с целью нахождения импеданса. Импеданс находится по обычным правилам расчёта сопротивления сложной цепи, то есть используются формулы для сопротивления при параллельном и последовательном соединении резисторов. При этом все математические операции производятся по правилам действий над комплексными числами. Например, импеданс идеальных последовательно соединённых резистора, конденсатора и катушки индуктивности будет равен:

${\displaystyle {\hat {Z}}(j\omega )\ =R+{\frac {1}{j\omega C}}+j\omega L=R-{\frac {j}{\omega C}}+j\omega L=R+j\left(-{\frac {1}{\omega C}}+\omega L\right).}$

(8)

Экспериментальное измерение импеданса[править | править код]

Прямое измерение импеданса требует измерения амплитуд синусоидальных напряжения и тока изучаемого двухполюсника, и одновременного измерения сдвига фазы между ними.

Импеданс также часто измеряют компенсационными методами с помощью мостов переменного тока, подобными мосту Уитстона для постоянного тока, при таких измерениях мост балансируют изменением эталонных реактивного и активного элементов, по величине реактивного и активного сопротивления эталонных элементов, требуемого для балансировки моста, определяется измеряемый импеданс.

В силовых устройствах измерение импеданса может потребовать одновременного измерения и подачи питания на работающее устройство.

Измерение импеданса устройств и линий передач является практической задачей в радиотехнике и других областях.

Измерения импеданса обычно проводятся на одной частоте, но если требуется определить зависимость импеданса от частоты, то измерения проводят на нескольких частотах в нужном диапазоне частот.

Активная и реактивная составляющие импеданса обычно выражают в омах. Однако, для характеризации антенн, линиях передачи, СВЧ электронных устройств обычно более удобно использовать связанные с ним S-параметры, коэффициент стоячей волны или коэффициент отражения.

Сопротивление устройства можно рассчитать путём деления комплексных напряжения и тока. Полное сопротивление устройства рассчитывается путём подачи синусоидального напряжения на устройство последовательно с эталонным резистором и измерения напряжений на резисторе и на самом устройстве. Выполнение этого измерения на нескольких частотах тестирующего сигнала обеспечивает определение фазового сдвига и величины импеданса^[6].

Измерение отклика исследуемой цепи на импульсный тестирующий сигнал можно использовать в сочетании с быстрым преобразованием Фурье для измерения импеданса различных электрических устройств^[6].

LCR-измеритель (индуктивность L, ёмкость C и сопротивление R) или измеритель иммитанса — это устройство, обычно используемое для измерения индуктивности, сопротивления и ёмкости компонента. Из этих значений можно рассчитать полное сопротивление на любой частоте.

Применение понятия импеданса[править | править код]

Введение импеданса позволяет описывать поведение двухполюсника с реактивными свойствами при воздействии на него гармонического сигнала. Кроме того, в случае негармонического сигнала импеданс применяется столь же успешно. Для этого применяется преобразование Лапласа, либо сигнал раскладывается на спектральные компоненты при помощи ряда Фурье (или преобразования Фурье) и рассматривается воздействие каждой спектральной компоненты. Вследствие линейности двухполюсника сумма откликов на спектральные компоненты равна отклику на исходный негармонический сигнал .

См. также[править | править код]

• Внутреннее сопротивление
• Адмиттанс
• АФЧХ

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. — 9-е изд. — М.: Высшая школа, 1996.
• Графов Б. М., Укше Е. А. Электрохимические цепи переменного тока. — М.: Наука, 1983.