Баєсова оцінка — Вікіпедія

Ця стаття містить перелік посилань, але походження тверджень у ній залишається незрозумілим через практично повну відсутність внутрішньотекстових джерел-виносок. Будь ласка, допоможіть поліпшити цю статтю, перетворивши джерела з переліку посилань на джерела-виноски у самому тексті статті. (червень 2015)

Частина з циклу Статистика
Баєсова статистика
Теорія
Апостеріорна ймовірність Апостеріорний прогнозний розподіл[en] Апріорна ймовірність Баєсів інформаційний критерій Баєсова ефективність[en] Баєсова ймовірність Баєсова мережа Баєсове висновування Гіперапріорний розподіл[en] Гіперпараметр Емпіричний баєсів метод[en] Імовірний інтервал Інтерпретації ймовірності Коефіцієнт Баєса Оцінка апостеріорного максимуму Правдоподібність Правило Баєса Правило Кромвеля[en] Прийнятне правило рішення[en] Принцип максимальної ентропії[en] Принцип недостатнього обґрунтування[en] Спряжений апріорний розподіл Теорема Баєса Теорема Бернштайна — фон Мізеса[de]
Методи
Баєсова лінійна регресія Баєсова оцінка Приблизне баєсове обчислення
п о р

У теорії оцінювання та теорії рішень ба́єсова оці́нка або ба́єсова дія є оцінкою або правилом ухвалення рішення^[en], що мінімізує апостеріорне математичне сподівання функції втрат (тобто, апостеріо́рні очі́кувані втра́ти). Рівносильно, вона максимізує апостеріорне математичне сподівання функції корисності. Альтернативним способом формулювання оцінки в баєсовій статистиці є оцінка апостеріорного максимуму.

Визначення[ред. | ред. код]

Припустімо, нам відомо, що невідомий параметр θ має апріорний розподіл ${\displaystyle \pi }$. Нехай ${\displaystyle {\widehat {\theta }}={\widehat {\theta }}(x)}$ буде оцінкою θ (на підставі первних вимірювань x), та нехай ${\displaystyle L(\theta ,{\widehat {\theta }})}$ буде функцією втрат, наприклад, квадратичною похибкою. Ба́єсів ри́зик ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ визначають як ${\displaystyle E_{\pi }(L(\theta ,{\widehat {\theta }}))}$, де береться математичне сподівання від розподілу ймовірності ${\displaystyle \theta }$: це визначає функцію ризику як функцію від ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$. Про оцінку ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ кажуть, що вона є баєсовою оцінкою, якщо вона мінімізує баєсів ризик серед усіх оцінок. Рівноцінно, оцінка, що мінімізує апостеріорне математичне сподівання втрат ${\displaystyle E(L(\theta ,{\widehat {\theta }})|x)}$ для кожного x також мінімізує й баєсів ризик, а отже є баєсовою оцінкою.^[1]

Якщо апріорне є некоректним, то оцінка, що мінімізує апостеріорне математичне сподівання втрат для кожного x, називається узага́льненою ба́єсовою оці́нкою.^[2]

Приклади[ред. | ред. код]

Оцінка мінімальної середньоквадратичної похибки[ред. | ред. код]

Найпоширенішою функцією ризику, що застосовується для баєсової оцінки, є середньоквадратична похибка (СКП, англ. mean square error, MSE), що також називають квадратичним ризиком похибки. СКП визначається як

${\displaystyle \mathrm {MSE} =E\left[({\widehat {\theta }}(x)-\theta )^{2}\right],}$

де математичне сподівання береться над спільним розподілом ${\displaystyle \theta }$ та ${\displaystyle x}$.

Апостеріорне середнє[ред. | ред. код]

При використанні СКП як ризику баєсова оцінка невідомого параметру є просто середнім значенням апостеріорного розподілу,^[3]

${\displaystyle {\widehat {\theta }}(x)=E[\theta |x]=\int \theta p(\theta |x)\,d\theta .}$

Це відомо як оцінка мінімальної середньоквадратичної похибки (МСКП, англ. minimum mean square error, MMSE). Баєсів ризик у цьому випадку є апостеріорною дисперсією.

