Імовірний інтервал — Вікіпедія

Імові́рний інтерва́л (англ. credible interval) у баєсовій статистиці — це інтервал в області визначення апостерірного розподілу ймовірності або передбачуваного розподілу^[en], що застосовується для інтервальної оцінки^[en].^[1] Його узагальненням для багатовимірних задач є імові́рний регіо́н (англ. credible region). Імовірні інтервали аналогічні довірчим інтервалам у частотній статистиці,^[2] хоча вони й різняться філософськими засадами;^[3] баєсові інтервали трактують свої межі як фіксовані, а оцінюваний параметр як випадкову змінну, тоді як частотні довірчі інтервали трактують свої межі як випадкові змінні, а параметр — як фіксовану величину.

Наприклад, в експерименті, що визначає розподіл невизначеності параметра $t$ , якщо ймовірністю того, що $t$ лежить між 35 та 45, є 0.95, то $35\leq t\leq 45$ є 95-відсотковим імовірним інтервалом.

Вибір імовірного інтервалу[ред. | ред. код]

Імовірні інтервали не є унікальними на апостеріорному розподілі. Методи визначення зручних імовірних інтервалів включають:

Обрання найвужчого інтервалу, що для одномодового розподілу охопить значення із найбільшою густиною ймовірності, включно з модою. Його іноді називають інтерва́лом найви́щої апостеріо́рної густини́ (англ. highest posterior density interval).
Обрання інтервалу, для якого ймовірність знаходження перед ним є настільки ж правдоподібною, як і знаходження після нього. Цей інтервал включатиме медіану. Його іноді називають рівнохво́стим інтерва́лом (англ. equal-tailed interval).
За умови існування середнього значення, обрання інтервалу, для якого середнє значення є центральною точкою.

Є можливим сформулювати вибір імовірного інтервалу в теорії рішень, і в цьому контексті оптимальний інтервал завжди буде множиною найбільшої густини ймовірності.^[4]

Відмінності від довірчого інтервалу[ред. | ред. код]

Частотний 95-відсотковий довірчий інтервал (англ. confidence interval) означає, що при великій кількості повторюваних проб 95% обчислюваних таким чином довірчих інтервалів включатимуть істинне значення параметра. Ймовірність того, що параметр знаходиться всередині заданого інтервалу (скажімо, 35—45), є або 0, або 1 (не випадковий невідомий параметр є або там, або ні). Із частотної точки зору параметр є фіксованим (не може розглядатися як такий, що має розподіл можливих значень), а довірчий інтервал є випадковим (оскільки він залежить від випадкової вибірки). Антельман (1997, С. 375) резюмує, що [95-відсотковий] довірчий інтервал це «… один інтервал, що згенеровано процедурою, яка даватиме правильні інтервали в 95% випадків».^[5]

У загальному випадку баєсові ймовірні інтервали не приймають однакового значення з частотними довірчими інтервалами, з двох причин:

імовірні інтервали включають контексту інформацію з апріорного розподілу, що враховує характерні особливості задачі, тоді як довірчі інтервали ґрунтуються лише на даних;
імовірні інтервали та довірчі інтервали трактують завадні параметри^[en] докорінно відмінними шляхами.

У випадку єдиного параметра, та даних, що може бути зведено до єдиної достатньої статистики, може бути показано, що імовірні інтервали та довірчі інтервали дійсно прийматимуть однакове значення, якщо невідомий параметр є коефіцієнтом зсуву (тобто послідовна функція ймовірності має вигляд $\mathrm {Pr} (x|\mu )=f(x-\mu )$ ) з апріорним, що є рівномірним пласким розподілом;^[6] а також якщо невідомий параметр є коефіцієнтом масштабу (тобто послідовна функція ймовірності має вигляд $\mathrm {Pr} (x|s)=f(x/s)$ ) з апріорним розподілом Джеффріса^[en] $\mathrm {Pr} (s|I)\;\propto \;1/s$ ^[6] — крайнє з тієї причини, що взяття логарифма такого коефіцієнту масштабу перетворює його на коефіцієнт зсуву з рівномірним розподілом. Але ці випадки є виразно особливими (хоча й важливими); в цілому ж встановити таку еквівалентність неможливо.

Примітки[ред. | ред. код]

↑ Edwards, Ward, Lindman, Harold, Savage, Leonard J. (1963) «Bayesian statistical inference in psychological research». Psychological Review, 70, 193–242 (англ.)
↑ Lee, P.M. (1997) Bayesian Statistics: An Introduction, Arnold. ISBN 0-340-67785-6 (англ.)
↑ Frequentism and Bayesianism. Архів оригіналу за 19 серпня 2015. Процитовано 1 вересня 2015. (англ.)
↑ O'Hagan, A. (1994) Kendall's Advanced Theory of Statistics, Vol 2B, Bayesian Inference, Section 2.51. Arnold, ISBN 0-340-52922-9 (англ.)
↑ Antelman, G. (1997) Elementary Bayesian Statistics (Madansky, A. & McCulloch, R. eds.). Cheltenham, UK: Edward Elgar ISBN 978-1-85898-504-6 (англ.)
↑ ^а ^б Jaynes, E. T. (1976). «Confidence Intervals vs Bayesian Intervals [Архівовано 6 травня 2011 у Wayback Machine.]», in Foundations of Probability Theory, Statistical Inference, and Statistical Theories of Science, (W. L. Harper and C. A. Hooker, eds.), Dordrecht: D. Reidel, pp. 175 et seq (англ.)

[1] Edwards, Ward, Lindman, Harold, Savage, Leonard J. (1963) «Bayesian statistical inference in psychological research». Psychological Review, 70, 193–242 (англ.)

[2] Lee, P.M. (1997) Bayesian Statistics: An Introduction, Arnold. ISBN 0-340-67785-6 (англ.)

[3] Frequentism and Bayesianism. Архів оригіналу за 19 серпня 2015. Процитовано 1 вересня 2015. (англ.)

[4] O'Hagan, A. (1994) Kendall's Advanced Theory of Statistics, Vol 2B, Bayesian Inference, Section 2.51. Arnold, ISBN 0-340-52922-9 (англ.)

[5] Antelman, G. (1997) Elementary Bayesian Statistics (Madansky, A. & McCulloch, R. eds.). Cheltenham, UK: Edward Elgar ISBN 978-1-85898-504-6 (англ.)

[Jaynes_1976-6] а ^б Jaynes, E. T. (1976). «Confidence Intervals vs Bayesian Intervals [Архівовано 6 травня 2011 у Wayback Machine.]», in Foundations of Probability Theory, Statistical Inference, and Statistical Theories of Science, (W. L. Harper and C. A. Hooker, eds.), Dordrecht: D. Reidel, pp. 175 et seq (англ.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]