Баєсові оцінки для спряжених апріорних[ред. | ред. код]

Якщо немає неусувної підстави віддавати перевагу одному апріорному розподілові перед іншим, іноді для спрощення обирають спряжений апріорний розподіл. Спряжений апріорний розподіл визначається як апріорний розподіл, що належить до параметричного сімейства^[en], для якого результатний апостеріорний розподіл також належить до цього ж сімейства. Це є важливою властивістю, оскільки баєсову оцінку, так само як і її статистичні властивості (дисперсію, довірчий інтервал тощо), може бути виведено з апостеріорного розподілу.

Спряжені апріорні є особливо зручними для послідовного оцінювання, коли апостеріорне поточного вимірювання використовується як апріорне в наступному вимірюванні. У послідовному оцінюванні, якщо не використовуються спряжені апріорні, апостеріорний розподіл типово стає складнішим із кожним доданим вимірюванням, і баєсову оцінку зазвичай неможливо обчислювати без удавання до чисельних методів.

Нижче наведено деякі приклади спряжених апріорних.

• Якщо x|θ є нормальним, x|θ ~ N(θ,σ²) та апріорне є нормальним, θ ~ N(μ,τ²), тоді апостеріорне також є нормальним, а баєсова оцінка при СКП задається як

${\displaystyle {\widehat {\theta }}(x)={\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\mu +{\frac {\tau ^{2}}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}x.}$

• Якщо x₁,…,x_n є незалежними однаково розподіленими пуассонівськими випадковими змінними x_i|θ ~ P(θ), та апріорне є гамма-розподіленим θ ~ G(a, b), тоді апостеріорне є також гамма-розподіленим, а баєсова оцінка при СКП задається як

${\displaystyle {\widehat {\theta }}(X)={\frac {n{\overline {X}}+a}{n+{\frac {1}{b}}}}.}$

• Якщо x₁,…,x_n є незалежними однаково розподіленими неперервними рівномірними x_i|θ~U(0,θ), а апріорне є паретівським θ~Pa(θ₀,a), тоді апостеріорне також має розподіл Парето, а баєсова оцінка при СКП задається як

${\displaystyle {\widehat {\theta }}(X)={\frac {(a+n)\max {(\theta _{0},x_{1},...,x_{n})}}{a+n-1}}.}$

Альтернативні функції ризику[ред. | ред. код]

Функції ризику обираються в залежності від способу вимірювання відстані між оцінкою та невідомим параметром. Найпоширенішою функцією ризику у вжитку є СКП, головно завдяки її простоті. Проте іноді використовуються й альтернативні функції ризику. Далі наведено декілька прикладів таких альтернатив. Ми позначаємо функцію апостеріорного узагальненого розподілу через ${\displaystyle F}$.

Апостеріорна медіана та інші квантилі[ред. | ред. код]

• «Лінійна» функція втрат, з ${\displaystyle a>0}$, що видає як баєсову оцінку апостеріорну медіану:

${\displaystyle L(\theta ,{\widehat {\theta }})=a|\theta -{\widehat {\theta }}|}$

${\displaystyle F({\widehat {\theta }}(x)|X)={\tfrac {1}{2}}.}$

• Інша «лінійна» функція втрат, що призначає різну «вагу» ${\displaystyle a,b>0}$ для пере- та недооцінки. Вона видає квантиль апостеріорного розподілу, і є узагальненням попередньої функції втрат:

${\displaystyle L(\theta ,{\widehat {\theta }})={\begin{cases}a|\theta -{\widehat {\theta }}|,&{\mbox{for }}\theta -{\widehat {\theta }}\geq 0\\b|\theta -{\widehat {\theta }}|,&{\mbox{for }}\theta -{\widehat {\theta }}<0\end{cases}}}$

${\displaystyle F({\widehat {\theta }}(x)|X)={\frac {a}{a+b}}.}$

Апостеріорна мода[ред. | ред. код]

• Наступна функція втрат є хитрішою: вона видає або апостеріорну моду, або близьку до неї точку, в залежності від кривизни та властивостей апостеріорного розподілу. Малі значення параметру ${\displaystyle K>0}$ рекомендуються для того, щоби використовувати цю моду як наближення (${\displaystyle L>0}$):

${\displaystyle L(\theta ,{\widehat {\theta }})={\begin{cases}0,&{\mbox{for }}|\theta -{\widehat {\theta }}|<K\\L,&{\mbox{for }}|\theta -{\widehat {\theta }}|\geq K.\end{cases}}}$

Може бути задумано й інші функції втрат, незважаючи на те, що середньоквадратична похибка є найширше вживаною й перевіреною.

Узагальнені баєсові оцінки[ред. | ред. код]

Апріорний розподіл ${\displaystyle p}$ досі вважався правильним розподілом ймовірності, в тому сенсі, що

${\displaystyle \int p(\theta )d\theta =1.}$

Проте іноді це може бути обмежувальною вимогою. Наприклад, не існує розподілу (що покриває множину R усіх дійсних чисел), для якого будь-яке дійсне число є однаково ймовірним. Ще, у певному сенсі, такий «розподіл» виглядає як природний вибір неінформативного апріорного, тобто такий апріорний розподіл, що не віддає переваги жодному конкретному значенню невідомого параметра. Все ще можна визначити функцію ${\displaystyle p(\theta )=1}$, але вона вже не буде коректним апріорним розподілом ймовірності, оскільки вона має нескінченну масу,

${\displaystyle \int {p(\theta )d\theta }=\infty .}$

Такі міри ${\displaystyle p(\theta )}$, що не є розподілами ймовірності, називаються некоректними апріорними.

Використання некоректного апріорного означає, що баєсів ризик є невизначеним (оскільки апріорне не є розподілом ймовірності, й ми не можемо взяти його математичне сподівання). Як наслідок, вже немає сенсу говорити про баєсову оцінку, що мінімізує баєсів ризик. Тим не менш, у багатьох випадках можна визначити апостеріорний розподіл

${\displaystyle p(\theta |x)={\frac {p(x|\theta )p(\theta )}{\int p(x|\theta )p(\theta )d\theta }}.}$

Це є визначенням, але не застосуванням теореми Баєса, оскільки теорему Баєса можна застосовувати лише якщо всі розподіли є коректними. Проте для результатного «апостеріорного» не є незвичним бути чинним розподілом ймовірності. В такому випадку апостеріорні очікувані втрати

${\displaystyle \int {L(\theta ,a)p(\theta |x)d\theta }}$

є добре визначеними та скінченними. Нагадаймо, що для коректного апріорного баєсова оцінка мінімізує апостеріорні очікувані втрати. Коли апріорне є некоректним, оцінка, що мінімізує апостеріорні очікувані втрати, називається узага́льненою ба́єсовою оці́нкою.^[2]

Приклад[ред. | ред. код]

Типовим прикладом є оцінювання коефіцієнту зсуву з функцією втрат типу ${\displaystyle L(a-\theta )}$. Тут ${\displaystyle \theta }$ є коефіцієнтом зсуву, тобто ${\displaystyle p(x|\theta )=f(x-\theta )}$.

В такому випадку є звичним застосовувати некоректне апріорне ${\displaystyle p(\theta )=1}$, особливо якщо ніякої іншої суб'єктивнішої інформації немає в наявності. Це дає

${\displaystyle p(\theta |x)={\frac {p(x|\theta )p(\theta )}{p(x)}}={\frac {f(x-\theta )}{p(x)}}}$

таким чином, апостеріорні очікувані втрати дорівнюють

${\displaystyle E[L(a-\theta )|x]=\int {L(a-\theta )p(\theta |x)d\theta }={\frac {1}{p(x)}}\int L(a-\theta )f(x-\theta )d\theta .}$

Узагальнена баєсова оцінка є значенням ${\displaystyle a(x)}$, що мінімізує цей вираз для заданого ${\displaystyle x}$. Це є еквівалентним мінімізації

${\displaystyle \int L(a-\theta )f(x-\theta )d\theta }$ для заданого ${\displaystyle x.}$        (1)

В цьому випадку може бути показано, що узагальнений баєсів оцінювач може мати вигляд ${\displaystyle x+a_{0}}$, для деякої сталої ${\displaystyle a_{0}}$. Щоби побачити це, нехай ${\displaystyle a_{0}}$ буде значенням, що мінімізує (1), коли ${\displaystyle x=0}$. Тоді, маючи інше значення ${\displaystyle x_{1}}$, ми мусимо мінімізувати

${\displaystyle \int L(a-\theta )f(x_{1}-\theta )d\theta =\int L(a-x_{1}-\theta ')f(-\theta ')d\theta '.}$        (2)

Це є ідентичним до (1), крім того, що ${\displaystyle a}$ було замінено на ${\displaystyle a-x_{1}}$. Отже, вираз, що мінімізується, задається як ${\displaystyle a-x_{1}=a_{0}}$, тому оптимальна оцінка має вигляд

${\displaystyle a(x)=a_{0}+x.\,\!}$

Емпіричні баєсові оцінки[ред. | ред. код]

Баєсова оцінка, виведена емпіричним баєсовим методом^[en], називається емпіри́чною ба́єсовою оці́нкою. Емпіричний баєсів метод дозволяє при побудові баєсової оцінки використовувати додаткові емпіричні дані зі спостережень пов'язаних параметрів. Це робиться із припущення, що оцінювані параметри отримуються зі спільного апріорного. Наприклад, якщо виконуються незалежні спостереження різних параметрів, то продуктивність оцінки певного параметру іноді може бути покращено за рахунок використання даних з інших спостережень.

Існують параметричний^[en] та непараметричний^[en] підходи до емпіричної баєсової оцінки. Параметричному емпіричному Баєсові зазвичай віддається перевага, оскільки він є застосовнішим та точнішим на малих об'ємах даних.^[4]

Приклад[ред. | ред. код]

Далі наведено простий приклад параметричної емпіричної баєсової оцінки. При заданих спостереженнях ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, що мають умовний розподіл ${\displaystyle f(x_{i}|\theta _{i})}$, потрібно оцінити ${\displaystyle \theta _{n+1}}$ на базі ${\displaystyle x_{n+1}}$. Припустімо, що ${\displaystyle \theta _{i}}$ мають спільне апріорне ${\displaystyle \pi }$, що залежить від невідомих параметрів. Наприклад, нехай ${\displaystyle \pi }$ є нормальним розподілом із невідомим середнім значенням ${\displaystyle \mu _{\pi }\,\!}$ та дисперсією ${\displaystyle \sigma _{\pi }\,\!.}$ Тоді ми можемо використовувати минулі спостереження для визначення середнього значення та дисперсії ${\displaystyle \pi }$ наступним чином.

Спочатку ми оцінюємо середнє значення ${\displaystyle \mu _{m}\,\!}$ та дисперсію ${\displaystyle \sigma _{m}\,\!}$ відособленого розподілу ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ за допомогою підходу максимальної правдоподібності:

${\displaystyle {\widehat {\mu }}_{m}={\frac {1}{n}}\sum {x_{i}},}$

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}_{m}^{2}={\frac {1}{n}}\sum {(x_{i}-{\widehat {\mu }}_{m})^{2}}.}$

Далі ми використовуємо відношення

${\displaystyle \mu _{m}=E_{\pi }[\mu _{f}(\theta )]\,\!,}$

${\displaystyle \sigma _{m}^{2}=E_{\pi }[\sigma _{f}^{2}(\theta )]+E_{\pi }[\mu _{f}(\theta )-\mu _{m}],}$

де ${\displaystyle \mu _{f}(\theta )}$ та ${\displaystyle \sigma _{f}(\theta )}$ є моментами умовного розподілу ${\displaystyle f(x_{i}|\theta _{i})}$, що вважаються відомими. Зокрема, припустімо, що ${\displaystyle \mu _{f}(\theta )=\theta }$ та ${\displaystyle \sigma _{f}^{2}(\theta )=K}$; тоді ми отримуємо

${\displaystyle \mu _{\pi }=\mu _{m}\,\!,}$

${\displaystyle \sigma _{\pi }^{2}=\sigma _{m}^{2}-\sigma _{f}^{2}=\sigma _{m}^{2}-K.}$

Нарешті, ми отримуємо оцінені моменти апріорного,

${\displaystyle {\widehat {\mu }}_{\pi }={\widehat {\mu }}_{m},}$

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}_{\pi }^{2}={\widehat {\sigma }}_{m}^{2}-K.}$

Наприклад, якщо ${\displaystyle x_{i}|\theta _{i}\sim N(\theta _{i},1)}$, і якщо ми розглядаємо нормальне апріорне (що є спряженим апріорним у даному випадку), ми доходимо висновку, що ${\displaystyle \theta _{n+1}\sim N({\widehat {\mu }}_{\pi },{\widehat {\sigma }}_{\pi }^{2})}$, з чого може бути обчислено баєсову оцінку ${\displaystyle \theta _{n+1}}$ на базі ${\displaystyle x_{n+1}}$.

Властивості[ред. | ред. код]

Прийнятність[ред. | ред. код]

Правила Баєса, що мають скінченний баєсів ризик, зазвичай є прийнятними^[en]. Далі наведено деякі конкретні приклади теорем прийнятності.

• Якщо баєсове правило є унікальним, то воно є прийнятним.^[5] Наприклад, як зазначено вище, за середньоквадратичної похибки (СКП) правило Баєса є унікальним, а відтак і прийнятним.
• Якщо θ належить до дискретної множини, то всі правила Баєса є прийнятними.
• Якщо θ належить до неперервної (не дискретної) множини, і якщо функція ризику R(θ,δ) є неперервною за θ для будь-якого δ, то всі правила Баєса є прийнятними.

На противагу до цього, узагальнені правила Баєса часто мають невизначений баєсів ризик у випадку некоректних апріорних. Ці правила часто є неприйнятними, і перевірка їхньої прийнятності може бути складною. Наприклад, узагальнена баєсова оцінка коефіцієнту зсуву θ на базі ґаусових вибірок (описаних у розділі Узагальнені баєсові оцінки вище) є неприйнятною для ${\displaystyle p>2}$; це є відомим як феномен Штайна^[en].

Асимптотична ефективність[ред. | ред. код]

Нехай θ буде невідомою випадковою змінною, та припустімо, що ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ є незалежними однаково розподіленими пробами з густиною ${\displaystyle f(x_{i}|\theta )}$. Нехай ${\displaystyle \delta _{n}=\delta _{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ буде послідовністю баєсових оцінок θ на базі збільшуваного числа вимірювань. Нас цікавить аналіз асимптотичної продуктивності цієї послідовності оцінок, тобто продуктивність ${\displaystyle \delta _{n}}$ для великих n.

Для цього прийнято вважати θ детермінованим параметром, чиїм справжнім значенням є ${\displaystyle \theta _{0}}$. За особливих умов,^[6] для великих вибірок (великих значень n), апостеріорна густина θ є приблизно нормальною. Іншими словами, для великих n вплив апріорної ймовірності на апостеріорну є незначним. Більше того, якщо δ є баєсовою оцінкою за ризику СКП, то вона є асимптотично незміщеною та збігається за розподілом до нормального розподілу:

${\displaystyle {\sqrt {n}}(\delta _{n}-\theta _{0})\to N\left(0,{\frac {1}{I(\theta _{0})}}\right),}$

де I(θ₀) є інформацією за Фішером θ₀. Звідси випливає, що баєсова оцінка δ_n за СКП є асимптотично ефективною^[en].

Іншою оцінкою, що є асимптотично нормальною та ефективною, є оцінка максимальної правдоподібності (ОМП, англ. maximum likelihood estimator, MLE). Відношення між максимальною правдоподібністю та баєсовими оцінками можна показати на наступному простому прикладі.

Розгляньмо оцінку θ на базі біноміальної вибірки x~b(θ,n), де θ позначає ймовірність успіху. За припущення, що θ розподілене згідно спряженого апріорного, що в даному випадку є бета-розподілом B(a,b), відомо, що апріорним розподілом є B(a+x, b+n-x). Отже, баєсовою оцінкою за СКП є

${\displaystyle \delta _{n}(x)=E[\theta |x]={\frac {a+x}{a+b+n}}.}$

ОМП у даному випадку є x/n, і тому ми отримуємо

${\displaystyle \delta _{n}(x)={\frac {a+b}{a+b+n}}E[\theta ]+{\frac {n}{a+b+n}}\delta _{MLE}.}$

Крайнє рівняння означає, що для n → ∞ баєсова оцінка (в описаній задачі) є близькою до ОМП.

З іншого боку, коли n є малим, апріорна інформація залишається доречною для задачі ухвалення рішення, і впливає на оцінку. Щоби побачити відносну вагу апріорної інформації, припустімо, що a=b; в такому випадку кожне вимірювання привносить 1 біт інформації; формула вище показує, що апостеріорна інформація має таку саму вагу, як a+b бітів нової інформації. На практиці про дрібні деталі апріорного розподілу часто відомо дуже мало; зокрема, нема резону припускати, що він збігається з B(a,b) точно. В такому разі однією з можливих інтерпретацій цього обчислення є: «існує не патологічний апріорний розподіл із середнім значенням 0.5 та стандартним відхиленням d, що дає вагу апріорної інформації, рівну 1/(4d²)-1 бітам нової інформації».

Іншим прикладом того ж явища є випадок, коли апріорна оцінка та вимірювання мають нормальні розподіли. Якщо апріорне відцентровано на B з відхиленням Σ, а вимірювання відцентровано на b із відхиленням σ, то апостеріорне відцентровано на ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}B+{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}b}$, з вагами у цій зваженій сумі, що є α=σ², β=Σ². Більше того, квадратичним апостеріорним відхиленням є Σ²+σ². Іншими словами, апріорне поєднується з вимірюванням в точності таким же чином, як ніби воно є додатковим вимірюванням, що треба врахувати.

Наприклад, якщо Σ=σ/2, то відхилення поєднаних разом 4 вимірювань відповідає відхиленню апріорного (за припущення, що похибки вимірювань є незалежними). А ваги α,β у формулі апостеріорного відповідають такому: вага апріорного складає 4 ваги вимірювання. Поєднання цього апріорного з n вимірюваннями із середнім v призводить до апостеріорного, відцентрованого у ${\displaystyle {\frac {4}{4+n}}V+{\frac {n}{4+n}}v}$; зокрема, це апріорне відіграє таку ж роль, як і 4 вимірювання, зроблені завчасно. У загальному випадку апріорне має вагу (σ/Σ)² вимірювань.

Порівняйте це із прикладом біноміального розподілу: там апріорне має вагу (σ/Σ)²−1 вимірювань. Видно, що точна вага дійсно залежить від деталей розподілу, але при σ≫Σ відмінність стає малою.

Практичний приклад баєсових оцінок[ред. | ред. код]

Internet Movie Database використовує формулу для обчислення та порівняння рейтингів фільмів її користувачами, включно з їхніми 250 найрейтинговішими фільмами, що претендує на надання «справжньої баєсової оцінки».^[7] Початково для обчислення зваженого середнього балу найкращих 250 фільмів використовувалася наступна формула, хоча її відтоді було змінено:

${\displaystyle W={Rv+Cm \over v+m}\ }$

де:

${\displaystyle W\ }$ = зважений рейтинг

${\displaystyle R\ }$ = зважений рейтинг фільму як число від 1 до 10 (середній) = (англ. Rating)

${\displaystyle v\ }$ = кількість голосів за фільм = (англ. votes)

${\displaystyle m\ }$ = вага, надана апріорній оцінці (що базується на розподілі середніх рейтингів серед усього фонду фільмів)

${\displaystyle C\ }$ = середній голос серед усього фонду (наразі 7.0)

Зауважте, що W є просто зваженим арифметичним середнім R та C з вектором ваг (v, m). Із переважанням кількості вимірів над m довіра до середнього рейтингу переважає довіру до апріорного знання, і зважений баєсів рейтинг (W) наближається до простого середнього (R). Що ближчим є v (кількість оцінок фільму) до нуля, то ближчим стає W до C, де W є зваженим рейтингом, а C є середнім рейтингом по всіх фільмах. Отже, простішими термінами, фільми із дуже нечисленними оцінками/голосами матимуть рейтинг, зважений в бік середнього по всіх фільмах, в той час як фільми з багатьма оцінками/голосами матимуть рейтинг, зважений в бік їхніх середніх оцінок.

Підхід IMDb гарантує, що фільм із лише декількома сотнями оцінок, всі по 10, не займе місце вище «Хрещеного батька», наприклад, із середнім 9.2 з понад 500 000 оцінок.

Див. також[ред. | ред. код]

• Прийнятне правило ухвалення рішення^[en]
• Рекурсивне баєсове оцінювання
• Емпіричний баєсів метод^[en]
• Спряжений апріорний розподіл
• Узагальнене сподівання корисності^[en]

Примітки[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

• Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998). Theory of Point Estimation (вид. 2nd). Springer. ISBN 0-387-98502-6. (англ.)
• Berger, James O. (1985). Statistical decision theory and Bayesian Analysis (вид. 2nd). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96098-8. MR 0804611. (англ.)

Посилання[ред. | ред. код]

• Bayesian estimation on cnx.org [Архівовано 17 лютого 2012 у Wayback Machine.] (англ.)
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Bayesian estimator, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (англ.)

п о р Статистика Нарис Індекс[en]   Описова статистика Неперервні дані Центр Середнє арифметичне геометричне гармонійне середні зважені Медіана Мода Розкид Дисперсія Стандартне відхилення Коефіцієнт варіації Перцентиль Розмах Міжквартильний розмах Форма Центральна гранична теорема Момент Асиметрія Ексцес L-момент Чисельні дані Індекс дисперсії Підсумкові таблиці Згруповані дані Частотний розподіл Таблиця спряженості Залежність Коефіцієнт кореляції Пірсона Кореляція рангу ρ Спірмена τ Кендала Часткова кореляція Точкова діаграма Графіки Стовпчикова діаграма Подвійний графік Коробковий графік Контрольна карта Корелограма Віялова діаграма Лісова діаграма Гістограма Секторна діаграма Графік Q-Q Графік біжучої послідовності Точкова діаграма Діаграма «стовбур — листя» Пелюсткова діаграма Скрипкова діаграма   Збирання даних Планування дослідження Генеральна сукупність Статистика Розмір ефекту[en] Статистична потужність Оптимальний план Вибірка Визначення розмірів вибірки Реплікація[en] Пропущені дані[en] Методологія дослідження Відбір вибірки стратифікований кластерний Стандартне відхилення середнього арифметичного Опитування Анкетування Активні експерименти Науковий контроль Рандомізований експеримент Контрольоване дослідження Випадкове призначування[en] Групування Взаємодія (статистика) Повний факторний експеримент Адаптивне планування Адаптивне клінічне випробування[en] Збільшувально-зменшувальні плани[en] Стохастичне наближення[en] Пасивні дослідження Поперечне дослідження Когортне дослідження Природний експеримент Квазі-експеримент   Статистичне висновування Теорія статистики Генеральна сукупність Статистика Розподіл імовірності Вибірковий розподіл порядкова статистика Емпіричний розподіл оцінка густини Статистична модель визначення моделі[en] простір Lp Параметр зсуву масштабу форми Параметричне сімейство[en] правдоподібність (монотонна)[en] зсувно-масштабне сімейство[en] експоненційне сімейство[en] Повнота[en] Достатність Статистичний функціонал[en] натяжка U[en] V[en] Оптимальне рішення функція втрат Ефективність[en] Статистична відстань[en] розходження[en] Асимптотика[en] Робастність Частотницьке висновування Точкова оцінка Оцінні рівняння[en] максимальна правдоподібність метод моментів M-оцінювач[en] мінімальна відстань[en] Незміщені оцінки усереднено-незміщена мінімально-дисперсійна[en] Рао — Блеквелізування теорема Леманна — Шеффе[en] Медіана Замінна[en] Інтервальне оцінювання[en] Довірчий інтервал Центральна величина[en] Інтервал правдоподібності Прогнозний інтервал[en] Толерантний інтервал[en] Перевибірка[en] натяжка складаний ніж Перевірка гіпотез 1- та 2-бічна[en] Потужність рівномірно найпотужніший критерій[en] Критерій перестановок критерій рандомізації[en] Множинні порівняння Параметричні критерії[en] Відношення правдоподібностей Множники Лагранжа[en] Вальд[en] Спеціальні критерії Z-критерій (нормальний) t-критерій Стьюдента F-критерій Допасованість Хі-квадрат G-критерій[en] Колмогорова-Смирнова Андерсона–Дарлінга Ліллієфорса[en] Харке–Бера[en] Нормальність (Шапіро–Вілка)[en] Перевірка відношенням правдоподібностей Обирання моделі Перехресне затверджування ІКА БІК Ранжувальні статистики Знаків[en] вибіркова медіана[en] Знаковий ранг (Уілкоксона)[en] оцінювач Ходжеса–Лемана[en] Рангова сума (Манна–Уітні) Непараметричний[en] дисперсійний аналіз 1-бічний (Краскела–Уоліса)[en] 2-бічний (Фрідмана) впорядкована альтернатива (Джонкгіра–Терпстра)[en] Баєсове висновування Баєсова ймовірність апріорна апостеріорна Імовірний інтервал Коефіцієнт Баєса Баєсова оцінка Оцінка апостеріорного максимуму   Кореляційний та регресійний аналіз Кореляція Коефіцієнт кореляції Пірсона Часткова кореляція Змішувальна змінна Коефіцієнт детермінації Регресійний аналіз Похибки та залишки Регресійне затверджування[en] Моделі змішаних впливів Система одночасних рівнянь[en] Сплайни багатовимірної адаптивної регресії (MARS)[en] Лінійна регресія Проста лінійна регресія Звичайний метод найменших квадратів[en] Загальна лінійна модель Баєсова лінійна регресія Нестандартні передбачувачі Нелінійна регресія[en] Непараметрична[en] Напівпараметрична[en] Ізотонічна[en] Робастна[en] Гетероскедастичність Гомоскедастичність Узагальнена лінійна модель[en] Експоненційні сімейства[en] Логістична (Бернуллі) / Біноміальна регресія[en] / Регресія Пуассона Розбиття дисперсії[en] Дисперсійний аналіз (ANOVA) Коваріаційний аналіз Багатовимірний дисперсійний аналіз (MANOVA)[en] Ступені вільності   Категорійний / багатовимірний аналіз / аналіз часових рядів / виживаності Категорійний Каппа Коена[en] Таблиця спряженості Графова модель Логарифмічна модель Критерій МакНімара[en] Багатовимірний Регресія Багатовимірний дисперсійний аналіз (MANOVA)[en] Головні компоненти Канонічна кореляція Дискримінантний аналіз Кластерний аналіз Класифікація Модель структурних рівнянь[en] факторний аналіз Багатовимірні розподіли еліптичні розподіли нормальний Часові ряди Загальне Розклад Тенденції Стаціонарність Сезонне пристосування[en] Експоненційне згладжування Коінтеграція[en] Структурний розрив[en] Причинність за Грейнджером[en] Спеціальні критерії Дікі–Фуллера Йохансена[en] Q-статистика (Льюнга-Бокса) Дарбіна–Уотсона Бройша–Годфрі[en] Часова область Автокореляція (ACF) Частинна автокореляція (PACF)[en] Взаємна кореляція (XCF) Авторегресійне ковзне середнє (ARMA) Метод Бокса–Дженкінса (ARIMA)[en] Авторегресивна умовна гетероскедастичність (ARCH) Векторна авторегресія (VAR) Частотна область Оцінка[en] спектральної густини Аналіз Фур'є Вейвлет Уіттлівська правдоподібність[en] Виживаність Функція виживаності[en] Оцінювач Каплана–Меєра (границі добутку)[en] Модель пропорційних ризиків[en] Модель прискореного часу до відмови[en] Момент першого влучання[en] Інтенсивність відмов Оцінювач Нельсона–Аалена[en] Критерій Логарифмічний ранговий критерій[en]   Застосування Біологічна статистика Біоінформатика Клінічні випробування / дослідження[en] Епідеміологія Медична статистика Інженерна статистика Хемометрія Інженерія методів[en] Імовірнісне проєктування[en] Керування процесами / якістю Теорія надійності Ідентифікація систем[en] Соціальна статистика[en] Актуарна математика Перепис населення Правова статистика Демографічна статистика Економетрія Юриметрія[en] Національне рахівництво Офіційна статистика[en] Психометрія Просторова статистика Картографія Екологічна статистика[en] Геоінформаційні системи Геостатистика Кригінг Категорія   Портал «Математика» Вікісховище